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2012年山东省高中数学夏令营数学竞赛试题及答案(word版)


山东省 2012 届高中数学夏令营 数学竞赛
一.填空题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1.函数 f ( x ) ?
1? 2x ? 3 ? 2x

的最大值是________________ ;

2.如果自然数 a 的各位数字之和等于 5,那么称 a 为 “吉祥数” 将 , 所有吉祥数从小到大

排成一列 a1,a2,?,an.若 an=2012.则 n=_______________.

3.已知 f(x)是 2011 次多项式,当 n=0,1,?,2011 时, 则 f(2012)=______;

f (n) ?

n n ?1

.

4.将圆周上 5 个点按如下规则染色:先任选一点染成红色,然后依 逆时针方向,第 1 步转过 1 个间隔将到达的那个点染红,第 2 步转过 2 个间隔将到达的那个点染红,第 k 步转过 k 个间隔将到达的那个点染 红.一直进行下去,可得到_________个红点.
D A

5.如图,设 O , I 分别为 ? A B C 的外心、内心, 且?B
? 60
?

E O I

, A B > B C , ? A 的外角平分线交
? 1 8 ,则 O I ? _____________.

⊙ O 于 D ,已知 A D

B F

C

1

. 二.解答题(本题共 5 道小题,每小题 20 分,满分 100 分) 6. 证 明 : 对 任 给 的 奇 素 数 p, 总 存 在 无 穷 多 个 正 整 数 n 使 得 p|(n2n-1).

7.如图, 已知 P 是矩形 ABCD 内任意一点, 延长 BP 交 AD 于 E, 延长 DP 交 AB 于 F,延长 CP 交矩形的外接圆于 G。求证:GE⊥GF.

G A Q P F R B C E D

2

8.对于恰有 120 个元素的集合 A.问是否存在子集 A1,A2,?,A10 满 足: (1)|Ai|=36,i=1,2,?,10; (2)A1∪A2∪?∪A10=A; (3)|Ai∩Aj|=8,i≠j.请说明理由.

9.求最小的正整数 m,n(n≥2),使得 n 个边长为 m 的正方形,恰好可 以割并成 n 个边长分别为 1,2,?,n 的正方形.

3

10.设实系数三次多项式 根.
3

p ( x) ? x ? ax ? bx ? c
3 2

有三个非零实数

求证: 6 a

3

? 10(a ? 2b ) 2 ? 12 ab ? 27 c
2

.

4

山东省 2012 届高中数学夏令营数学竞赛试题

参考答案
一.填空题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1. 解:
x ? 1 2

f (x) ?

1? 2x ?

3 ? 2x ? 2

2

,其等号仅当

1 ? 2x ?

3? 2x



时成立, 所以,f(x)最大= 2 2. 解:设 x x
1 2

2

.

? xm

为吉祥数,则 x1+x2+?+xm=5,由 x1≥1 和 x2,?,xm

≥0 得 (x1-1)+x2+?+xm=4,所以, x x
1 2

? xm

4 为第 C m ? 3 个吉祥数.1 x

2

? xm

4 为第 C m ? 2

个吉祥数. 由此得:一位吉祥数共 1 个,二位吉祥数共 C 54
C6 ? 15
4

? 5

个,三位吉祥数共

个,
? 15

因以 1 为首位的四位吉祥数共 C 64 位吉祥数为:

个,以 2 为首位的前两个四

2003 和 2012.故 n=1+5+15+15+2=38. 3. 解:当 n=0,1,?,2011 时, (n+1)f(n)=n,即多项式(x+1)f(x)-x 有 2012 个 根, 设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)?(x-2011). 取 x=-1,则 1=2012!a.故
a ? 1 2012!
f (x) ? x ( x ? 1)( x ? 2 ) ? ( x ? 2 0 1 1) 2 0 1 2 !( x ? 1) ? x x ?1

, ,

5

f (2012) ?

2012 ! 2012 !2013

?

2012 2013

?

2013 2013

?1.

4. 解:将 5 个点依次编号 0—4,且不妨设开始染红的是 0 号点,则 第 1 步染红的是 1 号点,第 2 步染红的是 3 号点,第 3 步染红的又是 1 号点.故共可得 3 个红点.

5. 解: 连接 B I 并延长交⊙ O 于 E ,则 E 为弧 A C 的中点.连
OE

、 A E 、 C E 、 O C ,由 ? B

? 60

?

,易知 ? A O E 、 ? C O E 均为
? IE ? C E

正三角形.由内心的性质得知: A E
A

,所以

、 O 、 I 、 C 四点共圆,且圆心为 E .再延长 A I 交⊙ O 于 F ,
? 2? O AI

由题设知 D 、O 、F 共线, 于是 ? O E I 又OA ? OD
? O E ? IE

,

? A O D ? 2? A F D ? 2? O A I ? AD ? 18 .

,

, 从而 ? O A D ≌ ? E O I , 故 O I

D

A

E O I B F C

二.解答题(本题共 5 道小题,每小题 20 分,满分 100 分) 6.证明:取 n=(p-1)k,则由费尔马小定理知 2 ( p ? 1 )k p|(n2n-1)
? ( p ? 1) k ? 2
( p ? 1) k

? 1( m o d p ) ,所以,

? 1(m o d p ) ? ( p ? 1) k ? 1(m o d p ) ? k ? ? 1(m o d p )

. 取 k=pr-1(r∈N*),即 n=(p-1)(pr-1),就有 ( p ? 1) k ? 2 ( p ?1) k
6

? 1(m o d p )

即 p|(n2n-1).

7. 证法 1: 设 CG 交 AD 于 Q,由∠GBA=∠GDA 及 ∠AGB=∠CGD 知△ABG∽△QDG。延长 DF、CB 交于 R,由 AD∥BR, AD=BC
A G Q P F E D



AF FB

?

BC BR


BC BR ?

R 又由△CPB∽△QPE 及△RPB∽△DPEB得

QE ED



C

由①,②得 得

AF FB

?

QE ED

,表明 F,E 是△ABG,△QDG 的相似对应点,故

△FBG∽△EDG.所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即 GE⊥GF. 证法 2:联结 GB,GD,令∠GCB= ? ,∠GCD= ? , 由正弦定理得:
? B F s in ? B F P
G A Q P F E D

GB GD
?

?

s in ? s in ?

?

B P s in ? P B C D P s in ? P D C
BF DE

s in ? P B C

D E s in ? D E P s in ? P D C

?

,
B

β α

C

由∠GBF=∠GDE 得△FBG∽△EDG. 所以,∠FGB=∠EGD,∠FGE=∠BGD=900, 即 GE⊥GF.

7

8.

解:答案:存在.

3 考虑长度为 10 的 0,1 数列.其中仅 3 项为 1 的恰有 C 1 0 ? 1 2 0 个,

每个作为集合 A 的一个元素.
2 对每个 j=1,2,?,10,第 j 项为 1 的 0,1 数列恰有 C 9 ? 3 6 个,它

们是集合 Aj 的 36 个元素.对每对 i,j∈{1,2,?,10}(i<j),第 i 项与
1 第 j 项均为 1 的 0,1 数列恰有 C 8 ? 8 个,它们是 Ai∩Aj 的元素.

综上知,存在满足条件的 10 个子集.

9.

解:依题意 n 个边长为 m 的正方形,恰好可以割并成 n 个边长

分别为 1,2,?,n 的正方形 ? 12+22+?+n2=nm2,即 6m2=(n+1)(2n+1), 则(n+1)(2n+1)=2n2+3n+1≡0(mod6), 由 n2≡0,1,3,4(mod6)知 n≡±1(mod6). 若 6|n+1,设 n=6k-1(k∈N),得 m2=k(12k-1), 因(k,12k-1)=1,所以 k 与 12k-1 都是完全平方数,但 12k-1≡3 (mod4) 矛盾! 若 6|n-1,设 n=6k+1(k∈N),得 m2=(3k+1)(4k+1),因(3k+1,4k+1)=1, 所以, 3k+1=v2,4k+1=u2,消去 k 得 4v2-3u2=1,v=u=1 时,k=0,n=1,但 n≥2,故 u>1,v>1. 由 4v2-3u2≡1(mod8)知 u,v 为奇数, 直接计算得 umin=15,vmin=13,k=56,所以, m 最小=15×13=195,n 最小=337.
8

10. 证明:设 ? , ? , ? 为 p(x)=0 的三个根,由根与系数关系
?? ? ? ? ? ? ? a ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? b ?? ? ? ? ? c ?

得:

3

a ? 2b ? ?
2

2

??

2

??

2

.原式 ? 6 a ( a ? 2 b ) ? 1 0 ( a ? 2 b ) 2 ? 2 7 c
2 2
3 2

? 6 (? ? ? ? ? )(?

2

??

? ? ) ? 1 0 (?
2

2

??

2

? ? ) 2 ? 2 7? ? ?
2

①.

2 2 2 若 ? ? ? ? ? ? 0 ,则①成立.

若?
2

2

??
2

2

??
2

2

? 0 ,不妨设 | ? |? | ? |? | ? | ,由①的齐次性,不妨设
2

? ?? ??

? 9 ,则 ?

? 3 , 2? ? ? ?

2

??

2

? 9??

2

? 6

.

① ? 2 (? ? ? ? ? ) ? ? ? ? ? 1 0 .因
[ 2 (? ? ? ? ? ) ? ? ? ? ] ? [ 2 (? ? ? ) ? ( 2 ? ? ? ) ? ] ? [ 4 ? ( 2 ? ? ? ) ][(? ? ? ) ? ? ]
2 2 2 2 2

? [ 8 ? ? ? ? ? ? ) ] (? 9 ? 2 ? ) 4 ( ?
2

?2 ? ? ) ? ? ? ( (
3 2

)

? ? ( 2 0 ?

)

7 2

? (? ? ? 2 ) ( 2 ? ? ? 7 ) ? 1 0 0 ? 1 0 0
2

,所以, 2 (? ? ? ? ? ) ? ? ? ? ? 1 0 .故

原式成立.

9


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