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圆锥曲线综合练习


圆锥曲线综合练习
1.抛物线 y ? 4 x 的准线方程是(
2

) C. y ?

1 16 x2 y2 1 ? ? 1 所表示的曲线为( 2.设 ? 是三角形的一个内角,且 sin ? ? cos? ? ,则方程 sin ? cos? 5 A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 y 轴上的椭圆 C.焦点在 x 轴上

的双曲线 D.焦点在 y 轴上的的双曲线 9 x2 y2 3.两个正数 a、b 的等差中项是 ,等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 a b 2
A. y ? 1 B. y ? ?1 D. y ? ? A.

1 16

).

5 3

B.

41 4

C.

5 4

D.

41 5
④ ③

4.如图, 共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别 为 e1 , e2 , e3 , e4 ,其大小关系为 A. e1 ? e2 ? e3 ? e4 C. e1 ? e2 ? e4 ? e3 5.若 k ? R ,则 k ? 3 是方程 A.充分不必要条件
2

② B. e2 ? e1 ? e3 ? e4 ①

D. e2 ? e1 ? e4 ? e3

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线的( k ?3 3



B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.过抛物线 y ? 4 x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 两点,如果 x1 ? x2 ? 6 ,则 PQ ? ( ) A.9
2

B.8

C.7

D.6

7.设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F ,且和 y 轴交于点 A ,若 ?OAF ( O 为坐标原点)的 面积为 4,则抛物线方程为( 8.设椭圆 ). A. y ? ? 4 x
2

B. y ? ? 8 x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 8 x
2

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 e ? ,右焦点为 F (c, 0) ,方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个实根 2 2 a b 分别为 x1 和 x2 ,则点 P( x1 , x2 ) ( )
A.必在圆 x ? y ? 2 内
2 2

B.必在圆 x ? y ? 2 上
2 2

C.必在圆 x ? y ? 2 外
2 2

D.以上三种情形都有可能

9.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O ,且过点 P(2, 4) ,则该抛物线的 方程是 10.以双曲线 y 2 ? .

x2 ? 1 的一个焦点为圆心,离心率为半径的圆的方程是___________ 3

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 到左焦点 F1 的距离是 2,N 是 MF1 的中点,O 为坐标原点,则 ON ? 11.椭圆 . 25 9 12.已知中心在原点, 焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线为 mx ? y ? 0 , m 在集合 {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9} 若
1

中任意取一个值,使得双曲线的离心率大于 3 的概率是
2 2



13.已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 4 y ? 8 ? 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适 合上述条件的双曲线的标准方程为 . 14.已知 P( x, y ) 是抛物线 y ? ?8 x 的准线与双曲线
2

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线所围成的三角形平面区域 8 2

内(含边界)的任意一点,则 z ? 2 x ? y 的最大值为

x2 y2 3 1 15.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过坐标原点 O 且斜率为 的直线 l 与 C 相交 2 2 a b
于 A 、 B , | AB |? 2 10 .⑴求 a 、 b 的值;⑵若动圆 ( x ? m) ? y ? 1 与椭圆 C 和直线 l 都没有公共
2 2

点,试求 m 的取值范围.

16. 抛 物 线 y ? 4 x 上 有 两 个 定 点 A、B 分 别 在 对 称 轴 的 上 、 下 两 侧 , F 为 抛 物 线 的 焦 点 , 并 且
2

FA ? 2, FB ? 5 .(1)求直线 AB 的方程; (2)在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P ,使 ?PAB 的面积最
大,并求最大面积.(其中 O 为坐标原点)

17.一束光线从点 F1 (?1, 0) 出发,经直线 l : x ? 2 y ? 6 ? 0 上一点 M 反射后,恰好穿过点 F2 (1, 0) . (1) 求点 F1 关于直线 l 的对称点 F1? 的坐标; 求以 F1、 F2 为焦点且过点 M 的椭圆 C 的方程; 若 P 是 (2) (3) (2)中椭圆 C 上的动点,求 PF1 ?PF2 的取值范围.

???? ???? ?

18.已知动圆 C 过点 A?? 2, 0 ? ,且与圆 M : ? x ? 2 ? ? y ? 64 相内切.(1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程;
2 2

(2) 设直线 l : y ? kx ? m(其中 k , m ? Z ) 与 (1) 中所求轨迹交于不同两点 B , 与双曲线 D,

x2 y2 ? ?1 4 12

交于不同两点 E , F ,问是否存在直线 l ,使得向量 DF ? BE ? 0 ,若存在,指出这样的直线有多少条? 若不存在,请说明理由.

???? ??? ?

2

圆锥曲线训练题答案 一、选择题 题号 答案 二、填空题 9 1 D 2 C 3 D 4 C 5 A 6 B 7 B 8 A

y 2 ? 8x

10

x 2 ? ( y ? 2)2 ? 4

11

4

12

7 9

13

x2 y 2 ? ?1 4 12

14

5

15、依题意, l : y ?

x ……1 分,不妨设设 A(2t , t ) 、 B(?2t , ? t ) ( t ? 0 )……2 分, 2

2 ?8 ?a2 ? b2 ? 1 ? 2 由 | AB |? 2 10 得 20t ? 40 , t ? 2 ……3 分,所以 ? ……5 分, c a2 ? b2 3 ? ? ? ?a a 2 ?
解得 a ? 4 , b ? 2 ……6 分.

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 ⑵由 ? 16 消去 y 得 3x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 ……7 分, 动圆与椭圆没有公共点, 当且仅 4 2 2 ?( x ? m) ? y ? 1 ?
当 ? ? (?8m) ? 4 ? 3 ? (4m ? 12) ? 16 m ? 144 ? 0 或 | m |? 5 ……9 分,解得 | m |? 3 或 | m |? 5 ……10
2 2 2

分。动圆 ( x ? m) ? y ? 1 与直线 y ?
2 2

|m| x ? 1 ,即 | m |? 5 ……12 分。解 没有公共点当且仅当 2 5

?| m |? 3 ?| m |? 5 或? ……13 分, ? | m |? 5 ?| m |? 5 ?

得 m 的取值范围为 m | 5 ? m ? 3或m ? 5或 ? 3 ? m ? ? 5或m ? ?5 ……14 分. ………………14 分 16 解: (1)由已知得 F (1,0) ,设点 A 坐标为 ( x1 , y1 ) ,由 FA ? 2 得 x1 ? 1 ? 2, x1 ? 1 ,所以 A(1, 2) 同理 B(4, ?4) 所以直线 AB 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 . (2)设在抛物线 AOB 这段曲线上任一点 P( x0 , y 0 ) ,且 1 ? x0 ? 4,?4 ? y 0 ? 2

?

?

则点 P 到直线 AB 的距离 d ?

2 x0 ? y0 ? 4 1? 4

2? ?

2 y0 ? y0 ? 4 4

5

1 9 ( y0 ? 1) 2 ? 2 2 ? 5

3

所以当 y 0 ? ?1 时, d 取最大值

9 5 ,又 AB ? 3 5 10

所以 ?PAB 的面积最大值为 S ? 17 解:(1) 设 F1?( x0 , y0 ) ,则

1 9 5 27 1 ?3 5 ? ? , 此时 P 点坐标为 ( ,?1) . 4 2 10 4

y0 x ?1 y ? 2且 0 ? 2? 0 ? 6 ? 0 , x0 ? 1 2 2 解得 x0 ? ?3, y0 ? ?4 ,故点 F1? 的坐标为 (?3, ?4) .

(2) 由对称性知, MF1 ? MF1? ,根据椭圆定义,得

2a ?| MF1?| ? | MF2 |?| F1?F2 | ? (?3 ? 1) 2 ? (?4 ? 0) 2 ? 4 2 ,即 a ? 2 2 .
∵ c ? 1 ,∴ b ?

a2 ? c2 ? 7 .
2

∴椭圆 C 的方程为

(3) 设 P( x, y ) , 则 y ? 7 ?

???? ???? ? 7 2 1 x , ∴ PF1 ?PF2 ? (?1 ? x, ? y) ? (1 ? x, ? y) ? x 2 ? y 2 ? 1 ? x 2 ? 6 . 8 8 ???? ???? ? 2 ∵ x ? [?2 2, 2 2] ,则 x ? [0,8] , ∴ PF1 ?PF2 的取值范围是 [6,7] .
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 8 7

18 解: (1)圆 M : ? x ? 2 ? ? y ? 64 , 圆心 M 的坐标为 ?2, 0? ,半径 R ? 8 . ∵ AM ? 4 ? R ,∴点 A?? 2, 0 ? 在圆 M 内. 设动圆 C 的半径为 r ,圆心为 C ,依题意得 r ? CA ,且 CM ? R ? r , 即 CM ? CA ? 8 ? AM . ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A, M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆,设其方程为

x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? , 则 a ? 4, c ? 2 .∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 12 . 2 a b x2 y2 ? ? 1. ∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为 16 12 ? y ? k x ? m, ? 2 2 2 (2)由 ? x 2 消去 y 化简整理得: ?3 ? 4k ?x ? 8kmx ? 4m ? 48 ? 0 . y2 ? 16 ? 12 ? 1. ? 8km 设 B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? . 3 ? 4k 2 2 2 2 △ 1 ? ?8km? ? 4?3 ? 4k ??4m ? 48 ? ? 0 . ① ? y ? k x ? m, ? 2 2 2 由 ? x2 消去 y 化简整理得: ?3 ? k ?x ? 2kmx ? m ? 12 ? 0 . y2 ? ? 1. ? 4 12 ? 2km 设 E ? x3 , y 3 ?, F ?x 4 , y 4 ?,则 x3 ? x 4 ? , 3?k2 2 2 2 △ 2 ? ?? 2km? ? 4?3 ? k ??m ? 12 ? ? 0 . ② ???? ??? ? ∵ DF ? BE ? 0 ,∴ ( x4 ? x2 ) ? ( x3 ? x1 ) ? 0 ,即 x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 8km 2km 4 1 ∴? .∴ 2km ? 0 或 ? .解得 k ? 0 或 m ? 0 . ? ? 2 2 2 3 ? 4k 3?k 3 ? 4k 3?k2 当 k ? 0 时,由①、②得 ? 2 3 ? m ? 2 3 ,
4

∵ m ? Z,∴ m 的值为 ? 3,?2 ?1 , 0 , 1 ,2,3 ; 当 m ? 0 ,由①、②得

? 3?k ? 3,
∴满足条件的直线共有 9 条.

∵ k ? Z,∴ k ? ?1, 0, 1.

5


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