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贵州省遵义县第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次联考试题 理


遵义县第一中学 2015-2016-2 高二第一次联考试卷 理 科 数 学
注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴 的条形码中“准考证号、姓名、考生科目”与本人准考证号、姓名是否一致. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作 答,答案无效. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? {x | x ? 2} ,若 m ? ln e e ( e 为自然对数底) ,则 A. ? ? A
x

B. m ? A

C. m ? A

D. A ? x x ? m

?

?

2.函数 f ( x) ? 2 ? x 的零点所在的一个区间是 A. (1, 2) B. (0,1) C. (?1, 0) D. (?2, ?1)

3.已知数列 ?a n ? 是公比为 2 的等比数列,若 a4 ? 16 ,则 a1 = A. 1 B. 2
2

C. 3

D. 4

4.设 a, b ? R ,则“ ? a ? b ? a ? 0 ”是“ a ? b ”的 A.充分不必要条件 5.设函数 f ( x) ? ? A. 5 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

?1 ? lg(2 ? x), ( x ? 1) ,则 f (?8) ? f (lg 40) ? ( x ?1) ? 10 , ( x ? 1)
B. 6 C. 9 D. 22 B.计算数列 2n ? 1 前 5 项的和
n

6.阅读如下图所示的程序框图,则该算法的功能是

? ? C.计算数列 ?2 ? 前 6 项的和
A.计算数列 2n ?1 前 5 项的和
n ?1

? ? D.计算数列 ?2 ? 1? 前 6 项的和

?2 x ? y ? 4, ? 7.设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?
A.有最小值 2 ,最大值 3 C.有最大值 3 ,无最小值 B.有最小值 2 ,无最大值 D.既无最小值,也无最大值.

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 8.双曲线 9 16
A. y ? ?

16 x 9

B. y ? ?

9 x 16

C. y ? ?

3 x 4

D. y ? ?

4 x 3
1

9.下列四个命题:

①样本相关系数 r 满足: | r |? 1 ,而且 | r | 越接近于 1,线性相关关系越强: ②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线; ③命题“已知 x, y ? R, 若 x ? y ? 3, 则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题;

, 0),B(1, 0) ,若 | PA | ? | PB |? 2 ,则动点 P 的轨迹为双曲线的一支. ④己知点 A(?1
其中正确命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 2 2 10.如图,过抛物线 y =4x 焦点的直线依次交抛物线和圆(x-1) +y =1 于 A、B、C、D 四点, 则|AB|?|CD|=

A.4

B.2

C.1

1 D. 2

11.如图,一个四棱锥的底面为正方形, 其三视图如图所示, 则这个四棱锥的侧面积为 A. 2 B. 6 C. 2( 2 ? 3) D. 2( 2 ? 3) ? 2

x2 y 2 12.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的半焦距为 c(c ? 0) , 左焦点为 F, 右顶点为 A, a b
抛物线 y ?
2

15 (a ? c) x 与椭圆交于 B,C 两点,若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离 8
B.

心率是 A.

8 15

4 15

C.

2 3

D .

1 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 a ? (1 ? sin ? ,1), b ? ( ,1 ? sin ? ) ,若 a // b . 则锐角 ? 14. 若( x ?

1 2

. .

3 n 各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64, 则n ? ) 的展开式中, x

15.用五种不同的颜色给图中编号为 1-6 的六个长方形区域涂色,要求颜色齐全且有公共边的区域不 同色,则共有 种不同的涂色方案. 3

1

2 4

5

6

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共计 70 分. 17.(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且满足 b cos A ? (2c ? a) cos(? ? B) (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b ? 4, ?ABC 的面积为 3 ,求 a ? c 的值.

2

18.(本小题满分 12 分) 在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , 且 a1 , a 2 , a5 成公比不等于 1 的等比数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n a n a n ?1

19.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2,在 y 轴上截得线段长为 2 3. (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y=x 的距离为 2 ,求圆 P 的方程. 2

20.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD , AB // CD ,

?ADC ? 900 , PD ? AD ? AB ? 1 , DC ? 2 .
(Ⅰ)求证: BC ? 平面 PBD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PB ? C 的大小.

21.(本小题满分 12 分) 某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加一次抽奖.抽奖箱中有大小完全 相同的 4 个小球,分别标有字“生” “意” “兴” “隆” .顾客从中任意取出 1 个球,记下上面的字后 放回箱中,再从中任取 1 个球,重复以上操作,最多取 4 次,并规定若取出“隆”字球,则停止取 球.获奖规则如下:取到标有“生” “意” “兴” “隆”字的球则为中奖. (Ⅰ)求获得中奖的概率;
3

(Ⅱ)设摸球次数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

3 x2 y2 , ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,左焦点 F (? 3 ,0) ,且离心率 e ? 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m ( k ? 0 )与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ( M , N 不是左、右顶 点),且 以 MN 为直径的圆经过椭圆 C 的右顶点 A .求证:直线 l 过定点,并求出定点的坐标.

4

遵义县第一中学 2015-2016-2 高二第一次联考试卷 理 科 数 学 答 案 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.C 7.B 8. D 9.B 10.C 11.C 12.D 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.45° 14.6 15.1080 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题 10 分)解: (1)? b cos A ? ?2c ? a ? cos(? ? B ) 2. C 3. B 4.A 5.B 6.C

? sin B cos A ? (?2 sin C ? sin A) cos B ? sin ? A ? B ? ? ?2 sin C cos B

1 2? ????????????(5 分) ? cos B ? ? 即 B ? 2 3 1 2 (2)由 S ?ABC ? ac sin B ? 3 得 ac ? 4 由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? ac ? ?a ? c ? ? ac ? 16 2 ? a ? c ? 2 5 .????????????(10 分)
18. (本小题满分 12 分)
2 解: (1)由已知有 a2 ? a1a5

?????? ??????(1 分)

而 ∴ 解得 ∴

a1 ? 1 (1 ? d ) 2 ? 1? (1 ? 4d )
????????????(3 分) ????????????(5 分) ????????????(6 分)

d ? 2 或 d ? 0 (舍去) an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .

(2)由(1)知, an ? 2n ? 1 ∴

bn ?

1 1 ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1)

?????????(7 分)

=

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

????????????(9 分)



S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn
?
=

1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

???(10 分)

1 1 (1 ? ) 2 2n ? 1 n ? 2n ? 1

??????????(11 分) ???????????(12 分)

5

19.(本小题满分 12 分) 解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 则 y +2=r ,x +3=r . ∴y +2=x +3,即 y -x =1. 2 2 ∴P 点的轨迹方程为 y -x =1.????????????(5 分) (2)设 P 的坐标为(x0,y0), |x0-y0| 2 则 = ,即|x0-y0|=1. 2 2 ∴y0-x0=±1,即 y0=x0±1. ①当 y0=x0+1 时,由 y0-x0= 1 得(x0+1) -x0=1. ∴?
?x0=0, ? ? ?y0=1,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴r =3.
2 2

2

∴圆 P 的方程为 x +(y-1) =3. ②当 y0=x0-1 时,由 y0-x0=1 得(x0-1) -x0=1. ∴?
? ?x0=0, ?y0=-1, ?
2 2 2 2

∴r =3.
2 2

2

∴圆 P 的方程为 x +(y+1) =3. 2 2 综上所述,圆 P 的方程为 x +(y±1) =3.????????????(12 分) 20. (本小题满分 12 分) 解: (1)证明:由题意课建立空间直角坐标系 D ? xyz ,如 图所示,则:

A(1,0,0) , B(1,1,0) , C ? 0, 2,0 ? , D(0,0,0) , P(0,0,1)
? ? ?


??? ? ??? ? ??? ? DP ? (0,0,1) , DB ? (1,1,0) , BC ? (?1,1,0) ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? DP?BC ? 0, DB?BC ? 0
DP ? BC , DB ? BC
DP ? 平面 PDB , DB ? 平面 PDB ,

DP ? DB ? D
?

BC ? 平面 PBD ???????????6 分 ??? ? ??? ? ??? ? (2)由(1)可知: AB ? (0,1,0) , PB ? (?1, ?1,1) , BC ? (?1,1,0) .
设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 分别是平面 PAB 和平面 PBC 的一个法向量,则

??

?? ?

??? ? ?? ??? ? ?? ? ? ? AB?n1 ? 0 ? ? BC ?n2 ? 0 且 ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ??? PB ? n ? 0 ? ? ? 1 ? PB?n2 ? 0
6

即 ?

? y1 ? 0 ?? x2 ? y2 ? 0 ,? ?? x1 ? y1 ? z1 ? 0 ?? x2 ? y2 ? z2 ? 0

不妨设 x1 ? x2 ? 1 ,则 n1 ? (1,0,1) , n2 ? (1,1, 2)

??

?? ?

?

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ?n2 1? 1 ? 0 ? 1 ? 1? 2 cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? 2 n1 ?n2 1 ? 02 ? 12 ? 12 ? 12 ? 22
? 3 2
5? . 6
?????????11 分

由图已知二面角 A ? PB ? C 为钝二面角, 二面角 A ? PB ? C 的大小为 21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设“中奖”分别为事件 A 则 P(A) ?
3 3 4

???????????12 分

??1 分

3 A ? (列式正确,计算错误,扣 1 分) ???5 分 128 4 (Ⅱ)设摸球的次数为 ? ,则 ? ? 1, 2,3 . ??6 分
3 1 3 1 , P(? ? 2) ? ? ? , 4 4 16 4 3 3 1 9 27 , P(? ? 4) ? 1 ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? . (各 1 分) P(? ? 3) ? ? ? ? 4 4 4 64 64 故取球次数 ? 的分布列为
P(? ? 1) ?

?
P

1

2

3

4

1 4

3 16

9 64

27 64
?11 分 ?12 分

1 3 9 27 E? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 2.75 . 4 16 64 64

7


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