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数学奥林匹克竞赛讲座 07面积问题和面积方法


竞赛讲座 07--面积问题和面积方法 面积问题和面积方法
基础知识 1.面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形, 故在面积公式中最基本的是三角形的 面积公式.它形式多样,应在不同场合下选择最佳形式使用. 设△ ABC , a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, ha 为 a 的高, R , r 分别为△ ABC 外接 圆,内切圆的半径, p = (1) S
ABC

1 (a + b + c) .则△ ABC 的面积有如下公式: 2 1 = ah a ; 2

(2) S ABC = (3) S ABC = (4) S ABC = (5) S ABC

1 bc sin A 2

p ( p a)( p b)( p c)

1 r (a + b + c) = pr 2 abc = 4R
2

(6) S ABC = 2 R sin A sin B sin C (7) S ABC = (8) S ABC = (9) S ABC

a 2 sin B sin C 2 sin( B + C )

1 ra (b + c a ) 2 1 = R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ) 2

2.面积定理 (1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和; (2)两个全等形的面积相等; (3)等底等高的三角形,平行四边形,梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等; (4)等底(或等高)的三角形,平行四边形,梯形的面积的比等于其所对应的高(或底) 的比; (5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方; (6)共边比例定理:若△ PAB 和△ QAB 的公共边 AB 所在直线与直线 PQ 交于 M ,则

S PAB : S QAB = PM : QM ;
(7)共角比例定理:在△ ABC 和△ A′B ′C ′ 中,若 ∠A = ∠A′ 或 ∠A + ∠A′ = 180° ,则

S ABC AB AC = . S A′B′C ′ A′B ′ A′C ′

3.张角定理:如图,由 P 点出发的三条射线 PA, PB, PC ,设 ∠APC = α , ∠CPB = β ,

∠APB = α + β < 180° ,则 A, B, C 三点共线的充要条件是:

sin α sin β sin(α + β ) + = . PB PA PC
例题分析 例题分析 例 1.梯形 ABCD 的对角线 AC, BD 相交于 O ,且 S AOB = m , S COD = n ,求 S ABCD 例 2.在凸五边形 ABCDE 中,设 S ABC = S BCD = S CDE = S DEA = S EAB = 1 ,求此五边 形的面积. 例 3. G 是△ ABC 内一点,连结 AG , BG , CG 并延长与 BC , CA, AB 分别交于 D, E , F , △ AGF ,△ BGF ,△ BGD 的面积分别为 40,30,35,求△ ABC 的面积. 例 4. P, Q, R 分别是△ ABC 的边 AB, BC 和 CA 上的点,且 BP = PQ = QR = RC = 1 , 求△ ABC 的面积的最大值. 例 5 . 过 △ ABC 内 一 点 引 三 边 的 平 行 线 DE ‖ BC , FG ‖ CA , HI ‖ AB , 点

D, E , F , G, H , I 都在△ ABC 的边上, S1 表示六边形 DGHEFI 的面积, S 2 表示
△ ABC 的面积.求证: S1 ≥

2 S2 . 3

例 6.在直角△ ABC 中, AD 是斜边 BC 上的高,过△ ABD 的内心与△ ACD 的内心的直 线分别交边 AB 和 AC 于 K 和 L ,△ ABC 和△ AKL 的面积分别记为 S 和 T .求证: S ≥ 2T . 例 7.锐角三角形 ABC 中,角 A 等分线与三角形的外接圆交于一点 A1 ,点 B1 , C1 与此类 似,直线 AA1 与 B , C 两角的外角平分线将于一点 A0 ,点 B0 , C 0 与此类似.求证: (1)三角形 A0 B0 C 0 的面积是六边形 AC1 BA1CB1 的面积的二倍; (2)三角形 A0 B0 C 0 的面积至少是三角形 ABC 的四倍. 例 8.在△ ABC 中, P, Q, R 将其周长三等分,且 P, Q 在边 AB 上,求证:

S PQR S ABC

>

2 . 9

例 9.在锐角△ ABC 的边 BC 边上有两点 E , F ,满足 ∠BAE = ∠CAF ,作 FM ⊥ AB ,

FM ⊥ AC ( M , N 是垂足) 延长 AE 交△ ABC 的外接圆于点 D ,证明四边形 AMDN 与 ,
△ ABC 的面积相等. 三.面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一, 它的特点是利用间面积相等而进行相互转换 证(解)题.

例 10 . 凸 六 边 形 ABCDEF 内 接 于 ⊙ O , 且 AB = BC = DC =

3 +1 ,

DE = EF = FA = 1 ,求此六边形的面积. 例 11.已知 ABC 的三边 a > b > c ,现在 AC 上取 AB ′ = AB ,在 BA 延长线上截取 BC ′ = BC ,在 CB 上截取 CA′ = CA ,求证: S ABC > S A′B′C ′ .
例 12. A′B ′C ′ 在 ABC 内, ABC ∽ A′B ′C ′ , 且 求征: A′BC + S B′CA + S C ′AB = S ABC S 例 13.在 ABC 的三边 BC , CA, AB 上分别取点 D, E , F ,使 BD = 3DC , CE = 3EA ,

AF = 3FB ,连 AD, BE , CF 相交得三角形 PQR ,已知三角形 ABC 的面积为 13,求三角
形 PQR 的面积. 例 14. E 为圆内接四边形 ABCD 的 AB 边的中点, EF⊥AD 于 F , EH⊥BC 于 H , EG⊥CD 于 G ,求证: EF 平分 FH . 例 15.已知边长为 a, b, c, 的 ABC ,过其内心 I 任作一直线分别交 AB, AC 于 M , N 点, 求证:

MI a + c ≤ . IN b

例 16.正△ PQR 正△ P ′Q ′R ′ , AB = a1 , BC = b1 , CD = a 2 , DE = b2 ,

EF = a 3 , FA = b3 .求证: a1 + a 2 + a3 = b1 + b2 + b3 .
2 2 2 2 2 2

例 17. 在正 ABC 内任取一点 O , O 点关于三边 BC , CA, AB 的对称点分别为 A′, B ′, C ′ , 设 则 AA′, BB ′, CC ′ 相交于一点 P . 例 18.已知 AC , CE 是正六边形 ABCDEF 的两条对角线,点 M , N 分别内分 ACCE ,且

AM CN = = k ,如果 B, M , N 三点共线,试求 k 的值. AC CE 例 19. 设在凸四边形 ABCD 中, 直线 CD 以 AB 为直径的圆相切, 求证: 当且仅当 BC ‖ AD 时,直线 AB 与以 CD 为直径的圆相切.
使 训练题 1 . 设 ABC 的 面 积 为 10 cm , D, E , F 分 别 是 AB, BC , CA 边 上 的 点 , 且
2

AD = 2cm, DB = 3cm, 若 S ABE = S DBEF ,求 ABE 的面积.
2.过 ABC 内一点作三条平行于三边的直线,这三条直线将 ABC 分成六部份,其中,三 部份为三角形,其面积为 S1 , S 2 , S 3 ,求三角形 ABC 的面积. 3.在 ABC 的三边 AB, BC , CA 上分别取不与端点重合的三点 M , K , L ,求证: AML ,

1 BKM , CLK 中至少有一个的面积不大于 ABC 的面积的 . 4 4.锐角 ABC 的顶角 A 的平分线交 BC 边于 L ,又交三角形的外接圆于 N ,过 L 作 AB 和
AC 边的垂线 LK 和 LM ,垂足是 K , M , 求证: 四边形 AKNM 的面积等于 ABC 的 面积.
5.在等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上取一点 D ,使 DC =

E ,求证: AE = EC .

1 BC ,作 BE⊥AD 交 AC 于 3

6.三条直线 l , m, n 互相平行, l, n 在 m 的两侧,且 l, m 间的距离为 2 , m, n 间的距离为 1, 若正 ABC 的三个顶点分别在 l , m, n 上,求正 ABC 的边长. ,证明:在 7.已知 P1 P2 P3 及其内任一点 P ,直线 Pi P 分别交对边于 Qi ( i = 1,2,3 )

P1 P P2 P P3 P , , 这三个值中,至少有一个不大于 2,并且至少有一个不小于 2. PQ1 PQ2 PQ3
8. D 和 E 分别在 ABC 的边 AB 和 BC 上, K 和 M 将线段 DE 分为三等分, 点 点 直线 BK 和 BM 分别与边 AC 相交于点 T 和 P ,证明: TP ≤

1 AC . 3

9.已知 P 是 ABC 内一点,延长 AP, BP, CP 分别交对边于 A′, B ′, C ′ ,其中 AP = x ,

BP = y, CP = z , PA′ = PB ′ = PC ′ = w ,且 x + y + z = 23, w = 3 ,求 xyz 之值.
10.过点 P 作四条射线与直线 l , l ′ 分别交于 A, B, C , D 和 A′, B ′, C ′, D ′ ,求证:

AB CD A′B ′ C ′D ′ = . AD BC A′D ′ B ′C ′
11.四边形 ABCD 的两对对边的延长线分别交 K , L ,过 K , L 作直线与对角线 AC , BD 的 延长线分别 G , F ,求证:

LF LG = . KF KG

12. G 为 ABC 的重心,过 G 作直线交 AB, AC 于 E , F ,求证: EG ≤ 2GF .

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