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高中不等式习题精选精解 整理


高中不等式习题精选精解 整理
一、求取值范围
1、已知 ? 1 ? x ? y ? 1,1 ? x ? y ? 3 ,求 3x ? y 的取值范围。 (不用线性规划) 解: 3x ? y ? 1* ( x ? y) ? 2 * ( x ? y) 根据已知条件: ? 1 ? 1* 2 ? 3x ? y ? 1 ? 2 * 3,1 ? 3x ? y ? 7 所以

3x ? y 的取值范围是 ?1,7 ? 2、已知 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 0 ,求 c / a 的取值范围。 解:由已知条件,显然 a ? 0, c ? 0

?b ? c,? a ? 2c ? a ? b ? c ? 0,? a ? 0,?c / a ? ?1 / 2 ? a ? b,? 2a ? c ? a ? b ? c ? 0, c ? ?2a,? a ? 0,?c / a ? ?2
综上所述 c / a 的取值范围是 ?? 2,?1 / 2 ?

3、正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,求 1 / x ? 1 / y 的最小值。 解: 1 / x ? 1 / y ? 1* (1 / x ? 1 / y) ? ( x ? 2 y)(1 / x ? 1 / y) ? 1 ? x / y ? 2 y / x ? 2

? 3 ? 2 ( x / y )( 2 y / x) ? 3 ? 2 2 (? x, y 为正数)

4、设实数 x, y 满足 x ? ( y ? 1) ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时,求 c 的取值范围。
2 2

解:方程 x ? ( y ? 1) ? 1 表示的是以点(0,1)为圆心的圆,根据题意当直线 x ? y ? c ? 0
2 2

( c 为常数)与圆在第二象限相切时, c 取到最小值; (此时,切点的坐标 ( x, y ) 满足

x ? y ? c ? 0 ,其它圆上的点都满足 x ? y ? c ? 0 (因为在直线的上方) ,当 c 增大,直线向
下方平移,圆上的全部点满足 x ? y ? c ? 0 , 因此: 0 ? (1 ? 2 ) ? cmin ? 0, cmin ? y

2 ?1

1

所以 c 的取值范围是

?

2 ? 1,??

?

x

5、已知函数 f ( x) ? ax ? bx(a ? 0) 满足 1 ? f (?1) ? 2 ,2 ? f (1) ? 5 ,求 f (?3) 的取值范
2

围。 解:由习已知得: 1 ? a ? b ? 2,2 ? a ? b ? 5 设: f (?3) ? 9a ? 3b ? m(a ? b) ? n(a ? b) ? ?

?m ? n ? 9 ?m ? 3 ?? ?m ? n ? ?3 ?n ? 6

? f (?3) ? 6 * f (?1) ? 3 * f (1),?12 ? f (?3) ? 27
所以 f (?3) 的取值范围是 ?12 ,27 ?

6、已知: a 、 b 都是正数,且 a ? b ? 1, ? ? a ?
2

1 1 , ? ? b ? ,求 ? ? ? 的最小值 a b

1 1 ?a?b? 解:? a, b 是正数,? ab ? ? ? ? ,? ? 4 4 ab ? 2 ?

?? ? ? ? a ?

1 1 1 1 a?b 1 ? b ? ? ( a ? b) ? ( ? ) ? 1 ? ? 1? ?5 a b a b ab ab

?? ? ? 的最小值是 5, (当且仅当 a ? b ? 1 / 2 时) 。

7、已知集合 A ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0 与 B ? x | x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 ,若 B ? A ,求 a
2

?

?

?

2

?

的取值范围。 解: x ? 5 x ? 4 ? ( x ? 4)( x ? 1) ? 0,1 ? x ? 4,? A ? ?x | 1 ? x ? 4?
2

y
X1

设 y ? x ? 2ax ? a ? 2? (*)
2

x2 4 x

当 B ? ?,即方程(*)无解,显然 B ? A 成立,由 ? ? 0 得

o

1

4a 2 ? 4(a ? 2) ? 0 ,解得 ? 1 ? a ? 2?(1)
当 B ? ?,且 B ? A 成立,即: ?x | x1 ? x ? x2 ? ? ?x | 1 ? x ? 4? 根据图像得出:

?2 ?1 ? 2a *1 ? a ? 2 ? 0 ? 2 18 ?4 ? 2a * 4 ? a ? 2 ? 0 ,解得 1 ? a ? ? (2) 7 ? ? 2a ?1 ? ?4 ?2 ?

2

综合(1) (2)两式,得 a 的取值范围为 ?? 1,18 / 7? 。

8、若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 有实数解,求实数 a 的取值范围。
x x

解一:设 t ? 2 ,? 2 ? 0,? t ? 0 ,原题转换为求方程 t ? at ? a ? 1 ? 0 在 ?0,??? 上有解。
x
x

2

共有两种情况,一种是有两个根,一种是只 有一个根(如图所示) ,由二次函数的图像和 性质,得方程 t ? at ? a ? 1 ? 0 在 ?0,??? 上
2

y

y

o

有实数解的充要条件为:

x

o

x

?? ? a 2 ? 4(a ? 1) ? 0 ? ?? ? a 2 ? 4(a ? 1) ? 0 ? a 或? ?? ? 0 ? f (0) ? a ? 1 ? 0 ? 2 ? ? f (0) ? a ? 1 ? 0
解得 ? 1 ? a ? 2 ? 2 2或a ? ?1,即a ? 2 ? 2 2 所以 a 的取值范围是 ? ?,2 ? 2 2 解二:由方程 t ? at ? a ? 1 ? 0 得 a ? ?
2

注:两组不等式分别对应两个图

?

?

1? t 2 (t ? 0) 1? t

函数 f (t ) ? ?

1? t 2 (t ? 0) 的值域就是 a 的取值范围。 1? t

a??

1 ? t 2 ? (t 2 ? 1) ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ?(t ? 1) ? ? ? ?(t ? 1) ? ? 2? ? 1? t 1? t t ? 1? t ?1 ? ? ?

? ? ( 2 2 ? 2) ? 2 ? 2 2
所以 a 的取值范围是 ? ?,2 ? 2 2

?

?

二、解不等式
1、 ( x ? 2) x ? 2 x ? 3 ? 0
2

解:不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 与 ?

? f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 同解,也可以这样理解: ? g ( x) ? 0

符 号 “ ? ” 是 由 符 号 “>”“=” 合 成 的 , 故 不 等 式 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 可 转 化 为

f ( x) ? g ( x) ? 0 或 f ( x) ? g ( x) ? 0 。
3

解得:原不等式的解集为 ?x | x ? 3或x ? ?1?

2、

x 2 ? 3x ? 2 ?0. x2 ? 2x ? 3
2 2 ? x 2 ? 3x ? 2 ?( x ? 3 x ? 2)( x ? 2 x ? 3) ? 0 ? 0 ? ? ? 2 x2 ? 2x ? 3 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ?

解:

?( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,用根轴法(零点分段法)画图如下: ? ?( x ? 3)( x ? 1) ? 0
+ -1 1 + 2 3 +

?原不等式的解集为 ?x | ?1 ? x ? 1或2 ? x ? 3?。

3、 x ? 1 ? ax ? 1, ( a ? 0)
2

解:原式等价于

x 2 ? 1 ? 1 ? ax

? x 2 ? 1 ? 1,?1 ? ax ? 1 ,即 ax ? 0 注:此为关键

? x 2 ? 1 ? (1 ? ax) 2 解得: ? a ? 0,? x ? 0 ?原不等式等价于不等式组 ? ?x ? 0
? 2a ? ? ? ?当0 ? a ? 1时,原不等式解集为? x | 0 ? x ? 1? a2 ? ? ? ?当a ? 1时,原不等式解集为?x | x ? 0? ?
4、 ( x ? 2)( ax ? 2) ? 0 解:当 a ? 0 时,原不等式化为 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 ; 当 a ? 0 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得

2 a

2 ? x?2; a 2 ; a

当 0 ? a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得 x ? 2或x ? 当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2) ? 0 ,得 x ? 2 ;
2

2 a

当 a ? 1 时,原不等式化为 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 ,得 x ?

2 a

2 或x ? 2 a

4

?? ? 综合上面各式,得原不等式的解集为: ?? ?? ?
5、关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 ?1,?? ? ,求 解:由题意得: a ? 0 ,且 a ? b 则不等式

ax ? b ? 0 的解集。 x?2

?( ax ? b)( x ? 2) ? 0 ax ? b 同解 ? 0 与不等式组 ? x?2 ?x ? 2 ? 0

得所求解集为 ?x | x ? ?1或x ? 2?

6 、已知 a ? 0 且 a ? 1 ,关于 x 的不等式 a ? 1 的解集是 x x ? 0 ,解关于 x 的不等式
x

?

?

1 log a ( x ? ) ? 0 的解集。 x
解:? 关于 x 的不等式 a ? 1 的解集是 x x ? 0 ,? a ? 1 ,
x

?

?

?0 ? x? 1 1 1? 5 x log a ( x ? ) ? 0 ? ? 1 ? ?1 ? x ? x 2 ? x ? x ?1

或1 ?

x?

1? 5 2

?

原不等式的解集是 (?1,

1? 5 1? 5 ) ? (1, )。 2 2

三、证明题 1、已知 a ? b ? c ,求证: a b ? b c ? c a ? ab ? bc ? ca
2 2 2 2 2 2

证一: a

2

b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc 2 ? ca 2 ? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a)

? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? b ? b ? a) ? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(b ? c) ? ca(a ? b) ? a(a ? b)(b ? c) ? c(b ? c)(b ? a) ? (a ? b)(b ? c)(a ? c) ? 0, (? a ? b ? c)

? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc2 ? ca 2 ,证毕。
证二: a
2

b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc 2 ? ca 2 ? a 2 (b ? c) ? b 2 (c ? a) ? c 2 (a ? b)

? a 2 (b ? c) ? b 2 (c ? b ? b ? a) ? c 2 (a ? b) ? (b ? c)( a 2 ? b 2 ) ? (a ? b)(c 2 ? b 2 )

? (b ? c)(a ? b)(a ? b) ? (a ? b)(b ? c)(b ? c) ? (a ? b)(b ? c)(a ? c) ? 0

5

? a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc2 ? ca 2 ,证毕。

2、设 a ? b ? 0 , n 为偶数,证明

b n ?1 a n ?1 1 1 ? n ? ? an b a b
.

b n ?1 a n ?1 1 1 (a n ? b n )(a n ?1 ? b n ?1 ) ? n ? ? ? 证: a b (ab) n an b
①当 a

? 0, b ? 0 时, (ab)n ? 0 , (a n ? b n )(a n?1 ? bn?1 ) ? 0
,故

,



(a n ? b n )(a n ?1 ? b n ?1 ) ?0 (ab) n

b n ?1 a n ?1 1 1 ? n ? ? an b a b

;

②当 a , b 有一个负值时,不妨设 a ∵ n 为偶数时,∴ ( a
n

? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,即 a ?| b |
,且 (ab)
n

.

? b n )(a n?1 ? bn ?1 ) ? 0
,故

?0
.



(a n ? b n )(a n ?1 ? b n ?1 ) ?0 (ab) n

b n ?1 a n ?1 1 1 ? n ? ? an b a b

综合①②可知,原不等式成立 注:必须要考虑到已知条件 a ? b ? 0 ,分类讨论,否则不能直接得出 ( a
n

? b n )(a n?1 ? bn ?1 ) ? 0

3、求证: 证:设向量

a 2 ? 16 ? (a ? 4) 2 ? 36 ? 2 29

? ? ? p ? (a, 4), q ? (4 ? a, 6)

,由

? ? ? ? ? ? | p | ? | q |?| p ? q | ,得

? ? ? ? ? ? a 2 ? 16 ? (a ? 4) 2 ? 36 ?| p | ? | q | ?| p ? q |

?| (a, 4) ? (4 ? a, 6) |?| (4,10) |? 16 ? 100 ? 2 29
注意:当

?? ? p ∥ q 时,即 a ? ?8 , p ? ( ?8, 4) , q ? (?12,6) , p 、 q 方向相同,取等号。

当利用公式 |

? ? ? p | ? | q |?| p ? q | 证明时,会得: a 2 ? 16 ? (a ? 4) 2 ? 36 ?| p | ? | q |

? ? ? ?| p ? q |?| (a, 4) ? (a ? 4, 6) |?| (4, ?2) |? 16 ? 4 ? 2 5 的错误结论,因为这里取等号
的条件是

?? ? ?? ? p ∥ q ,且 p 、 q 方向相反,根据题设条件, p ∥ q 时,方向相同,故取不到等号,

计算的结果也使不等式范围缩小了。

6

4、求证: 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? 2 ? 2 2 3 n n

(n ? 2)

证一:?

1 1 1 1 ? ? ? (n ? 2) 2 n n(n ? 1) n ? 1 n

?1 ?

?原不等式成立,证毕。

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ? ? 2? 2 2 3 n 1 2 2 3 n ?1 n n
1 1 ? 2 ? ,显然成立; 2 2 2
1 1 1 1 成立,则 ? 2 ?? ? ? 2? 2 2 2 3 (k ? 1) k ?1

证二:当 n ? 2 时,原不等式为: 1 ?

假设当 n 取 k -1 时,原不等式成立,即 1 ?

1?

1 1 1 1 1 1 k 2 ? k ?1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2 32 (k ? 1) 2 k 2 k ?1 k 2 (k ? 1)k 2

? 2?

k (k ? 1) 1 1 1 1 ? ? 2? ? ? 2 ? ,即 n 取 k 时原不等式也成立。 2 2 2 (k ? 1)k (k ? 1)k k (k ? 1)k k

综上,对于任意 n ( n ? 2 )原不等式成立,证毕。 注意:此类证明方法称为数学归纳法

5、设 证: |

f ? x ? ? x 2 ? x ? 13 ,实数 a 满足 x ? a ? 1 ,求证: f ? x ? ? f ? a ? ? 2 ? a ? 1?

f ( x) ? f (a) |?| x 2 ? x ? 13 ? a 2 ? a ? 13 |?| x 2 ? a 2 ? ( x ? a) |

= | ( x ? a)( x ? a ? 1) |?| ?当 x ? a ? 0 , | ?当 x ? a ? 0 , | ?当 x ? a ? 0 , |

x ? a ? 1 |?| ( x ? a) ? 2a ? 1 |

f ( x) ? f (a) |?| ( x ? a) ? 2a ? 1 |?| 2a |? 2(| a | ?1) f ( x) ? f (a) |?| ( x ? a) ? 2a ? 1 |?| 2a ? 1 |? 2(| a | ?1) f ( x) ? f (a) |?| ( x ? a) ? 2a ? 1 |?| 2a ? (1? | x ? a |) |? 2(| a | ?1)

综合???式情况,原不等式成立。证毕 注:??式的最后一步省略了对 a

? 0, a ? 0, a ? 0 的详细分析,正式解题时不能省。分析过程用

a, b 同号 ?| a ? b |?| a | ? | b |?|| a | ? | b ||?| a ? b |; a, b 异号 ?| a ? b |?| a | ? | b |?|| a | ? | b ||?| a ? b |

6、已知: x

? 0, y ? 0, x ? y, 且x ? y ? x 2 ? y 2 ? xy ,求证: 1 ? x ? y ?

4 3

7

证:由已知得: x ?

y ? ( x ? y ) 2 ? xy ,即 xy ? ( x ? y) 2 ? ( x ? y) ? ?
2

? x? y? ? x ? y ,及基本不等式? xy ? ? ? ? 2 ?
解得 x ?

,代入式?得: ?

? x? y? 2 ? ? ( x ? y) ? ( x ? y) ? 2 ?

2

y?

4 ; 3

? x ? 0, y ? 0,? xy ? 0 ,由式?得 ( x ? y ) 2 ? ( x ? y ) ? 0 ,? x ? y ? 1
综上得: 1 ?

x? y ?

4 。 3

证毕。

7、已知 a, b, c

? 0, abc ? 1,证明:

1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? ( ? ? ) a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2 a b c
3

证:?

1 abc bc 1 1 , ? 3 ? 2 ? 2? a (b ? c) a (b ? c) a (b ? c) a 1 ? 1 b c
3
3

1 1?1 1? 1 1 1?1 1? 1 ? ? ? ?? 2 ? ? ? ? ?? , a (b ? c) 4 ? b c ? a 1 ? 1 4 ? b c ? a b c
1 1 1 1 1 ? ( ? )? b (c ? a ) 4 a c b
3

?, (? a, b, c

? 0 )同理得:

?,

1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? c ( a ? b) 4 a b c
3

???式两边相加,得

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? ( ? ? )? ? ? a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2 a b c a b c
3

?

1 1 1 1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? ( ? ? ) a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b) 2 a b c
3

所以原不等式成立,证毕。

注: “

1 1 1 k ?1 1? ”的来由:不等式 2 ? ? k? ? ? ? 2 1 1 4 a a ?b c? ? b c

当且仅当 a ? b ? c 时取等号,得 k

?

1 。 4

二.不等式大小比较的常用方法: 1.作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果; 2.作商(常用于分数指数幂的代数式) ; 3.分析法; 4.平方法; 5.分子(或分母)有理化; 6.利用函数的单调性; 7.寻找中间量或放缩法 ;
8

8.图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。如 1 t ?1 (1)设 a ? 0且a ? 1, t ? 0 ,比较 log a t和 log a 的大小 2 2 1 t ?1 (答:当 a ? 1 时, log a t ? log a ( t ? 1 时取等号) ;当 0 ? a ? 1 时, 2 2 1 t ?1 ( t ? 1时取等号) ) ; log a t ? log a 2 2 2 1 (2)设 a ? 2 , p ? a ? , q ? 2 ? a ? 4 a ? 2 ,试比较 p, q 的大小 a?2 (答: p ? q ) ; (根据可知 p》=4 q《=4 得) (3)比较 1+ log x 3 与 2 log x 2( x ? 0且x ? 1) 的大小 4 4 (答: 当 0 ? x ? 1 或 x ? 时, 1+ log x 3 > 2 log x 2 ; 当 1 ? x ? 时, 1+ log x 3 < 3 3 4 2 log x 2 ;当 x ? 时,1+ log x 3 = 2 log x 2 ) 3 三.利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到: “一正二定三相等,和定积 最大,积定和最小”这 17 字方针。如 (1)下列命题中正确的是 1 A、 y ? x ? 的最小值是 2 x x2 ? 3 B、 y ? 的最小值是 2 x2 ? 2 4 C、 y ? 2 ? 3x ? ( x ? 0) 的最大值是 2 ? 4 3 x 4 D、 y ? 2 ? 3x ? ( x ? 0) 的最小值是 2 ? 4 3 x (答:C) ; x y (2)若 x ? 2 y ? 1 ,则 2 ? 4 的最小值是______ (答: 2 2 ) ;
1 1 (3)正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则 ? 的最小值为______ x y

(答: 3 ? 2 2 ) ;
2 2 4.常用不等式有: (1) a ? b ? a ? b ? ab ? 2 (根据目标不等式左右 2 2 1?1 a b 2 2 2 的运算结构选用) ; (2) a、 b、 c ? R,a ? b ? c ? ab ? bc ? ca(当且仅当 a ? b ? c b b?m 时,取等号) ; (3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则 ? (糖水的浓度问题) 。如 a a?m 如果正数 a 、 b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是_________ (答: ? 9, ?? ? )

五.证明不等式的方法:比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是: 作差 (商) 后通过分解因式、 配方、 通分等手段变形判断符号或与 1 的大小, 然后作出结论。).
9

1 1 1 1 1 1 1 常用的放缩技巧有: ? ? ? 2? ? ? n n ? 1 n(n ? 1) n n(n ? 1) n ? 1 n 1 1 1 k ?1 ? k ? ? ? ? k ? k ?1 k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k 如(1)已知 a ? b ? c ,求证: a 2 b ? b 2 c ? c 2 a ? ab2 ? bc2 ? ca 2 ; (2) 已知 a, b, c ? R ,求证: a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c) ; x y 1 1 (3)已知 a, b, x, y ? R ? ,且 ? , x ? y ,求证: ; ? x?a y ?b a b (4) 若 a 、 b 、 c 是 不 全 相 等 的 正 数 , 求 证 : a?b b?c c?a lg ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c ; 2 2 2 (5)已知 a, b, c ? R ,求证: a 2b2 ? b2c 2 ?c 2 a 2 ? abc(a ? b ? c) ;

(6)若 n ? N * ,求证: ( n ? 1) 2 ? 1 ? ( n ? 1) ? n 2 ? 1 ? n ; |a|?|b| |a|?|b| (7)已知 | a |?| b | ,求证: ; ? | a ?b| |a?b| 1 1 1 (8)求证: 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 。 2 3 n 六.简单的一元高次不等式的解法:标根法:其步骤是: (1)分解成若干个一次 因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; (2)将每一个一次因式 的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过 偶弹回; (3)根据曲线显现 f ( x) 的符号变化规律,写出不等式的解集。如 (1)解不等式 ( x ? 1)( x ? 2) 2 ? 0 。 (答: {x | x ? 1 或 x ? ?2} ) ; (2)不等式 ( x ? 2) x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是____ (答: {x | x ? 3 或 x ? ?1} ) ; (3) 设函数 f ( x) 、g ( x) 的定义域都是 R, 且 f (x ) ? 0 的解集为 {x |1 ? x ? 2} , g ( x) ? 0 的解集为 ? ,则不等式 f ( x)?g ( x) ? 0 的解集为______ (答: (??,1) ? [2, ??) ) ; (4)要使满足关于 x 的不等式 2 x 2 ? 9 x ? a ? 0(解集非空)的每一个 x 的值 至少满足不等式 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0和x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 中的一个, 则实数 a 的取值范围是 ______. 81 (答: [7, ) ) 8 七.分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通 分并将分子分母分解因式, 并使每一个因式中最高次项的系数为正, 最后用 标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时 可去分母。如 5? x (1)解不等式 2 ? ?1 x ? 2x ? 3 (答: (?1,1) ? (2,3) ) ; ( 2 ) 关 于 x 的 不 等 式 ax ? b ? 0 的 解 集 为 (1,??) , 则 关 于 x 的 不 等 式

10

ax ? b ? 0 的解集为____________ x?2

(答: (??,?1) ? (2,??) ). 八.绝对值不等式的解法: 1.分段讨论法(最后结果应取各段的并集) :如解不等式 | 2 ? (2)利用绝对值的定义; (3)数形结合;如解不等式 | x | ? | x ? 1|? 3 (答: (??, ?1) ? (2, ??) ) (4)两边平方:如 若不等式 | 3x ? 2 |?| 2 x ? a | 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为______。 4 (答: { } ) 3 九.含参不等式的解法:求解的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分 类讨论是关键. ”注意解完之后要写上: “综上,原不等式的解集是?” 。注意: 按参数讨论,最后应按参数取值分别说明其解集;但若按未知数讨论,最后应求 并集. 如 2 (1)若 log a ? 1 ,则 a 的取值范围是__________ 3 2 (答: a ? 1 或 0 ? a ? ) ; 3 ax 2 ? x(a ? R) (2)解不等式 ax ? 1 1 1 (答: {x | x ? 0} ; {x | x ? 或 x ? 0} ; {x | ? x ? 0} a ? 0 时, a ? 0 时, a ? 0 时, a a 或 x ? 0} ) 提醒: (1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示; (2) 不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。 x?2 如 关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (??,1) ,则不等式 ? 0 的解集为 ax ? b __________(答: (-1,2) ) 十一.含绝对值不等式的性质: a、b 同号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; a、b 异号或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b | ? || a | ? | b ||?| a ? b | . 如设 f ( x) ? x 2 ? x ? 13 , 实数 a 满足 | x ? a |? 1 , 求证:| f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) 十二. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题: 不等式恒成立问题的常规处理方 式?(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住 所给不等式的结构特征,利用数形结合法) 1).恒成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B 如(1)设实数 x, y 满足 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,当 x ? y ? c ? 0 时, c 的取值范围是
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3 1 x |? 2? | x ? | 4 2 (答: x ? R ) ;

______

(答: ? ; ? 2 ? 1, ?? ) (2) 不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 对一切实数 x 恒成立, 求实数 a 的取值范围_____ (答: a ? 1 ) ; 2 (3)若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 m ? 2 的所有 m 都成立,则 x 的取值 范围_____ (答: ( (4)若不等式 (?1) n a ? 2 ? 值范围是_____
3 (答: [?2, ) ) ; 2 (5)若不等式 x2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立,求 m 的 取值范围. 1 (答: m ? ? ) 2 2). 能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立 , 则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ;
7 ?1 3 ?1 , ) ) ; 2 2

?

(?1) n ?1 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取 n

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立 , 则等价于在区间 D 上的 f ? x?mi n ? B .如

已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值 范围____ (答: a ? 1 ) 3). 恰成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恰成立 , 则等价于不等式 f ?x ? ? A 的解集为 D; 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恰成立 , 则等价于不等式 f ?x ? ? B 的解集为 D.

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