当前位置:首页 >> 数学 >>

数列中有关思想的探究应用


课题:利用数学思想解决数列问题(一)

一、教学目标: 1、能熟练求解无穷等比数列各项的和。 2、体会极限思想并能应用。 3、领会“归纳——猜测——论证”的思想方法,具有一定的演绎推理能力和归纳、猜测、 论证的能力。

二、教学重点与难点: 1、体会极限思想并能应用。 2、领会“归纳——猜测——论证”的思想方法,具有一定的演绎推理能力和归纳

、猜测、 论证的能力。

三、教学过程: (一)简单运用 3 1、 (2008 年文 14 理 14). 若数列{an}是首项为 1,公比为 a- 的无穷等比数列,且{an}各 2 项的和为 a,则 a 的值是( A.1 解答:B 知识点 无穷等比数列的各项和公式 及使用条件 课本、练习册 【练习册 P23/习题 7.8(B 组)第 2 题】 2.已知无穷等比数列 ? B.2 ) 1 C. 2 D. 5 4

4 ? 1 ? cos n?1 ? ? 的各项和等于 ,其中 n ?1 3 ?2 ?

?

?
2

?? ?

?
2

,求 θ 的值。

【教材 P48/练习 7.8(2)第 2 题】

1

lim( 2.在无穷等比数列 {an }中, a1 ? a2 ? ? ? an ) ?
n ??

1 ,求首 2

项 a1 的取值范围。

?1 ? n 2 , 1 ≤ n ≤ 1000, ? 2、(2007 年文科 14).数列 ? an ?中, an ? ? 则数列 ? an ?的极限值( 2 ? n , ≥ 1001, n ? n 2 ? 2n ?



A.等于 0 解答: B 知识点:

B.等于 1

C.等于 0 或 1

D.不存在

教材、练习册

极限的定义

【教材 P38/1】 :判断下列说法是否正确,并说明理由
万个 ? 1?? ? ? (1) 数列 3,3, ,的极限是 3 3,? 3

(2) 数列 3,5,10,5,5,?,5?的极限是 5 【练习册 P20/3 (1)】已知数列{an}的极限为 A,如果数列

?2 (当n ? 106 时) ? an {bn}满足 bn ? ? 3 ,那么数列{bn}的极限是 6 ? 3an ? (当n>10 时)
(A)A (B) 2 A (C)3A (D)不存在 3

小结:1、无穷等比数列求和公式使用的条件“ 0<|q|<1 ” 2、极限思想主要研究变量趋向无穷时变化的趋势。

(二)极限思想的灵活运用 1、 (2003 年理)11.已知点 A(0, ), B (0,? ), C (4 ? ABC 外接圆的面积,则 lim S n =
n??

2 n

2 n

2 ,0), 其中 n 的为正整数.设 Sn 表示△ n

.

解答: 4 ?

知识点:

课本、练习册
2

极限的思想

如图, 连结 ?ABC 的各边中点得 到 一 个 新 的 ?A1 B1 C1 , 又

y

C B1 A2 A o C1 C2 A1 B2 B x

?A1 B1C1 的各边中点得 到一个
新的 ?A2 B2 C2 , 如此无限继续下 去,得到一系列三角形,

?A1 B1 C1 , ?A2 B2C2 , ?A3 B3C3 , ?, 这一系列三角
形趋向于一个点 M 。已知 A?0,0?, B?3,0?, C?2,2? ,则点
M 的坐标是( 5 2 A、( , ) 3 3


5 B、( ,1) 3 2 2 C、( ,1) D、(1, ) 3 3

2、 (2010 年理 11). 将直线 l2 : nx ? y ? n ? 0 、l3 : x ? ny ? n ? 0 ( n ? N , n ? 2 )x 轴、
*

y 轴围成的封闭图形的面积记为 Sn ,则 lim S n ?
n ??


*

(2010 年文 14) 将直线 l1 : x ? y ?1 ? 0 、l2 : nx ? y ? n ? 0 、l3 : x ? ny ? n ? 0( n ? N , .

n ? 2 )围成的三角形面积记为 Sn ,则 lim S n ? ____________。
n ??

解答:理 1 文

1 2

(三)数学归纳法的灵活应用 1、(2007 年文科 15).设 f (x) 是定义在正整数集上的函数,且 f (x) 满足: “当 f (k ) ≥ k 2 成 立时,总可推
2 出 f (k ? 1) ≥ (k ? 1) 成立” 那么,下列命题总成立的是( .



A.若 f (1) ? 1 成立,则 f (10 ) ? 100成立 B.若 f ( 2 ) ? 4 成立,则 f (1) ≥1 成立 C.若 f (3) ≥ 9 成立,则当 k ≥ 1 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 D.若 f ( 4) ≥ 25 成立,则当 k ≥ 4 时,均有 f ( k ) ≥ k 2 成立 解答: 【答案】D 【解析】 对 A,因为“原命题成立,否命题不一定成立” ,所以若 f (1) ? 1 成立,则不一
3

定 f (10 ) ? 100成立;对 B,因为“原命题成立,则逆否命题一定成立” ,所以只能得出: 若 f ( 2 ) ? 4 成立,则 f (1) ? 1 成立,不能得出: .若 f ( 2 ) ? 4 成立,则 f (1) ≥1 成立;对 C, 当 k=1 或 2 时,不一定有 f ? k ? ? k 2 成立;对 D,? f ? 4? ? 25 ? 16,?对于任意的 k ? 4 , 均有 f ? k ? ? k 2 成立。故选 D。 (2007 年理 15)、已知 f ? x ? 是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的 k ,若

f ? k ? ? k2 成立,则 f ? k ? 1? ? ? k ? 1? 成立,下列命题成立的是
2

2 A、若 f ? 3? ? 9 成立,则对于任意 k ? 1 ,均有 f ? k ? ? k 成立 2 B、若 f ? 4? ? 16 成立,则对于任意的 k ? 4 ,均有 f ? k ? ? k 成立 2 C、若 f ? 7 ? ? 49 成立,则对于任意的 k ? 7 ,均有 f ? k ? ? k 成立 2 D、若 f ? 4? ? 25 成立,则对于任意的 k ? 4 ,均有 f ? k ? ? k 成立

解答:D 知识点: 课本、练习册

数学归纳法的命题形式(非 等式证明)

【教材 P32/3】 :在用数学归纳法证明命题成立的(ii)步中, 假设 k=n 时命题成立,这种假设有没有根据?如果有,根据 是什么? 【练习册 P26/9】 :某个命题与正整数有关,如果当 n=k(k∈ N*)时命题成立,那么可以推得当 n=k+1 时命题也成立。现 在已知当 n=5 时该命题不成立,所以该命题在( ) (D)

(A) 时成立 (B) 时不成立 (C) 时成立 n=6 n=6 n=4 n=4 时不成立

2、 (2008 文 21)已知数列 ?an ? : a1 ? 1 , a 2 ? 2 , a3 ? r , an?3 ? an ? 2 ( n 是正整数) , 与数列 ?bn ? : b1 ? 1 , b2 ? 0 , b3 ? ?1 , b4 ? 0 , bn ?4 ? bn ( n 是正整数) . 记 Tn ? b1a1 ? b2 a2 ? b3 a3 ? ? ? bn an . (1)若 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a12 ? 64 ,求 r 的值;
4

(2)求证:当 n 是正整数时, T12 n ? ?4n ; 解答: (1)

a1 ? a2 ? a3 ? ... ? a12

? 1 ? 2 ? r ? 3 ? 4 ? ? r ? 2? ? 5 ? 6 ? ? r ? 4? ? 7 ? 8 ? ? r ? 6 ?
? 4 8? 4 . r



48 ? 4r ? 64, ? r ? 4.

? (2)证明:用数学归纳法证明:当 n ? Z 时,T12n ? ?4n.

① 当 n=1 时, T12 ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? a11 ? ?4, 等式成立 ② 假设 n=k 时等式成立,即 T12 k ? ?4k , 那么当 n ? k ? 1 时,

T12? k ?1? ? T12k ? a12k ?1 ? a12k ?3 ? a12k ?5 ? a12k ?7 ? a12k ?9 ? a12k ?11
? ?4k ? ?8k ? 1? ? ?8k ? r ? ? ?8k ? 4? ? ?8k ? 5? ? ?8k ? r ? 4? ? ?8k ? 8? ? ?4k ? 4 ? ?4 ? k ? 1? ,
等式也成立.

? 根据①和②可以断定:当 n ? Z 时,T12n ? ?4n.

知识点: (文 1) ①考查数列的递推公式(递推 关系式不是相邻项)

课本、练习册 【练习册 P3 /4】 : 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a2 ? 6, an?2 ? ?an 。 (1)写出这个数列的前 8 项; (2)根据第(1)题的结论,猜想这个数列的项所具有的 特征。

(文 2) ②用数学归纳法证明数列的通 项公式(前 n 项和公式) 关键是第 k 步到第 k+1 步是增 添的项的确定







a1 ? 2t



t









数), an ? 2t ? 式.

t2 (n ? 2, n ? N) ,求数列 ?an ? 的通项公 an?1

5

若 n ? N , 1? 2
*

?

?

n

? 2an ? bn ( an 、 bn ? Z ).

(1) 求 a5 ? b5 的值; (2)求证:数列 ?bn ? 各项均为奇数.

3、 (2006 年理 21)已知有穷数列 a 前 n 项和为 S n ,且 a
n?1

,首项 ? ? 共有 2k 项(整数 k ? 2 ) a ? 2 。设该数列的
n

1

? (a ?1)Sn ? 2 (n ? 1,2,3,?, n ?1) ,其中常数 a ? 1 。

(1)求证:数列 { an } 是等比数列; (2)若 a ? 2 2 k ?1 ,数列 b 的通项公式; (3) (2) 中的数列 b 若 的值。 解答: 证明(1)当 n=1 时,a2=2a,则
2

? ? 满足 b
n

n

?

1 log 2 (a1a2 ??? an ) (n ? 1, 2,3,?, 2k ) ,求数列 { bn } n

? ? 满足不等式 b ? 3 ? b ? 3 ? ? ? b 2 2
n

1

2

2 k ?1

?

3 3 求 ? b2 k ? ? 4 , k 2 2

a2 =a; a1

2≤n≤2k-1 时, an+1=(a-1) Sn+2, an=(a-1) Sn-1+2, an+1-an=(a-1) an, ∴

a n ?1 =a, ∴ 数列{an}是等比数列. an
2 1? 2 ??? ( n ?1)

(2)由(1)得 an=2a bn=

n ?1

, ∴ 1a2…an=2 a a

=2 a

2

n ( n ?1) 2

n?

=a

n ( n ?1) 2 k ?1

,

1 n(n ? 1) n ?1 [n ? ]? ? 1 (n=1,2,…,2k). n 2k ? 1 2k ? 1 3 1 3 (3)设 bn≤ ,解得 n≤k+ ,又 n 是正整数,于是当 n≤k 时, bn< ; 2 2 2 3 当 n≥k+1 时, bn> . 2 3 3 3 3 3 原式=( -b1)+( -b2)+…+( -bk)+(bk+1- )+…+(b2k- ) 2 2 2 2 2
=(bk+1+…+b2k)-(b1+…+bk)

1 1 (k ? 2k ? 1)k (0 ? k ? 1)k k2 =[ 2 . ? k] ? [ 2 ? k] = 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

6



k2 ≤4,得 k2-8k+4≤0, 2k ? 1

4-2 3 ≤k≤4+2 3 ,又 k≥2,

∴ k=2,3,4,5,6,7 时,原不等式成立. 当

(四)函数的结合 (2009 年理 12 文 13)已知函数 f ( x) ? sin x ? tan x .项数为 27 的等差数列 ?an ? 满足

? ? ?? 且公差 d ? 0 .若 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a27 ) ? 0 , 则当 k =____________ an ? ? ? , ? , ? 2 2?
时, f (ak ) ? 0 . 解答:14 知识点: 三角函数的性质 (2012 上海高考理 13) 已知函数 y ? f (x) 的图象是折线段 ABC , . 其中 A(0,0) 、B( ,5) 、 课本、练习册

1 2

C (1,0) , 函数 y ? xf (x) ( 0 ? x ? 1 )的图象与 x 轴围成的图形的面积为
解答: (2012 上海理 18) .设 a n ? 数的个数是( A.25 解答: ) B.50 C.75



1 n? sin , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,在 S1 , S 2 ,?, S100 中,正 n 25
D.100

7


相关文章:
数列中有关思想的探究应用
数列中有关思想的探究应用_数学_高中教育_教育专区。高中数学 数列中的数学思想方法 研究课题:利用数学思想解决数列问题(一) 一、教学目标: 1、能熟练求解无穷等比...
浅谈函数思想在数列中的应用
二、运用函数思想研究数列的性质。 这一点主要体现在数列周期性,以及单调性的研究上。 问题 1、在数列{an}中 a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(a∈N+)则 a100...
函数思想在数列中的应用
能力目标:引导学生用函数的观点看待数列,借助函数的研究方法研究数列; 情感目标:在函数思想的渗透过程中,使学生体会到数学知识的联系,从而激发 学生学习数学的兴趣。...
数学思想方法在数列解题中的应用
数学思想方法在数列解题中的应用_理学_高等教育_教育专区。龙源期刊网 http://...二、函数思想 等差数列的求和公式是关于 n 的二次函数,所以解题时可借助二次...
例谈数列中的数学思想
例谈数列中的数学思想高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论...运用函数思想研究数列,就是要借助于函数 的单调性、图像和最值等知识解决相关...
数列教学中数学思想方法的应用
数学思想方法的教学是我们数学教学中所要探讨的一个重要问题。学生在数学学习中...挖掘与运用,让学生站到思想的高度去认识数列的本质,才有利 于学生学好数列知识...
函数思想在求数列通项中的应用举例
通项中的应用举例邓万记西南大学数学与统计学院,重庆 400715 摘要:数列是一种特殊的函数,数列的通项公式相当于函数解析式,有了数列通项公 式便可以研究数列其它...
例析函数思想在解决数列问题中的应用
例析函数思想在解决数列问题中的应用_专业资料。龙源期刊网 http://www.qikan....休闲农庄项目可行性研究报告 2014年建筑幕墙建筑装饰行业分析报告+...
函数思想在数列中的应用2
函数思想在数列中应用函数思想是数学思想的重要组成部分,也是中学数学中最基本、 最重要的数学思想之一。所谓函数思想,就是用运动变化的观点,分 析和研究实际问题...
更多相关标签:
同构类比思想与数列 | 自抗扰控制思想探究 | 斐波那契数列的应用 | 斐波那契数列应用 | 探究应用新思维 | 数列应用题 | 数列的综合应用 | 乘法公式的探究及应用 |