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三阶行列式1


观察下列行列式的特点(有几个元素?这几 个元素是怎么分布的?)

1 3 2 1

6

12

7 ?11

a b c d

二阶行列式由四个数排成二行二列的方阵

如果要组成一个三阶行列式,需要几个数 (式)?它们应如何排列?你能模

仿二阶行列式 的定义,给出三阶行列式的定义吗?

1、新课解析: (1)三阶行列式

由9个数排成3行3列的方阵

a1 a2

b1 b2

c1 c2

a3 b3 c3 ai , bi , ci ?i ? 1, 2,3? 叫做行列式的元素

二阶行列式的展开式有几项?每一项有几个元素 将下列行列式按对角线展开 相乘?这几个元素在行列式中位置有什么要求吗? 每个元素在展开式中出现几次?出现的次数一样 吗?

1 3 2 1

? 1? 1 ? 2 ? 3
? 6 ? ? ?11? ? 7 ?12

6

12

7 ?11

a b c d

? ad ? cb

请你猜测一下在三阶行列式的展开式中有哪些元 素的乘积?这几个元素在行列式中位置有什么要 求吗?每个元素在展开式中出现几次?出现的次数 一样吗?

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a1b2c3 a1b3c2
a2b3c1 a2b1c3
a3b1c2

a3b2c1

二阶行列式的对角线法则
主对角线

a1 D? a2

b1 ? a b ? a b 1 2 2 1 b2
副对角线

你觉得三阶行列式是否有主、副对角线呢? 如有,它们的方向如何?你能给出三阶行 列式的对角线展开法则吗?

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

(2)对角线法则

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

注意: 红线上三元素的 乘积冠以正号,蓝线上 三元素的乘积冠以负号.

? a1b2c3 ? a2b3c1?a3b1c2

?a3b2c1 ?a2b1c3 ?a1b3c2

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c2 ? a1b2c3 ? a2b3c1 ? a3b1c2 ?a3b2c1 ?a2b1c3 ?a1b3c2 c
3

c1

三阶行列式的展开式
三阶行列式的展开式包括6项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.

2、例题解析 例1:用对角线法则计算行列式
3 0 ?2 1 3 1
2 1 3 1

2

3

?2 3 1

?1?

2

? 2?

3

0 ?2

? 3? 1

?2 3

?2 3

0 3 ?2

解:

3

0 ?2 1 3 1

?1?

2

?2 3

? 3 ? 1? 1?2 ? 3 ? (?2) ?(?2) ? 0 ? 3 ?1? (?2) ? (?2) ?0 ? 2 ? 1?3 ? 3 ? 3

= 3 - 12 - 4 - 27 = - 40

2

1

3 1

? 2?

3

0 ?2

?2 3

? 0 ? 27 ? 4 ? 0 ? 3 ? (?12) = 40
2 3 ?2 3 1

? 3? 1

0 3 ?2

= 0 + 4 + 27 - 0 - 3 - (- 12) = 40

例2;把下列算式写成一个三阶行列式

?1? abc ? def ? ghl ? gbf ? dhc ? ael ? 2 ? ab ? de ? gh ? gb ? dh ? ae
a (1) d g h b e f l c
a (2) d g h b e 1 1 1

例3:如图,在平面直角坐标系中,点A、B、 C的坐标分别是 x1, y1 , x2 , y2 , x3 , y3 , 求 ?ABC 的面积

?

??
y

??

?

S D A BC = S 梯形AA1C1C + S 梯形CC1B1B - S 梯形AA1B1B

C

A

B o

A1

C1

B1

x

S 梯形AA1C1C =

y A

C

1 (y 1 + y 2 )(x 2 - x 1 ) 2 o S 梯形CC1B1B =

B

A1

C1

B1

x

1 (y 3 + y 2 )(x 2 - x 3 ) 2 1 S 梯形AA1B1B = (y 2 + y 1 )(x 2 - x 1 ) 2

S D A BC = S 梯形AA1C1C + S 梯形CC1B1B - S 梯形AA1B1B
1 = (x 1y 2 2 x1 1 = x2 2 x3 + x 2y 3 + x 3y 1 - x 3y 2 - x 2y 1 - x 1y 3 )
y1 1 y2 1 y3 1

3、问题拓展
比较例1的三个行列式,你可以得到些什么样 的结论?你能证明这些结论吗? (1)交换一个行列式的两行(或两列),行列式 改变符号;

(2)将一个行列式的所有行(列)变为相应列 (行)所得到的新三阶行列式与原行列式相等;

3

0 ?2 1
1

?1?
? 2?

2
2 3

3 1
3

?2 3

= - 40
= 40

0 ?2 1
?2 3 1

?2 3
2 3

? 3? 1

0 3 ?2

= 40

(3) ?ABC 的面积公式

S?ABC

1 ? x2 2 x3
y1 1

x1

y1 1 y2 1 y3 1

(4)点A、B、C三点共线的充分必要条件是

x1 x2 x3

y2 1 ? 0 y3 1

小结:
三阶行列式的概念 三阶行列式展开的对角线法则 常用结论:

(1)交换一个行列式的两行(或两列),行列式 改变符号;

(2)将一个行列式的所有行(列)变为相应列(行) 所得到的新三阶行列式与原行列式相等; (3)三角形面积公式及三点共线的充要条件

巩固练习
练习9.4 (1)

作业
练习册 9.4 A组1,2.

思考题

你能将三阶行列式

a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3

表示成含有几个二阶行列式运算的式子 吗?


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