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高中数学选修2-1逻辑用语与圆锥曲线练习(含答案)


高中数学选修 2-1 逻辑用语与圆锥曲线练习 一,选择题 1. “若 p 则 q ” ,假设逆命题为真,则 p 是 q 的( )

A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 成立的一个充分非必要条件是(
2



A. x ? 0 B. x

? 0 C. x ???1,3,5? D. x ? ? 或x ? 3 3.下列四个命题中真命题是( ) ① “若 xy=1, 则 x、 y 互为倒数” 的逆命题 ② “面积相等的三角形全等” 的否命题 ③ 2 “若 m≤1,则方程 x -2x+m=0 有实根”的逆否命题 ④“若 A∩B=B,则 A ? B”的逆否命 题 (A)①② (B)②③ (C)①②③ (D)③④

1 2

4.在△ABC 中, “A>30?”是“sinA> (A)充分而不必要条件 (C)充要条件

1 ”的( ) 2 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

5.抛物线 y 2 ? 12x 截直线 y ? 2 x ? 1 所得弦长等于( A.
15

) C.
15 2

B. 2

15

D.15

6.设 F1 , F2 是椭圆 则

4x 2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点, 且 PF1 : PF2 ? 4 : 3 , 49 6

?PF1 F2 的面积为(
A.4

) B.6 C. 2 2 D. 4 2

7.如图, 圆 O 的半径为定长 r ,A 是圆 O 外一个定点,P 是圆上任意一点, 线段 AP 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q ,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹是 ( A.圆 ) B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

x2 y 2 8.设 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上一点, 两焦点分别为 F1 , F2 , 如果 ?PF1F2 ? 75? a b

?PF2 F1 ? 15? ,则椭圆的离心率为 (
A.
6 3

) C.
6 2

B.

3 3

D.

3 2

二,填空题 9.已知 ? 、 ? 是不同的两个平面,直线 a ? ? , 直线b ? ? ,命题 p : a与b 无公共点; 命题 q : ? // ? , 则 p是q 的 条件(用“充分、必要、充要”填空)

10.给出四个命题:①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真; ②在 ?ABC 中,“ ?B ? 60? ”是“ ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列”的充要条件; ③?

?x ? 1 ?x ? y ? 3 是? 的充要条件; xy ? 2 y ? 2 ? ?
. (填写相应的序号)

④“am2<bm2 ”是“a<b”的充分不必要条件. 其中真命题有

11. 以 椭 圆 为

x2 y 2 ? ?1 的 焦 点 为 顶 点 , 以 椭 圆 的 顶点 为 焦 点 的 双 曲 线方 程 8 5

.

12.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被 M 点平分,则这条弦所在的 16 4

直线方程是

.

13.动点 P 在曲线 y ? 2 x2 ? 1 上移动,则点 P 和定点 A(0, ?1) 连线的

中点的轨迹方程是

.

y P Q F1 O F2 x

x2 y 2 14.如图,已知 F1 、 F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b

的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x2 ? y 2 ? b2 相 切于点 Q ,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则 PF1 ? PF2 = 为 .
?? ? ?? ?

;椭圆 C 的离心率

解答题:

15. 已知 p:

1?

x ?1 ?2 2 2 3 ,q: x ? 2x ? 1 ? m ? 0?m ? 0? ,若 ? p 是 ? q 的必要不充分

条件,求实数 m 的取值范围。

16. 已知数列{ an } 、{ bn }、{ cn },其中{ an } 、{ bn }是等比数列.对于任意正整数 n , an 、
“数列{ cn }成等比数列”的充要条件是“数列{ an } bn 、 cn 都成等差数列,且 c1 ? 0 .试证明: 与{ bn }公比相等”.

17. 已知椭圆

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,过 A( a, 0), B (0,? b )的直线到 2 a b 2
4 5. 5

原点的距离是

(1)求椭圆的方程;

(2) 已知直线 y ? kx ? 1(k ? 0) 交椭圆于不同的两点 E , F 且 E , F 都在以 B 为圆心 的圆上 ,求 k 的值.

18. 在双曲线

x2 y 2 ? ? ?1 的一支上有不同的三点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ) ,它们与点 13 12

F (0,5) 的距离 AF , BF , CF 依次成等差数列。
(1)求 y1 ? y3 的值; (2)求证:线段 AC 的垂直平分线经过某一定点,并求出定点的坐标。

参考答案: 1~8 B C A D A

BCA
11.

9. 必要

10. ①②④

x2 y 2 ? ?1 3 5
2

12. x ? 2 y ? 4 ? 0

13. y ? 4 x

14.

0 ,

5 3

15. 解:由 p: 1 ?

x ?1 ? 2 ? ?2 ? x ? 10. 3
2

由q可得 ? x ? 1?

? m2

? m? 0 ?

所以 1 ? m ? x ? 1 ? m. 所以?p : x ? 10或x ? ?2, ?p : x ? 1 ? m或x ? 1 ? m, 因为?p是?q的必要不充分条件, 所以?p ? ?q. ?1 ? m ? 10 故只需满足 ? ?1 ? m ? ?2 所以m ? 9.
16. [证明]充分性 设数列{ an } 与{ bn }的公比都是 q ,则 an ? a1q n?1 , bn ? b1q
n ?1

,而

cn ?

1 1 ( a n ? bn ) ? (a1 ? b1 )q n ?1 ? c1 q n ?1 ,又 c1 ? 0 ,故{ cn }是公比为 q 的等比数列.充分 2 2
必要性 若数列{ cn }是等比数列,设数列{ an } ,{ bn },{ cn }的公比分别为 p, q, r ,

性得证.

2c1 ? a1 ? b1 (1) ? ? 2 2 则 ? 2c1 r ? a1 p ? b1 q ( 2) ,由 (1) ? (3) 得: 4c1 r ? a12 p 2 ? a1b1 ( p 2 ? q 2 ) ? b12 q 2 ?2c r 2 ? a p 2 ? b q 2 (3) 1 1 ? 1
2 2 将(2)的两边平方得 4c1 r ? a12 p 2 ? 2a1b1 pq ? b12 q 2

(4)

(5)

比较(4)(5)两式得 p 2 ? q 2 ? 2 pq ,故 p ? q ,即数列{ an } 与{ bn }公比相等.必要性得证.

17. 解(1)∵ c ?
a

3 a 2 ? b2 ? c 2 .∴ a = 2b , , 2

∵ 原点到直线 AB: x ? y ? 1 的距离 d ? a b

ab a ?b
2 2

?

4 5 .∴ b = 2 , 5

x2 y ∴ 故所求椭圆方程为 ? ?1 16 4

2

x y ? ? 1中消去 y ,整理得 (2)把 y ? kx ? 1代入 16 4

2

2

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kx ? 12 ? 0 .可知 ? ? 0
设 E( x3 , y3 ), F ( x4 , y4 ), EF 的中点是 M ( x0 , y0 ) ,则

x0 ?

x3 ? x4 ?4k 1 ? , y0 ? kx0 ? 1 ? , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

k BM ?

y0 ? 2 1 ?? . x0 k
?4k k 即 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 2k ? 0 .

∴ x0 ? ky0 ? 2k ? 0 ,

又 k ? 0 ,∴ k

2

=

1 2 .故所求 k=± 8 4
12 5 3 , F ? 0,5? 为上焦点,上准线方程为 y ? ,根据 5 6

18. 解析: (1) a 2 ? 12, b 2 ? 13, e ?

圆锥曲线的共同性质有: AF ? e ? y1 ?

? ?

12 ? ?, 5?

12 ? ? ? 12 ? (2)设 AC 的中 CF ? e ? y3 ? ? , BF ? e ? 6 ? ? ,由 2 BF ? AF ?CF 知 y1 ? y2 ? 12 。 5? 5? ? ?
点为 M ? x0 , y0 ? ,则 y0 ?

y1 ? y2 ? 6 ,因此 M 点的坐标为 ( x0 ,6) ,∵ A, C 在双曲线上,∴ 2

2 2 ? ?13 y1 ? 12 x1 ? 13 ? 12 , ? 2 2 13 y ? 12 x ? 13 ? 12 ? 3 ? 3

2 2 2 2 作差得 12 x1 ? x3 ? 13 y1 ? y3 ,∴

?

?

?

?

12 x0 y1 ? y3 12 2 x0 12 ,∴ AC ? ? ? x0 ,故 k AC ? 12 x1 ? x3 13 2 y0 13

的垂直平分线的方程为 y ? 6 ? ? 定点 ? 0,

13 25 ( x ? x0 ) ,令 x ? 0 得 y ? ,故 AC 的垂直平分线恒过 12 2

? ?

25 ? ?。 2 ?


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