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高中数学竞赛辅导08─三角函数(一)三角函数的性质及应用


竞赛辅导─三角函数(一) 三角函数的性质及应用
引入
知识要点

反三角函数

思考1

思考2

课外思考 P

2012-8-28

高中数学竞赛辅导

1

竞赛辅导─三角函数(一)

三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中 的两种,在 现代科学的很多领域中 有着广泛的应 用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一. 第一讲─三角函数的性质及应用 三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶 性、 周期性、 单调性、 最值等. 这里以单调性为最难. 它 们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中 均有广泛的应用
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第一讲─三角函数的性质及应用 三角函数的性质的基本知识见 《教程》P1 8 3 ,自学 课本例 1、例 2、例 5、例 6.
你知道反三角函数吗? 注意:三角函数在其定义域上是没有反函数的. (∵不是一一映射,同一个三角函数值会对应许多角)
但是人们需要解决已知三角函数值求未知角的问题. 为了更好解决此类问题而定义了反三角函数:

? ? ? ? 如:⑴反正弦函数 y ? a rcsin x ( x ? ? ? 1, 1 ? ) ,值域为 ? ? , ? ? 2 2? ? ? ? ? 它是函数 y ? sin x ( x ? ? ? , ? ) 的反函数. ? 2 2?

这里的“ a rc sin a ”是一个角的符号. 2012-8-28 高中数学竞赛辅导

3

? ? ? ? ⑴反正弦函数 y ? a rcsin x ( x ? ? ? 1, 1 ? ) ,值域为 ? ? , ? ? 2 2? ? ? ? ? 它是函数 y ? sin x ( x ? ? ? , ? ) 的反函数. ? 2 2? 这里的“ a rc sin a ”是一个角的符号.

? ? ? ? 这个角“ arc sin a ”落在 ? ? , ? ? 2 2?
? ? ? ? 反过来,如果角 x ? ? ? , ? ? 2 2?

上,且 sin ( arc sin a ) ? a
x ? a

,且 sin

,则 a rc sin a

? x

? ? ? ? 即 a rc sin (sin x ) ? x ( x ? ? ? , ? ) ? 2 2?

类似地,还可定义:⑵反余弦函数 ⑶反正切函数

你认为应怎样定义?
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反余弦

反正切

⑵反余弦函数 y 它是函数 y

? a rc co s x ( x ? ? ? 1, 1 ? ) ,值域为 ? 0 , ?

?

? co s x ( x ? ? 0 , ? ? ) 的反函数.

因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个 角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间.

这里的“ arc cos a ”也是一个角的符号.

这个角“ arc cos a ”落在 ? 0 , ? ? 上,且 cos( arc cos a ) ? a 反过来,如果角 x ? ? 0 , ? ? ,且 cos x ? a ,则 arc cos a ? x 即 a rc co s(co s x ) ?
x ( x ? ? 0 , ? ?)

你认为又应怎样定义反正切呢?
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⑶反正切函数 y ? a rc ta n x ( x ? R ) ,值域为 ( ? 它是函数 y
? ta n x ( x ? ( ?

?
2

,

?
2

)

?
2

,

?
2

)) 的反函数.

这里的“ arc tan a ”也是一个角的符号.

这个角“ arc tan a ”落在 ( ? 反过来,如果角 x ? ( ? 即 a rc ta n ( ta n
?
2 ,

?
2

,

?
2

)

上,且 ta n ( a rc ta n a ) ? a ,则 arc tan a
? x

?
2

) ,且 ta n x ? a

x ) ? x ( x ? (?

?
2

,

?
2

))

⑷反余切函数 y ? a rc co t x ( x ? R ) ,值域为 (0 , ? )

它是函数 y
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? cot x ( x ? (0, ? )) 的反函数.
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思考 1. ⑴(教程 P2 0 4 例 1)函数 y ? a rc co s( ? x 2 ) 的值域是(D )
2 1

? ? ? ? (A) ? ? , ? ? 2 6?

? ? ? ? (B) ? ? , ? ? 2 3?

?? ? (C) ? , ? ? ?6 ?

(D)

?? ? ? 3 ,? ? ? ?
1 3

⑵(教程 P2 0 4 例 2)设 f ( x ) ? x ? ? x , ? ? a rc sin
2

,

? ? a rc ta n

5 4

, ? ? a rc co s( ? ) , ? ? a rcco t( ? ) ,则(B )
3 4

1

5

(A) f (? ) ? f ( ? ) ? f ( ? ) ? f ( ? ) (B) f (? ) ? f (? ) ? f ( ? ) ? f ( ? ) (C) f ( ? ) ? f (? ) ? f ( ? ) ? f ( ? ) (D) f (? ) ? f (? ) ? f ( ? ) ? f ( ? )
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练习1

练习 1.
? 3? ⑴(教程 P2 0 9 训练 1)已知 ? ( , ) ,则 arc cos(sin ? ) 等于( 2 2

C)

(A)

?
2

??

(B) ?

??

(C) ? ?

?
2

(D)
1

3? 2
2

??

⑵(教程 P2 1 0 训练 2)设 f ( x ) ? arc tan x ? arc sin x 的值域为( (A) ( ? ? , ? )
? 3? ? ? (B) ? ? , ? ? 4 4?

D)

(C) ( ?

3? 4

,

3? 4

)

? ? ?? (D) ? ? , ? ? 2 2?

⑶(教程 P2 1 1 训练 9) 若 a rc sin (sin ? ? sin ? ) ? a rc sin (sin ? ? sin ? ) ?
?
2

,

1 则 sin 2 ? ? sin 2 ? 的值是______.
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2

8

思考 2:设 x ? ? 0 , ? ? ,试比较 co s(sin

x ) 与 sin (co s x ) 大小.

分析:分析比较对象的结构,没有现成的结论可资利 用,可以考虑“特值探究” “中间传递” “结构变形”等 方法尝试解决该问题.
取特殊值 x
? 0,

?
2

,?

,易得 co s(sin x ) ? sin (co s x )

尝试证明: cos(sin x ) ? sin (cos x )
思考 3:求函数 y
? 2 sin (

?
3

? 2 x ) 的单调增区间.

法一:利用复合函数的规律
法二:利用导数来判断
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思考3法一

练习2

思考 3:求函数 y ? 2 sin ( 解:∵ y ? 2 sin ( 由 2k? ?
?
2 ≤

?
3

? 2 x ) 的单调增区间.

?
3

? 2x)
3? 2 7? 6 (k ? Z )

?
3

? 2 x ≤ 2k? ?

即 2k? ?

?
6

≤ ?2 x ≤ 2k? ?

(k ? Z )

得 ? k? ?

7? 12

≤ x ≤ - k? ?

?
12

(k ? Z )

7? ? ? ? , k? ? ∴原函数的单调增区间为 ? k ? ? ? (k ? Z ) . 12 12 ? ?
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练习 2 ⑴(类似教程 P1 8 9 训练 3) 函数 y ? (A) 1
3 ? sin x 1 ? cos x

的最小值是 ( (C)
4 3

C)
(D) ?
(?

(B) 4

4 3

? ⑵ 函 数 y ? (sin x ?1)(cos x 1)

?
6

≤ x≤

?
2

)

的最小

值是 ______. 4 ) ⑶(教程 P1 8 9 训练 6)函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ? 的图象的一 ? ? 条对称轴为直线 x ? ,且 ? ? (0, ?) ,则 ? =_____. 4
8
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2?

3


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