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重点高中自主招生数学试题7含答案


重点高中自主招生数学试题 7 含答案
(本试卷满分 150 分;考试时间 120 分钟)

A 卷(共 100 分)
一、选择题: (每小题 3 分,共 30 分) 1. 7 的相反数是( ) A.

1 7

B. 7

C. ?

1 7

/>D. ?7 C. ? 2a ? ? ?2a
?1

2.下列计算正确的是(

)A. 3a ? 2a ? 3 2a

B. a6 ? a3 ? a 2 )

D. ?2a 2

?

?

3

? ?8a 6

3.如图,由几个小正方体组成的立体图形的左视图是(

A. 4.下列说法不正确的是(

B.

C.

D. B.两条对角线相等的菱形是正方形

)A.有一个角是直角的菱形是正方形

C.对角线互相垂直的矩形是正方形

D.四条边都相等的四边形是正方形

5. 以下五家银行行标中,既是中心对称图形又是轴对称图形的有(



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A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

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6.某班抽取 6 名同学参加体能测试,成绩如下:85,95,85,80,80,85.下列表述错误的是( .. A.众数是 85 B.平均数是 85 C.中位数是 80 D.极差是 15



7. 如图,△ ABC 中, DE // BC , A、2:3 B、2:5

AD 2 ? ,则△ ADE 与△ ABC 的面积比为( ) AB 5
D、4:25
?

C、4:9

8.如图,CD 是 ?O 的直径,A,B 是 ? O 上的两点,若 ?ADC ? 70 ,则 ?ABD 的度数为 ( )A、 50
?

B、 40

?

C、 30

?

D、 20

?

9.已知点 P( x , y )在函数 y ? A.第一象限 B. 第二象限

1 ? ? x 的图象上,那么点 P 应在平面直角坐标系中的( x2
C. 第三象限 D. 第四象限



10.如图,A、B、C、D 为⊙O 的四等分点,动点 P 从圆心 O 出发,沿 O — C — D — O 路线作匀速运动.设运动时 间为 t(s) ,∠APB=y(° ,则下列图象中表示 y 与 t 之间函数关系最恰当的是 )
D P
O

C

y 90 45

y 90 45 t 0

y 90 45 t 0 t

y 90 45 0 t

A

B

0

第 10 题图

A

B

C

D

1

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

11.温总理在 2009 年《政府工作报告》中指出:为应对国际金融危机,实施总额 4 万亿元的投资计划,

刺激经济增长。4 万亿用科学计数法表示为
12..已知分式

元。
.

2x ? m , 当 x=2 时,分式的值为 0,当 x=1 时,分式无意义,则 m+ n = x?n
2

13.已知关于 x 的一元二次方程 x ? m ? 2 x 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是____ 14.如图,在□ABCD 中,E 为 CD 的中点,连结 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F, S□ABCD=18,则 S△ ABF= 三、 (共 18 分) 15.解答下列各题(每小题 6 分)
第 14 题图



(1)计算:

? 1? 27 ? (3.14 ? ? )0 ? 3 tan 30? ? ? ? ? ? ? 2?
(2)先化简,再求值:

?2

3?2
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x2 ? 4 x?2 x ? ? ,其中 x=2- 2 . 2 x ? 4x ? 4 x ?1 x ? 2
?x ?3 ?3? x 16. (共 6 分)解不等式组 ? 2 ,并把解集表示在数轴上。 ? ?1 ? 3( x ? 1) ? 8 ? x ?
四、 (每小题 8 分,共 16 分)

y C A(2,2)

17.如图,在直角坐标系中,直线 OA 与双曲线交于点 A(2,2) ,求: (1)直线 OA 与双曲线的函数解析式; (2)将直线 OA 向上平移 3 个单位后,求△COD 的面积。

O D B

x

B

18.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30? ,看这栋高楼底部的

A

俯角为 60? ,热气球与高楼的水平距离为 66 m,这栋高楼有多高?(结果精确到 0.1 m,参 考数据: 3 ? 1.73 ) C

2

五、 (每小题 10 分,共 20 分)

19.某商场为了吸引顾客,设计了一种促销活动:在一个不透明的箱子里放有 4 个相同的小球,球上分别标有“0 元” 、 “10 元”“20 元”和“30 元”的字样.规定:顾客在本商场同一日内,每消费满 200 元,就可以在箱子里先后摸 、 出两个球(第一次摸出后不放回) .商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券,可以重新在本商场消 费.某顾客刚好消费 200 元. (1)该顾客至少可得到 元购物券,至多可得到 元购物券;

(2)请你用画树状图或列表的方法,求出该顾客所获得购物券的金额不低于 30 元的概率.

20.几何模型: 条件:如下左图, A 、 B 是直线 l 同旁的两个定点. 问题:在直线 l 上确定一点 P ,使 PA ? PB 的值最小. 方法:作点 A 关于直线 l 的对称点 A? ,连结 A?B 交 l 于点 P ,则 PA ? PB ? A?B 的值最小(不必证明) . 模型应用: (1)如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 AB 的中点, P 是 AC 上一动点.连结 BD ,由正方形对 称性可知, B 与 D 关于直线 AC 对称.连结 ED 交 AC 于 P ,则 PB ? PE 的最小值是___________; (2)如图 2,⊙O 的半径为 2,点 A、 、 在 ⊙O 上,OA ? OB ,?AOC ? 60° , P 是 OB 上一动点,求 PA ? PC B C 的最小值; (3)如图 3, ?AOB ? 45° , P 是 ?AOB 内一点, PO ? 10 , Q 、R 分别是 OA、OB 上的动点, 求 △PQR 周长的最小值. B A l P A E C P D 图1 (第 25 题) C O P B O 图2 Q 图3 R B A B P A

A?


B 卷(共 50 分) 一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
2x ? m ? ?1 21.当 m=_________时,关于 x 的分式方程 x ? 3 无解.
22.某商店一套服装的进价为 200 元,若按标价的 80%销售可获利 72 元,则该服装的标价为 23.如图,在边长为 1 的等边△ABC 中,中线 AD 与中线 BE 相交于点 O,则 OA 长度为 . 元.

24. 如图,已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8,⊙0 的半径为 2,圆心在正方形的中心上,将纸片按图示方式折叠,使 E A ′恰好与⊙0 相
切于点 A ′(△EFA′与⊙0 除切点外无重叠部分),延长 FA′交 CD 边于点 G,则 A′G 的长是

A F

E A' O

D

N G

23 题

B

C

24 题

3

25.对于每个非零自然数 n,抛物线 y ? x 2 ?

2n ? 1 n( n ? 1)

x?

1 n( n ? 1)

与 x 轴交于 An、Bn 两点,以 An Bn 表示这两点间的距离,

则 A1 B1 ? A2 B2 ? ? ? A2009 B2009 的值是_________.

二、 (共 8 分)
26.一家化工厂原来每月利润为 120 万元.从今年一月起安装使用回收净化设备(安装时间不计) ,一方面改善了环境, 另一方面大大降低原料成本.据测算,使用回收净化设备后的 1 至 x 月( 1≤ x ≤12 )的利润的月平均值 w (万元) 满足 w ? 10 x ? 90 ,第 2 年的月利润稳定在第 1 年的第 12 个月的水平. (1)设使用回收净化设备后的 1 至 x 月( 1≤ x ≤12 )的利润和为 y ,写出 y 关于 x 的函数关系式,并求前几个月的 利润和等于 700 万元? (2)当 x 为何值时,使用回收净化设备后的 1 至 x 月的利润和与不安装回收净化设备时 x 个月的利润和相等? (3)求使用回收净化设备后两年的利润总和.

三、 (共 10 分)
27.如图所示,圆 O 是 △ABC 的外接圆, ?BAC 与 ?ABC 的平分线相交于点 I ,延长 AI 交圆 O 于点 D ,连结

BD、DC .
(1)求证: BD ? DC ? DI ; (2)若圆 O 的半径为 10cm, ?BAC ? 120° ,求 △BDC 的面积.

四、 (共 12 分) 28。 如图, 已知 ?ABC 为直角三角形, ACB ? 90? ,AC ? BC ,点 A 、 在 x 轴上, B 坐标为 3 , ) m ? 0 ) 点 ( , ? C m( 线段 AB 与 y 轴相交于点 D ,以 P (1,0)为顶点的抛物线过点 B 、 D . (1)求点 A 的坐标(用 m 表示) ; (2)求抛物线的解析式; (3) 设点 Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点, 连结 PQ 并延长交 BC 于点 E , 连结 BQ 并延长交 AC 于点 F , 试证明: FC ( AC ? EC ) 为定值.

y
B

E Q D O

A

P

F

C

x

4

重点高中自主招生数学试题 7 答案
A卷 一、选择题 1. D 2. D 3. A 4. D 5. B 6. C 7. D 8. D 9. B 10. C 二、填空题 11. 4 ? 10
12

12. 3 13. m ? ?1

14. 18

三、15. (1) 3 3 ? 1 四、17.(1)y=x, y ?

(2)

2 1 ;? . 2 x?2

16. -2 < x≤3.

4 x

(2)

15 2

18.这栋楼高约为 152.2 m. 五、19. (1)10,50; (2) (树状图) : 第一次 第二次 10 和 10 0 20 20 30 0 30 10 10 20 30 30 0 40 20 20 10 30 30 0 30 10 40 20 50

50 30

从上图可以看出,共有 12 种可能结果,其中大于或等于 30 元共有 8 种可能结果,因此 P (不低于 30 元)=

8 2 ? . 12 3

() ( 2 ( 20.(1) 1 5 ; 2) 3 ; 3)10 2
B卷 一、填空题 21. -6 22.340 23.

3 3

24.
2

19 3

25.
2

2009 2010

二、26.(1)y=xw=x(10x+90)=10x +90x, 10x +90x=700,解得 x=5 (2)10x +90x=120x,解得,x=3 (3)12(10×12+90)+12(10×12+90)=5040(万元) 三 、 27. ( 1 ) 证 明 : ? AI 平 分 ?BAC ? ? A D ? ?DA,? B D? DC BI 平 分 B C ?
2

?A B C ? ? A B I? ? C B I ,

??BAD ? ?DAC,?DBC ? ?DAC ??BAD ? ?DBC ,
又 ?DBI ? ?DBC ? ?CBI,?DIB ? ?ABI ? ?BAD ??DBI ? ?DIB,△BDI 为 等 ? A 腰三角形? BD ? ID, BD ? DC ? DI ? (2)解:当 ?BAC ? 120° 时, △ABC 为钝角三角形, ?圆心 O 在 △ABC 外, B
5

I O

C

连结 OB、OD、OC , ??DOC ? ?BOD ? 2?BAD ? 120° ,

??DBC ? ?DCB ? 60°, ? △BDC 为正三角形.
又知 OB ? 10cm , ? BD ? 2OB sin 60° ? 2 ?10 ?

3 ? 10 3cm 2

? S△ BDC ?

3 ? (10 3) 2 ? 75 3cm 2 4

四 、 28. ( 1 ) 由 B(3,m )可 知 OC ? 3 , BC ? m , 又 △ ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 , ∴

AC ? BC ? m , OA ? m ? 3 ,所以点 A 的坐标是( 3 ? m, 0 ).
(2)∵ ?ODA ? ?OAD ? 45? ∴ OD ? OA ? m ? 3 ,则点 D 的坐标是( 0, m ? 3 ).
2

又抛物线顶点为 P(1,0) ,且过点 B 、 D ,所以可设抛物线的解析式为: y ? a( x ? 1) ,得:

? a (3 ? 1) 2 ? m ? ? 2 ? a (0 ? 1) ? m ? 3 ?

解得 ?

?a ? 1 ?m ? 4

∴抛物线的解析式为 y ? x ? 2 x ? 1
2

(3) 过点 Q 作

QM ? AC 于点 M ,过点 Q 作 QN ? BC 于点 N ,设点 Q 的坐标是 ( x, x2 ? 2 x ? 1) ,则
QM ? CN ? ( x ?1)2 , MC ? QN ? 3 ? x .
∵ QM // CE ∴ ?PQM ∽ ?PEC ∴ ∵ QN // FC ∴ ?BQN ∽ ?BFC ∴ 又∵ AC ? 4 ∴ FC ( AC ? EC ) ? 即 FC ( AC ? EC ) 为定值 8.

QM PM ? EC PC



( x ? 1) 2 x ? 1 ? ,得 EC ? 2(x ?) 1 EC 2

QN BN ? FC BC



3 ? x 4 ? ( x ? 1) 2 4 ,得 FC ? ? FC 4 x ?1

4 4 4 [4 ? 2( x ? 1)] ? (2 x ? 2) ? ? 2( x ? 1) ? 8 x ?1 x ?1 x ?1

6


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