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全国高中数学联赛初赛试题及答案201331


全国高中数学联赛初赛试题 答案及评分标准 (7 月 5 日上午 8:30—11:00) 考生注意:本试卷共三道大题,16 道小题满分 150 分。 一. 选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 本题共有 6 道小题,每小题给出了(A) (B) (D)四个结论,其中只有一个是正确的。 (C) 请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得 5 分,不选、选错或选出的 代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内) ,一律得 0 分。 1.已知集合 M={x|x∈R,5-|2x-3|∈N+},则 M 的所有非空真子集的个数是( ) A.254 B.255 C. 510 D. 511 [答]( C ) ?x ? 2 ? 2.平面上满足约束条件 ? x ? y ? 0 的点(x,y)形成的区域为 D,区域 D 关于直线 y=2x ? x ? y ? 10 ? 0 ? 对称的区域为 E,则区域 D 和区域 E 中距离最近的两面三刀点的距离为 A. 6 5 5 B. 12 5 5 C. 8 3 5 D. 16 3 5 [答]( B ) 3.已知△ABC 的三边 a,b,c 成等比数列,a,b,c 所对的角依次为 A,B,C.则 sinB+cosB 的取值范围是 A.(1,1+ C. (1, 2 ] 3 2 ] B.[ D.[ 1 2 1 2 ,1+ , 2] 3 2 ] [答]( C ) 4.设 M 是正方体各条棱的中点的集合,则过且公过 M 中 3 个点的平面的个数是 A.56B。81C。136D。145[答]( ) 5. an=2 , n=n, 设 b (n=1, 3,。) An、 n 分别为数列{an}、 n}的前 n 项和。 cn=anBn+bnAn 2, 。。, B {b 记 —anbn,则数列{cn}的前 10 项和为 10 11 A.2 +53 B.2 +53 9 10 C.110×(2 -1) D.110×(2 -1) [答]( D ) 6.将一些半径为 1 的小圆放入半径为 11 的大圆内,使每个小圆都与大圆相内切,且这些小 圆无重叠部分,则最多可以放入的小圆的个数是 A.30 B.31 C.32 D.33 [答]( B ) 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) o 7. 正四面体 ABCD 的外接球球心为 O, 为 BC 中点, E 则二面角 A—BO—E 的大小为___120 ____. 8.函数 f(x)= x ? x3 1? 2x ? x 2 4 n 的最大值与最小值的乘积是_______- 1 16 __________. 1 4 9.把长为 1 的铁丝截成三段,则这三段恰能围成三角形的概率为_____ _______. 10.设 a(0<a<1)是给定的常数,f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+∞)上递减。 若 f( 1 2 )=0,f(logax)>0,那么 x 的变化范围是____ x ? 1 a 或 a ? x ? 1 _____. 1 11.数列{an}满足 an = 1 ? x2 8 1 n 2 ? 1 (n ? 1) 2 -1,则 a1+a 2+a 3+。。+a n =______ 。 2009 2010 _________ 12.已知点 P 是双曲线 则 | PF1 | ? | PF2 | | OP | - y2 4 =1 上的动点,F、F 分别是其左、右焦点,O 为坐标原点, 的取值范围_________ (

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