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2009-2010学年重庆市部分区县高二上期期末考试文科数学试卷


2009-2010 学年重庆市部分区县高二上期期末

文科数学试题
注意事项: 注意事项: 1、本试题分为第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时 间 120 分钟。 2、第 I 卷每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦净后,再选涂其他答案标号.第 II 卷用黑色墨水签字笔书写作答. 3、答题前请将答题卡上密封线内的有关项目填写清楚,密封线内不能答题。

第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)

一、

选择题( 小题, 在每小题给出的四个选项中, 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 只有一项是符合题目要求的)

1 ) < 3 等价于 ( x 1 1 A. 0 < x < B. x > 或x < 0 3 3 2.若 a > b ,则( )
1.不等式 A. a ≥ b
2 2

C. x >

1 3

D. x < 0

B. a ≥ b

C. a c > b c ) D.

D. a + c > b + c .

3. 已知点 A(1,-1)和 B(-1,1),则直线 AB 的倾斜角为( π A. 4 B. π 3 C. 3π 4

5π 6

4. 已知过点 A( ?2, m) 和 B (m,4) 的直线与直线 2 x + y ? 1 = 0 平行,则 m 的值为( ) A.0 B.-8 C.2 ) C. (4,0) D. (-4,0) ) D.10

5. 抛物线 x 2 = 8 y 的焦点坐标是( A. (0,2) B. (0,-2)

6. 直线 y = kx + 1 被圆 x 2 + ( y ? 1) 2 = 2 所截得的弦 AB 的长等于( A.2 B.4 C.
2

D. 2 2 )

7. 设 0< x<1,则 a =2 x , b =1+ x, c= A. a B. b

1 中最大的一个是( 1? x
C. c

D.不能确定

8. 若抛物线 y 2 = 4 x 的准线也是双曲线 程为( ) B. y = ±

x2 4 y2 ? = 1 的一条准线,则该双曲线的渐近线方 a2 3

A. y = ±2 x

2 x 2

C. y = ± 3 x

D. y = ± 2 x

9. 已知 F(0, -3) F(0, , 、2 3) 动点 P 满足 PF1 + PF2 = a + 1 A.椭圆 10. 已知双曲线 B.线段 C. 椭圆或线段

9 则点 P 的轨迹为 ( ( a > 0) , a



D. 不存在

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是准线上一点,且 a 2 b2
) D.3

PF1 ⊥ PF2, PF1 PF2 = 4ab ,则双曲线的离心率是( A.

2

B.

3

C. 2

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 题 分 二、 号 数 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在题中横线上) 二 三 16 17 18 19 20 21 总 分 总分人

11.不等式

x x > 的解集是 1+ x 1 + x

. .

( 12. 圆 C1 : x + 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1 关于直线 y=x 对称的圆 C2 的方程为
13. 已知 x >0, y >0,则 ( x + y )( +

1 x

1 ) 的最值为 y

. .

14. 已知点 (2, -1) (-3,2) 和 在直线 x ? 2 y + a = 0 的异侧, a 的取值范围是 则 15.把椭圆

x2 y2 + =1 的长轴 AB 五等份,过每个分点作 AB 的垂线,分别与椭圆的上半部 25 9


分交于 C、 E、 四点, F 是椭圆的左焦点, FC + FD + FE + FG 的值是 D、 G 设 则

三、解答题(本大题共 6 小题,75 分,解答应写出必须的文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 已知直线 l : 5 x + 2 y + 3 = 0 ,直线 l ′ 经过点 P ( 2 , 1 ) 且与 l 的夹角等于 45°,求直线 l ′ 的一般方程.

17. 已知函数 f ( x ) = ?

? x 2 ? 4 x + 6 ( x ≥ 0) ? ? x + 4 ( x < 0) ?

,求不等式 f ( x ) > f (1) 的解集.

18. 解关于 x 的不等式 ax 2 ? ( a + 1) x + 1 < 0 .

?x ≥ 0 ? 2 2 2 19. 已知平面区域 ? y ≥ 0 恰好被面积最小的圆 C : ( x ? a ) + ( y ? b) = r 及其内 ? ?x + 2 y ? 4 ≤ 0
部所覆盖. (Ⅰ)试求圆 C 的方程; (Ⅱ)若斜率为 1 的直线 l 与圆 C 交于点 A 、 B ,且 AB = 10 ,求直线 l 的方程.

20. 某食品厂每天需用食品配料 200 千克,配料的价格为 1.8 元/千克,每次进货需支付运 费 236 元.每次购买来的配料还需支付保管费用,其标准如下: 7 天以内(含 7 天) ,无论重 量多少,均按 10 元/天支付;超出 7 天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每天 0.03 ... . ... . . ..... .. 元/千克支付. . .... . (Ⅰ)当 9 天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用 P 是多少元? (Ⅱ)设该厂 x 天购买一次配料,求该厂在这 x 天中用于配料的总费用 y (元)关于 x 的函 ... 数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少? .........

21.已知椭圆 C :

1 x2 y 2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e= . 2 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)若直线 l : y = kx + m (k ≠ 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直平分 线过定点 G ( ,0) ,求 k 的取值范围.

1 8

文科数学试题(答案) 一、选择题:B D C B A.D C B C B. 二、填空题:11. (?1, 0) ; 12. ( x ? 1) 2 + ( y + 1) 2 = 1 ; 13. 4; 14. (?4, 7) ; 15.20; 三、解答题: 16 解:设直线 l ′ 的斜率为 k ' ,

5 ? ? k' 则 2 = 1 ,………………………………7 分 5 ' 1? ? k 2 7 3 k ' = 或k = ? , ………………………………10 分 3 7
直线 l ′ : 7 x ? 3 y ? 11 = 0 和 3 x + 7 y ? 13 = 0 ;………………………………13 分 17.解: f (1) = 3
2

………………………………4 分

当 x ≥ 0 时, x ? 4 x + 3 >0 解得: 0 ≤ x <1 或 x >3;……………………… 8 分 当 x <0 时, x + 4 >3,∴-1< x <0;………………………………12 分 综上得解集为: ( ?1,1) ∪ (3, +∞) ………………………………13 分

1 18.解: a = 0 时,解得 x >1; a ≠ 0 时, a ( x ? )( x ? 1) < 0 ,……………………4 分 a
若 a >1,则解集为: ( ,1) ,………………………………6 分 若 a = 1 ,则解集为: φ ,………………………………8 分 若 0< a <1,则解集为: (1, ) ,………………………………10 分 若 a <0,则解集为: ( ?∞, ) ∪ (1, +∞ ) ,………………………………12 分 综上,略………………………………13 分 19.解: (1)由题意知此平面区域表示的是以 O (0, 0), P (4, 0), Q (0, 2) 构成的三角形及其内部, 且△ OPQ 是直角三角形, …………………………………3 分

1 a

1 a

1 a

所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆,故圆心是(2,1),半径是 5 ,………………4 分 所以圆 C 的方程是 ( x ? 2) 2 + ( y ? 1) 2 = 5 . …………………………………………6 分

(2)设直线 l 的方程是: y = x + b . ……………………………………………………7 分

因为 AB = 10 ,半径是 5 ,所以圆心 C 到直线 l 的距离是 即

10 , 2

……… 8 分

| 2 ?1+ b | 1 +1
2 2

=

10 2

……………………………………………………10 分

解得: b = ?1 ± 5 .

……………………………………………………11 分

所以直线 l 的方程是: y = x ? 1 ± 5 . ………………………………………………12 分 另解:设直线 l 的方程是: y = x + b . 代人圆 C 的方程是 ( x ? 2) + ( y ? 1) = 5
2 2

整理得: 2 x + (2b ? 6) x + b ? 2b = 0
2 2

设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 = 3 ? b, x1 x2 = 所以 ( x1 ? x2 ) = ( x1 + x2 ) ? 4 x1 x2
2 2

b 2 ? 2b 2

所以 AB = 2( x1 ? x2 ) = 2(3 ? b) ? 4(b ? 2b) = 10
2 2 2 2

解得: b = ?1 ± 5 所以直线 l 的方程是: y = x ? 1 ± 5 .(参照给分) 20.解:(Ⅰ)当 9 天购买一次时,该厂用于配料的保管费用 P=70+ 0.03 × 200 × (1 + 2) =88(元) (Ⅱ) (1)当 x≤7 时 y=360x+10x+236=370x+236 (2)当 x>7 时 y=360x+236+70+6[( x ? 7 )+( x ? 6 )+……+2+1] = 3 x 2 + 321x + 432 ∴y=? ………………………………4 分

………………………………7 分

?370 x + 236, x ≤ 7
2 ?3x + 321x + 432, x > 7

………………………………8 分

∴设该厂 x 天购买一次配料平均每天支付的费用为 f(x)元

? 370 x + 236 ? ,x ≤ 7 ? x f ( x) = ? ? 3x 2 + 321x + 432 ,x > 7 ? x ?
当 x≤7 时

………………………………9 分

236 当且仅当 x=7 时 x 2826 f(x)有最小值 ≈ 404 (元)………………………………10 分 7 f ( x ) = 370 +
当 x>7 时

f ( x) =

3 x 2 + 321x + 432 144 = 3( x + ) + 321 ≥393 x x

………………11 分

当且仅当 x=12 时取等号 ∵393<404 ∴当 x=12 时 f(x)有最小值 393 元 答: (Ⅰ)当 9 天购买一次时,该厂用于配料的保管费用 P 为 88 元;………………12 分 21 解:由题意椭圆的离心率

∴e =

c 1 = a 2

∴ a = 2c

∴ b 2 = a 2 ? c 2 = 3c 2

x2 y2 + 2 = 1 ……3 分 4c 2 3c 3 ( )2 1 3 又点 (1, ) 在椭圆上 ∴ 2 + 2 2 =1 ∴c 2 = 1 2 4c 3c 2 2 x y ∴椭圆的方程为 + = 1 ……5 分 4 3 ? x2 y 2 =1 ? + 由? 4 (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 3 ? y = kx + m ?
∴椭圆方程为 消去 y 并整理得 (3 + 4k 2 ) x 2 + 8kmx + 4m 2 ? 12 = 0 ……6 分 ∵直线 y = kx + m 与椭圆有两个交点

? = (8km) 2 ? 4(3 + 4k 2 )(4m 2 ? 12) > 0 ,即 m 2 < 4k 2 + 3 ……8 分 8km 4km 3m 又 x1 + x2 = ? ∴ MN 中点 P 的坐标为 (? , ) ……9 分 2 2 3 + 4k 3 + 4k 3 + 4k 2 1 1 设 MN 的垂直平分线 l ' 方程: y = ? ( x ? ) k 8 3m 1 4km 1 即 4 k 2 + 8km + 3 = 0 Q p 在 l' 上 ∴ = ? (? ? ) 2 2 3 + 4k k 3 + 4k 8 1 ∴ m = ? (4k 2 + 3) ……11 分 8k (4k 2 + 3) 2 1 < 4k 2 + 3 将上式代入得 ∴k2 > 2 64k 20
即k >

5 5 或k < ? 10 10

∴ k 的取值范围为 (?∞,?

5 5 ) U ( ,+∞ ) ……………12 分 10 10


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