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高中数学课件:第一章 1.2 应用举例 第二课时 正、余弦定理在三角形中的应用


课前预习·巧设计

第 一 章 解 三 角 形

第二 课时 1.2 应 用 举 例 正、 余弦 定理 在三 角形 中的 应用

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[读教材· 填要点] 1.正弦定理的推论 a b c 在△ABC 中,sin A=sin B=sin C=2R(R 为△ABC 的 外接圆的半径).

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2.三角形常用面积公式 1 (1)S=2a·a(ha 表示 a 边上的高); h

1 1 acsin B 1 2 2bcsin A ; (2)S=2absin C= =
1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径).

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[小问题·大思维] 1.在△ABC中,若已知三边a,b,c,如何求该三角形 的面积? 提示:先利用余弦定理求出cos A或cos B或cos C的 值,然后利用平方关系求出相应角的正弦值sin A 或sin B或sin C,最后代入公式求解.

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2.如何利用三角形的面积公式(1)推导出面积公式(2)和(3)? (以锐角△ABC为例)

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提示:①如图 作 AD⊥BC,垂足为 D. 1 则 S△ABC=2BC· AD 又∵AD=AB· B, sin 1 1 ∴S△ABC=2BC· sin B=2acsin B. AB·

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②如图, S△ABC=S△ABI+S△ACI+S△BCI 1 1 1 =2AB· 2AC· 2BC· r+ r+ r 1 1 =2(AB+AC+BC)r=2(a+b+c)r.

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[研一题] [例 1] 在△ABC 中, A, C 的对边分别为 a, 角 B, b,

π 4 c,B=3,cos A=5,b= 3. (1)求 sin C 的值; (2)求△ABC 的面积.

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[自主解答]

(1)因为角 A,B,C 为△ABC 的内角,

π 4 2π 3 且 B=3,cos A=5,所以 C= 3 -A,sin A=5. 于是 sin C=sin
?2π ? ? -A?= ?3 ?

3+4 3 3 1 2 cos A+2sin A= 10 .

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3+4 3 3 (2)由(1)知 sin A=5,sin C= 10 . π 又因为 B=3,b= 3, bsin A 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 a= sin B =5. 1 于是△ABC 的面积 S=2absin C 3+4 3 36+9 3 1 6 =2×5× 3× 10 = 50 .

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[悟一法] 1 (1)在求解三角形面积时,除用公式 S=2×底×高外, 1 1 1 常用 S=2absin C=2acsin B=2bcsin A 求解. (2)解决此类问题时,常先用正、余弦定理解三角形, 进而用公式求三角形的面积.

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[通一类] 1.在△ABC 中,BC=5,AC=4, 31 cos∠CAD=32,且 AD=BD, 求△ABC 的面积.

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解:如图,设 CD=x,则 AD=BD=5-x. 由余弦定理可知, AD2+AC2-DC2 ?5-x?2+42-x2 31 cos∠CAD= = = , 2AD· AC 2×?5-x?×4 32 解得 x=1.

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AD CD 在△CAD 中,由正弦定理可知,sin C= , sin∠CAD AD ∴sin C=CD· 1-cos2∠CAD=4
?31?2 3 1-?32? = ? ?

8 .

7

1 1 3 7 15 7 ∴S△ABC=2AC· sin C=2×4×5× 8 = 4 . BC· 所以△ABC 的面积是 15 4 7 .

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[研一题]
[例2] 如图,在△ABC中,已知

B=45°,D是BC边上的一点,AD=10,
AC=14,DC=6,求AB的长.

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[自主解答]

在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,

AD2+DC2-AC2 由 余 弦 定 理 得 cos ∠ ADC = = 2AD· DC 100+36-196 1 =-2, 2×10×6 ∴∠ADC=120° ,∠ADB=60° .

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在△ABD 中,AD=10,B=45° ,∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin∠ADB sin B 3 AD· sin∠ADB 10sin 60° 10× 2 ∴AB= = sin 45° = =5 sin B 2 2

6.

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[悟一法]

三角形中的几何计算问题的解题要点及突破关键:
(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点, 善于应用正弦定理、余弦定理,只需通过解三角形,一般 问题便能很快解决. (2)此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐 蔽的几何条件. 返回

[通一类]
2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,

AB=5,AC=9,∠BCA=30°,
∠ADB=45°,求BD的长.

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解:在△ABC 中,AB=5,AC=9,∠BCA=30° , AB AC 由正弦定理,得 = , sin∠BCA sin∠ABC AC· sin∠BCA 9· 30° 9 sin sin∠ABC= = =10. AB 5 因为 AD∥BC,

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所以∠BAD=180° -∠ABC, 9 于是 sin∠BAD=sin∠ABC=10, 同理,在△ABD 中,AB=5, 9 sin∠BAD=10, 2 ∠ADB=45° ,解得 BD= 2 . 9

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[研一题] [例 3] 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为

a2-b2 sin?A-B? a,b,c.求证: c2 = sin C .

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[自主解答]

法一:由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,

b2=a2+c2-2accos B, 得 a2-b2=b2-a2+2c(acos B-bcos A), 即 a2-b2=c(acos B-bcos A), a2-b2 acos B-bcos A a b 变形得 c2 = = ccos B- ccos A, c

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a b c 由正弦定理sin A=sin B=sin C a sin A b sin B 得 c=sin C, c=sin C, a2-b2 sin Acos B-sin Bcos A sin?A-B? ∴ c2 = = sin C . sin C

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sin?A-B? sin Acos B-cos Asin B 法二: sin C = sin C sin A sin B =sin Ccos B-sin Ccos A, a b c 由正弦定理sin A=sin B=sin C, sin A a sin B b 得:sin C= c,sin C= c, 由余弦定理推论得,

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a2+c2-b2 b2+c2-a2 cos B= ,cos A= , 2ac 2bc 代入上式得 sin?A-B? a a2+c2-b2 b b2+c2-a2 - c· 2bc sin C = c· 2ac a2+c2-b2 b2+c2-a2 = - 2c2 2c2 2?a2-b2? a2-b2 = 2c2 = c2 . ∴原等式成立.

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[悟一法]

三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式的
证明,但要注意灵活地选用正弦定理或余弦定理使混合的 边、角关系统一为边的关系或角的关系,使之转化为三角 恒等式的证明,或转化为关于a,b,c的代数恒等式的证 明,并注意三角形中的有关结论的运用.

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[通一类] 1 3. 在△ABC 中, 求证: acos 2 +ccos 2 =2(a+b+c).
1+cos C 1+cos A 证明:法一:左边=a· 2 +c· 2 a+c 1 1 = 2 +2acos C+2ccos A a+c 1 a2+b2-c2 b2+c2-a2 = 2 +2(a· 2ab +c· 2bc ) a+c b a+b+c = 2 +2= =右边,∴等式成立. 2
2C 2A

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法二:由正弦定理得,a=2Rsin A,c=2Rsin C, 代入等式左边, 1+cos C 1+cos A 左边=2Rsin A· 2 +2Rsin C· 2 =R(sin A+sin Acos C)+sin C+cos Asin C) =R(sin A+sin C+sin Acos C+cos Asin C)

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=R[sin A+sin C+sin(A+C)] =R(sin A+sin C+sin B) 2Rsin A+2Rsin C+2Rsin B a+b+c = = 2 =右边, 2 ∴等式成立.

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在△ABC 中,AB=2,cos C= 7 , D 是 AC 上一点,AD=2DC, 7 且 cos∠DBC= 14 . 5

2

7

? ???? ??? 求:(1)∠BDA 的大小;(2) AD · . CB

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[巧思]

(1)由已知条件可求∠DBC,∠C 的正弦值,

又∠BDA=∠DBC+∠C, 所以由 cos∠BDA=cos(∠DBC+∠C),可求余弦值, 进而可确定角的大小.

? ???? ??? ? ???? ??? (2) AD · =| AD |· | CB |cos(π-C),因此问题转化为 CB ??? ? ???? 求| AD |、| CB |,由正、余弦定理即可解决.

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[妙解]

(1)由已知得 cos∠DBC= 14 , 2

5

7

7 21 21 cos C= 7 ,从而 sin∠DBC= 14 ,sin C= 7 , ∴cos∠BDA=cos(∠DBC+∠C) 21 21 1 = 14 × 7 - 14 × 7 =2, π ∴∠BDA=3. 5 7 2 7

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(2)设 DC=x,则 AD=2x,AC=3x,设 BC=a,则 x a 在△DBC 中,由正弦定理得 = , sin∠DBC sin∠BDC ∴a= 7x. 在△ABC 中,由余弦定理得 4

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2 7 =(3x) +( 7x) -2· 7x· 7 ,解得 x=1, 3x·
2 2

???? ??? ? ∴| AC |=3,| BC |= 7. ? ? ???? ??? ???? ??? ∴ AD · =| AD |· |cos(π-C) | CB CB
7 =2× 7×(- 7 )=-4. 2

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