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高中数学竞赛培训专题讲座2003年8月


高中数学竞赛培训专题讲座

2003 年 8 月

------博
一.引言:从一个游戏谈起

奕 与 对 策

主讲:江苏省泰兴中学 龚留俊

“皇后登山” :一个普通的围棋盘,它有 18×18=324 个小的正方形格子,在右上顶处的格 子里标的“▲”的符号代表山顶。游戏由 A、B 两人来玩:由 A 把一位“皇后” (以一枚棋子代 表)放在棋盘的最下面一行或最左边一列的某个格子里,然后由 B 开始,两人对奕。 “皇后”只 能向上、向右或向右上方斜着走,每次走的格数不限,但不得倒退,也不得停步不前;谁先把 “皇后”走进标有“▲”的最右最上的那格就得胜。试问:谁有可能胜? 分析:由于 18×18 的棋盘太大,我们先将其改为 8×8 的棋盘来研究。 8 7 6 5 4 3 2 1


二.例题选讲:
例 1:在 8×8 国际象棋棋盘上的第一行放上 8 枚白子, 在第八行放上 8 枚黑子,每格一子,按下列 规则进行游戏:白方先走,黑白双方轮流沿竖列走自己一方的子,每一步让棋子沿着竖列前 进或后退一格或几格,既不能从棋盘上取下棋子,也不能把棋子放进对方棋子占据的方格或 者越过对方棋子,谁先不能走谁就算输。证明:黑方总能赢。 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

















1

例2:在1×n 的长方形区域上的 n 个方格依次编号为1,2,?,n。在编号为 n-2,n-1,n 的 方格里各放一枚棋子,有两个人在玩下面的游戏:每个人每走一步就把其中任意一枚棋子移 到编号较小的空格里,谁先无法走谁就算输。证明:谁先走谁就有必胜的策略。

1

2

??

n-2

n-1

n

例3:给定一个凸 n 面体,n≥5,每个顶点恰好引出三条棱,有两人在玩下面的游戏:每人都在一 个尚未签名的界面上写上自己的名字,谁先把自己的名字筌在具有公共顶点的三个界面上, 谁就算赢。证明:先写者总有取胜的策略。

例 4: 在8×8方格纸上,甲乙二人轮流在空格上放置棋 子,每次放棋子时,可在同一行或者同一列的若干个空格里 各放上一枚棋子,谁无法再放棋子,谁就算输。问:先放棋 子的甲还是后放棋子的乙可稳操胜券?

2

例5:在 n× 的棋盘的一个角上的小方格里放有一枚棋子,甲乙二人轮流移动棋子,每次可移至上、 n 下、左、右的任一邻格里,但不能移到棋子曾经到过的方格上,谁最后没处可走则谁输。 (1) 证明:当 n 为偶数时,先走的甲有必胜策略;当 n 为奇数时,后走的乙有必胜策略。 (2) 如果棋子的初始位置在第 n 行的第2格上, 是先走的甲还是后走的乙可稳操胜券? 问:

例6:有两堆火柴,分别有 100 根、252 根,两人轮流取火柴,每次从其中的一堆取,但所取的火 柴根数必须另一堆火柴根数的正约数,谁取走最后一根火柴则谁胜。问:谁有必胜策略。

3

三.思考题:
1:有两堆石子,一堆 p 块,一堆 q 块,p>q,甲乙两人轮流取石子,每次只能从其中的一堆里取, 并且取出的石子数必须是另一堆石子数的整数倍,直至只剩一堆,此时可一次取完,最后取 完石子者为胜。 (1) 证明:如果 p≥q,则先取石子的甲有必胜策略。 (2) 找出α ,使得 p>α q,则先取石子的甲有必胜策略。

2:彩票发行者从A={1,2,?,36}中删去6个数,买彩票者从A中选6个数写在彩票上,如 果所选的6个数都没有被删去,这张彩票就中奖。试证明: (1) 若购买8张彩票,则不论每张彩票上的6个数字如何选,可能全部不中奖; (2) 若购买9张彩票,并恰当地选写每张彩票上的6个数字,则可保证至少有一张中奖; (3) 若把上面的 36 改写为 100, 改写为 10, 改写为 12, 改写为 13, 6 8 9 则相应的结论成立。

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