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高二下学期期中考试文科数学试题及答案


2013-2014 学年下学期期中考试 高二文科数学试题

7.函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a =( A.2 B.3 C.4 D.5



5 55 2 2 8.已知命题 p p R , , :? R , 使 sin x ? qq

:q ? x? R , 都有 x2 ?? x? ?1 1? ?? 0 .0 p : x ? ,使 sin ; 命题 :? x? ? R 都有 x ? 1 ..给出下列结论: :x ? x ? R ,R 使 sin x ? 命题 q x R ,,都有 x? x ? 1 ? p :? ?? x ? R ,使 sin xx ?? ; 命题 ; 命题 ::? x? ? R , 都有 x 0 .0 2 22

班级

姓名

学号

①命题“ p ? q ”是真命题 ③命题“ ? p ? q ”是真命题 其中正确的是 A.②③ ( )

②命题“ p ? ?q ”是假命题 ④命题“ ?p ? ? q ”是假命题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。

注:所有题目在答题卡上做答
第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的。 ) 2 2 1.圆 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 的圆心的极坐标是 ( ) π ? ? ? A.(1, ) B.(1, ) C.( 2 , ) D.(2, ) 2 4 4 2 2.已知函数 f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于 ( )
19 16 13 A. B. C. 3 3 3 3. 函数 f ( x) ? ln x ? x 在区间 (0, e] 上的最大值为( A. ? e B. 1 ? e C.-1 10 D. 3
) D.0

B.②④

C.③④

D.①②③ )

9.曲线 f ( x) ? x 3 ? x ? 2 的一条切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则切点 P0 的坐标为( A.(0,-1)或(1,0) C.(-1,-4)或(0,-2)
?

B.(1,0)或(-1,-4) D.(1,0)或(2,8) ( )

10.已知向量 a ? (2,1) , b ? (?1, k 2 ? 2) ,则 k ? 2 是 a ? b 的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 )

4.在同一坐标系中,将曲线 y ? 2sin 3x 变为曲线 y ? sin x 的伸缩变换是
? x=3 x' ? A. ? 1 ? y= y' ? 2 ? x' =3 x ? B. ? 1 ? y' = y ? 2

(

)

?x ? 2 cos? , 11.圆 ? (?为参数)与直线3x ? 4 y ? 9 ? 0 的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
A.相交但直线不过圆心 B.相离 C.直线过圆心

C. ?

? ? x=3 x' ? ? y=2 y'

D. ?

? ? x' =3 x ? ? y' =2 y

D.相切

5.函数 f ( x) ? ex cos x 的图像在点 (0, f (0)) 处的切线的倾斜角为 A.0 π B. 4
2

(

)

12.下列说法中,正确的是

(

)

C.1

π D. 2 ( )
(0 ? y ? 1)

A.命题“若 am2 ? bm2 ,则 a ? b ”的逆命题是真命题 B.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 C.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 D.命题“ ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ”

? ? x ? ?2 ? cos ? 6.将参数方程 ? ( ? 为参数)化为普通方程为 2 y ? cos ? ? ?

A. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2
(?2 ? x ? ?1)
高二文科数学试卷

B. y ? x ? 2 D. y ? x ? 2
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高二文科数学试卷

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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 ) 13. 函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? 3 的单调减区间为
3 2

.

20. (本题 12 分)在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴 ? 建立极坐标系.已知点 M 的极坐标为 (4 2 , ) ,曲线 C 的参数方程为 4
? ? x ? 1 ? 2 cos? . , ( ? 为参数) ? ? ? y ? 2 sin ?

? π? 14.在极坐标系中,直线 l 的方程为 3? cos? ? ? sin? ? 1,则点 ? 2, ? 到直线 l 的距离 ? 6?
为 .

(1) 求直线 OM 的直角坐标方程; (2) 求点 M 到曲线 C 上的点的距离的最小值.

? x ? cos ?, 15.已知圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数)以原点为极点,x 轴正半轴为极 ? y ? 1 ? sin ?
轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? 1,则直线 l 与圆 C 的交点的直角 坐标为 . 21. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (1) 求 f ( x ) 的最小值; (2) 若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

16.在 ?ABC 中,B,C 坐标分别为(-3,0) , (3,0) ,且三角形周长为 16,则点 A 的轨迹方程是_______________________________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题 10 分)在极坐标系中,已知圆 ? ? 2cos? 与直线 3? cos? ? 4? sin ? ? a ? 0 相 切,求实数 a 的值.

? x ? ?2 ? t 22. (本题 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为 ? y ? 2 ? 3t

参数) ,直线 l 与曲线 C : ( y ? 2) 2 ? x 2 ? 1 交于 A, B 两点. (1) 求 | AB | 的长; 18. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c(a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处 的切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,求 a,b,c 的值. (2) 以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 ( 2 2 , 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离.
3? ); 4

19.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. (1) 讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值; (2) 过点 A(2, 2) 作曲线 y ? f ( x) 的切线,求此切线方程.
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2013-2014 学年下学期期中考试 高二文科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 B 5 B 6 C 7 D 8 A 9 B 10 A 11 A 12 D

∴a=2.5, b=1.5, C=0.…… 12 分

19;解

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 题 号 答 案

13

14
3 2

15

16
x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 25 16
令 若 ,得 ,则 在 ,则 在 上是减函数; 是极大值, 是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ (6 分) ,点 A(2,2) 在曲线上。
'

(1,3)

(1,1)

三.解答题 17.解:解:将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x2 ? y 2 ? 2x ,即 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,
直线的方程为 3x ? 4 y ? a ? 0 . 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1,即有

故 若 故 所以

上是增函数;

…… 3 分 …… 4 分 …… 6 分 …… 9 分 …… 10 分

| 3 ?1 ? 4 ? 0 ? a | 3 ?4
2 2

? 1,

解得 a ? ?8 ,或 a ? 2 . 故 a 的值为 ?8 或 2.

(2)曲线方程为
' 2

由 f ( x) ? 3x ? 3 知,切线斜率 k ? f (2) ? 9 切线方程为: y ? 2 ? 9( x ? 2) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ ┅┅┅┅┅12 分 (9 分)

18.解:由 x-6x-7=0 得,k=
3 /

1 6
2

…… 2 分 …… 3 分 …… 5 分 …… 8 分 …… 9 分
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所以切线方程为 9 x ? y ? 16 ? 0

∵f(x)=ax +bx+c, ∴f (x)=3ax +b ∴f/(1)=3a+b=-6 f/(1)=a+b+c=-1, ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴c=0

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20.

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 22.解: (1)直线 l 的参数方程化为标准型 ? ( t 为参数) …… 3 分 ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ?
代入曲线 C 方程得 t 2 ? 4t ? 10 ? 0 …… 5 分

设 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t 2 ? ?4 , t1t 2 ? ?10 , 所以 | AB |?| t1 ? t 2 |? 2 14 (2)由极坐标与直角坐标互化公式得 P 直角坐标 (?2,2) , …… 8 分 ……9 分

21.解: (1) f ( x) 的定义域为(0,+?),

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x . ……2 分

点 P 在直线上,中点 M 对应参数为 t 3 ? …

t1 ? t 2 ? ?2 , 2

…… 11 分

1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ; e 1 令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e ? 1? ?1 ? 从而 f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ? e? ?e ?
所以,当 x ?

? | PM |?| t3 |? 2
………………4 分

…… 12 分

1 1 时, f ( x ) 取得最小值 ? . e e

……………………………6 分

? ?) 上恒成立, (2)依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1,
即不等式 a ? ln x ? 令 g ( x) ? ln x ?

1 , ? ?) 恒成立. 对于 x ? [1 x
则 g ?( x) ?

………8 分

1 , x

1 1 1? 1? ? ? ?1 ? ? . x x2 x ? x ?
? ?) 上的增函数,………10 分 故 g ( x) 是 (1,
?????12 分

当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ?

1? 1? ?1 ? ? ? 0 , x? x?

1] . 所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 ,所以 a 的取值范围是 (??,

高二文科数学试卷

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