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说课:导数的几何意义


邹城一中

秦显静

教材分析

教法分析

教学目标

教学过程

评价反思

一. 教材分析
(1) 教材的地位和作用

(2)重点难点

(3) 课时安排

. 教材分析

(一)教材的地位和作用
微积分学是人类思维的伟大成果之一,是人类经历 了2500多年震撼人心的智力奋斗的结果,它开创了 向近代数学过渡的新时期 ,为研究变量和函数提 供了重要的方法。导数是微积分的核心概念之一, 有极其丰富的实际背景和广泛的应用。导数的几何 意义是学生在学习了瞬时变化率就是导数之后的内 容,通过这部分内容的学习,可以帮助学生更好的 理解导数的概念及导数是研究函数的单调性、变化 快慢和极值等性质最有效的工具,是本章的关键内 容。

一. 教材分析

(二)重点与难点

教学重点:运用导数的几何意义研究函数
教学难点:导数几何意义的推导思路

一. 教材分析 (三)课时安排

导数的几何意义可安排两课时。本节作为 第一课时,重在探求曲线上某点处切线的斜率 和导数的关系,理解导数的几何意义,体会几 何意义在研究函数性质应用中的作用。

二. 教法分析
(一)学情分析

(二)教学方法
(三)学法分析

(四)具体措施

二. 教法分析
(一)学情分析

学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变 化率刻画现实问题的过程,理解了瞬时变化率就 是导数,体会了导数的思想和实际背景,已经具 备一定的微分思想,但是对于导数在研究函数性 质中有什么作用还不够理解,多数同学对此有相 当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以 下困难,比如从割线到切线的过程中采用的逼近 方法,理解导数就是曲线上某点的斜率等等。

二. 教法分析
(二)教学方法 1、多媒体辅助教学 借助多媒体教学手段引导学生发现切线斜率 与该点导数值之间的关系,使问题变得直观,易 于突破难点;利用多媒体向学生展示导数就是切 线斜率的过程,体会逼近的思想方法。 2、探究发现法教学 让学生通过动手操作课件经历“实验、探索、论 证、应用”的过程,体验从特殊到一般的认识规 律,通过学生“动手、动脑、讨论、演练”增加 学生的参与机会,增强参与意识,教给学生获取 知识的途径,思考问题的方法,使学生真正成为 教学主体。

二. 教法分析
(三)学法分析

自主、合作、探究
借助多媒体技术创设丰富的教学情境,激发学生的学习动机,培养学 习兴趣,充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探 究的方式学习。引导学生动手操作课件,指导学生讨论交流从而发现 规律,培养学生探究问题的习惯和意识以及勇于探索、勤于思考的精 神,提高学生合作学习和数学交流的能力。

二. 教法分析
(四)具体措施
根据以上的分析,本节课采用教师引导与学生 自主探究相结合,交流与练习相穿插的活动课 形式,以学生为主体,教师创设和谐、愉悦的 环境及辅以适当的引导。同时,利用多媒体形 象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性, 以提高课堂效率。教学中注重数形结合,从形 的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养 学生分析解决问题的能力,培养学生讨论交流 的合作意识。

三. 教学目标
知识与技能 通过实验探求和理解导数的几何意义,

理解导数在研究函数性质中的作用,
培养学生分析、抽象、概括等思维能力。

三. 教学目标
过程与方法

在寻找切线新定义的过程中,使学生通过有 限认识无限,发现数学的美; 通过“以直代曲”思想的具体运用,使学生 达到思维方式的迁移,了解科学的思维方法。

三. 教学目标
情感态度与价值观
在导数几何意义的推导过程中,渗透逼近和以 直代曲的思想,使学生了解近似与精确间的辨 证关系,激发学生勇于探索、勤于思考的精神; 通过讨论、交流、合作、实验操作等活动激发 学生学习数学的兴趣;培养学生合作学习和数 学交流的能力。

四. 教学过程
(一)教学流程图

(二)教学过程与设计思路

(一)教学流程图
问题 系列
几何 意义 具体 应用

复习 引入

概念 建构


练 拓
作业

类似“卡通形象” 的教学流程图以 “模块”为基本 单元,从新课引 入到概念建构, 从技能演练到小 结作业。层层展 开,逐层突破。

教学程序及设计意图
教学过程 设计意图

(一)创设情景 引入新课 提出问题: 1、平面几何中我们是 怎 样 判 断 直 线 是 否 是 圆 提出问题,由学生发现圆的 切线的定义并不适用一般曲 的割线或切线的呢? 线的切线,必须重新定义曲 2、如图直线 l1 是曲线 l 的切线吗?2 呢?
线的切线,让学生感受到进 一步探究学习的重要性。

如图直线 l1 是曲线的切线吗?l2 呢?
y

l2

l1
A
B

直线l1与曲线C有唯一公共点B, 但我们不能说l1与曲线C相切 直线l2与曲线C有不止一个公共点 A,我们能说l2是曲线C在点A处 的切线

0

x

教学过程

设计意图

3、 那么对于一般的曲 线,曲线切线该如何寻 找呢?

设问引起学生的好奇心,激发学 生的求知欲,教学中让学生就此 探究进行思考展开讨论。

4、复习引导 a 圆的割线与切线有何关系 b 导数的定义
f ?( x0 ) ? lim f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x ?0 ?x ?y ? lim ?x ?0 ?x

利用认知迁移规律,从学生的 “最近发展区”出发,引导学生 利用已有的知识尝试解决问题, 在学生已有的认知结构基础上进 行新概念的建构。

教学过程

设计意图

(二)动手操作 探索求知 1、课件操作: 学生动手拖动
线定义。

通过逼近方法,将割线趋于确定位 置的直线定义为切线,适用于各种 点,观察割线的变化趋势, 曲线,这种定义才真正反映了切线 教师引导给出一般曲线的切 的本质。

2、学生自主合作学习: 学生分组讨论交流,计算切 点的导数值,自主合作探求 导数与斜率的关系,教师请 学生证明导数就是切线斜率。

借助多媒体教学手段引导学生发现 导数就是切线斜率,使问题变得直 观,易于突破难点;学生在过程中, 可以体会逼近的思想方法。最后的 证明环节,能够同时从数与形两个 角度强化学生对导数概念的理解。

教学过程

设计意图

(二)动手操作 探索求知
3、在研究曲线上某点的导数 和经过该点的切线斜率的关 系这个过程中,可以看到当 x ? x0 时, f ' ( x0 ) 是一个确 f 定的数,当x变化时,' ( x)是x 的一个函数,我们称它为 f ( x) 的导函数,简称导数,也记 作 y'
f ?( x ) ? y ' ? lim
?x ?0

借助课件演示,可以发现当 x变化时, ' ( x) 是x的一个函 f 数,此时提出导函数概念是 很自然的。

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

教学过程 (三)灵活运用 透析内涵 例1 观察跳水运动高度随时间变 化的函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图象,请描述曲线在t0,t1,t2 附近的变化情况。 2 根据已知条件,画出函数图象 在该点附近的大致形状

设计意图
设计这个问题的目 的有三个 第一,让学生描述 在一点附近曲线的变 化情况,体会以直代 曲的思想方法; 第二,让学生观察、 探讨函数的单调性与 其导函数正负的关系;

(1) f (1) ? ?5, f ' (1) ? ?1; (2) f (5) ? 10, f ' (5) ? 15;
(3) f (10) ? 20, f ' (10) ? 0;

第三,让学生观察曲 线的变化快慢及切线 的倾斜角,发现两者 的内在联系。

教学过程

设计意图

(四)巩固知识,提升思维
这是学生思维上升的又 一个层次,设计该题目 的在于加深学生对导数 刻画函数单调性的理解, 是例1的逆向思维,通过 它及时发现学生的问题, 及时纠正,能够对学生 情况给予及时评价。

f ' ( x) 的下列信息: 3 已知导函数

当1 ? x ? 4时, f ' ( x) ? 0; 当x ? 4, 或x ? 1时, f ' ( x) ? 0; 当x ? 4, 或x ? 1时, f ' ( x) ? 0. 试画出函数f ( x)图象的大致形状

教学过程

设计意图

(五)自主小结
1、知识技能小结 2、思想方法小结

整体把握

启发学生自主小结,知识性内 容的小结,可把课堂所学知识 尽快化为学生的素质;数学思 想方法的小结,可使学生更清 晰地梳理数学思想方法,并且 逐渐养成科学的思维习惯。

(六)布置作业

拓展提高
针对学生素质的差异进行分层 训练,既注重“双基”,又兼 顾提高,为学生指明课后继续 研究的方向,同时为以后的学 习留下悬念,激发学生探索的 兴趣。

(1)阅读作业:收集有关微积分创立的时代背 景和有关人物的资料 (2)书面作业: 1. P11 A组T6 2 2.已知函数 f ( x) ? 2 x ,试画出其导函数图 象的大致形状 (3)拓展作业: 思考:经过曲线上一点P(x0 ,f(x0))的切线 方程如何求呢?

小结提高
切线 定义

导数的几 何意义
内涵 理解 核心概念

知识 运用

数学 思想

知识技能?思想方法

五. 评价与反思

(一)设计说明

(二)过程反思

五. 说明和反思
1、 板书设计:

课题 投影屏幕 概念 理解 运用

例题 小结……

五. 说明和反思
情景 引入
几何 意义 具体 运用

复习 引入

2、时间安排:
新课引入约10分钟, 探索求知约10分钟, 灵活运用约20分钟, 小结提高约5分钟。

概念 建构

演 练 拓
作业

过程反思
本节课我设计为一节“科学探究—合作学习”的 活动课,在整个教学过程中学生以研究者的身份 学习,在问题解决的过程中,通过自身的体验对 知识的认识从模糊到清晰,从直观感悟到精确掌 握。 力求使学生体会微积分的基本思想,感受近似与精 确的统一,运动和静止的统一,感受量变到质变的 转化。希望利用这节课渗透辨证法的思想精髓。 教师在这个过程中始终扮演学生学习的协作者和 指导者。学生通过自身的情感体验,能够很快的 形成知识结构,转化为数学能力。


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