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湖南省澧县一中2014-2015学年高二上学期特色班周考数学理试题(12月28日)


2014.12.28 高二理科特色班数学周考试题
总分:100 分 时量:75 分钟 命题人:龚光元

一、选择题(每小题 5 分共 50 分,请将答案填写在答题区。 )
1.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 3 2 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,?, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9,抽到的 32 人中,编号落入 区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C,则抽 到的人中,做问卷 B 的人数为 A.7 B.9 C.10 D.15 2.已知 a,β 表示两个互相垂直的平面,a,b 表示一对异面直线,则 a⊥b 的一个充分条件 是 A.a∥α,b⊥β B.a∥α,b∥β C.a⊥α,b∥β D.a⊥α,b⊥β 3.如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ? 2) 和实数 a1, a2,?, aN ,输出 A,B,则 A.A+B 为 a1,a2,?,aN 的和 B.

A? B 为 a1,a2,?,aN 的算术平均数 2

C.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最大的数和最小的数 D.A 和 B 分别是 a1,a2,?,aN 中最小的数和最大的数 4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相 关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法 ^ 建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确 的是 ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 ( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 5.如果一个 n 位十进制数 a1a2 a3 ?an 的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序,即满 足 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ?,我们称这种数为“波浪数”;从 1,2,3,4,5 组成的数字 不重复的五位数中任取一个五位数 abcde ,这个数为“波浪数”的概率是 2 4 2 8 A. B. C. D. 15 15 5 15 6.设抛物线 y2=4x 上一点 P 到直线 x=-3 的距离为 5,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 A.4 B.6 C.8 D. 3

x2 y 2 y2 2 ? 1有公共的焦点,C2 的一条 7.已知椭圆 C1: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)与双曲线 C2: x ? 4 a b
渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则 13 1 A.a2= B.a2=13 C.b2= D.b2=2 2 2

x2 1 2 x (p>0)的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 于 8. 抛物线 C1 : y ? 3 2p 第一象限的点 M 。若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线。则 p ?
A.

3 16

B.

3 8

C.

2 3 3

D.

4 3 3

9.已知二面角 ? ? l ? ? 为 60°, AB ? ? ,AB⊥l,A 为垂足, CD ? ? ,C∈l,∠ACD =135°,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 1 2 3 A. B. C. 4 4 4 10.椭圆 1 2

D.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? ?) 的右焦点 F ,其右准线与 x 轴的交点为 A,在椭圆上存在 a 2 b2 点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F ,则椭圆离心率的取值范围是
A. (0,

2 ] 2

B. (0, ]

1 2

C. [ 2 ?1,1)

D. [ ,1)

1 2

二、填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案填写在答题区。 ) 11.已知命题 p : “ ?x ? R, ?m ? R, 4x ? 2x?1 ? m ? 0 ” ,且命题 ? p 是假命题,则实数 m
的取值范围为___________.

x2 y 2 12.设 F1 , F2 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点,P 是 C 上一点,若 a b PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为___________.
13.直线 l 过抛物线 C: x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于 ___________. 14.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则 实数 a=___________. 15.已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2 AB ,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦 值等于___________.

班级学号:
选择题答题区: 题号 答案 填空题答题区: 11. 14. 12. 15. 1 2 3 4

姓名:

5

6

7

8

9

10

13.

三、解答题(共 25 分,请将答案填写在答题区。 )
16.(本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥ 平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. ⑴证明:AP⊥BC; ⑵在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.

17.(本小题满分 13 分)已知椭圆 四个顶点得到的菱形的面积为 4。 ⑴求椭圆的方程;

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,连接椭圆的 2 a b 2

⑵设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B , 已知点 A 的坐标为 ( ? a, 0 ) , 点 Q(0, y0 ) 在 线段 AB 的垂直平分线上,且 QA? QB ? 4 ,求 y0 的值.

??? ? ??? ?

2014.12.28 高二理科特色班数学周考参考答案
一、选择题:

题号 答案

1 C

2 D

3 C

4 D

5 A

6 D

7 C

8 D

9 B

10 D

二、填空题: 11. (??,1] 12. 3 13.
8 3

14.

9 4

15.

2 3

三、解答题(共 25 分,请将答案填写在答题区。 )
16.(本小题满分 12 分) 【解答】 方法一:(1)证明:如图,以 O 为原点,以射线 OP 为 z 轴的正 半轴,建立空间直角坐标系 O-xyz. → 则 O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),AP → → → → → =(0,3,4),BC=(-8,0,0),由此可得AP· BC=0,所以AP⊥BC,即 AP⊥BC. → → → (2)设PM=λPA,λ≠1,则PM=λ(0,-3,-4). → → → → → BM=BP+PM=BP+λPA=(-4,-2,4)+λ(0,-3,-4)=(-4,-2-3λ,4-4λ), → → AC=(-4,5,0),BC=(-8,0,0). 设平面 BMC 的法向量 n1=(x1,y1,z1).平面 APC 的法向量 n2=(x2,y2,z2), → ? ?-4x1-?2+3λ?y1+?4-4λ?z1=0, n1=0, ?BM· ? 由? 得? ? → ?-8x1=0, ? n1=0, ?BC· x =0, ? ?1 2+3λ? ? 即? 可取 n1=?0,1, . 2+3λ 4-4λ? ? ? z1= y1, ? 4 - 4 λ ? → ? ?x2=4y2, ? n2=0, ?AP· ?3y2+4z2=0, ? 由? 即 得? 3 ? → ?-4x2+5y2=0, ? n2=0, ?AC· ?z2=-4y2, 取 n2=(5,4,-3). 2+3λ 2 由 n 1· n2=0,得 4-3· =0,解得 λ= ,故 AM=3。 5 4-4λ 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3。 方法二: (1)证明:由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC.又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC.因 为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD.故 BC⊥PA. (2)如图, 在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M, 连 CM, 由(1)中知 AP⊥BC, 得 AP⊥平面 BMC. 又 AP?平面 APC,所以平面 BMC⊥平面 APC.在 Rt△ADB 中,AB2=AD2+BD2=41,得 AB = 41.在 Rt△POD 中, PD2=PO2+OD2,在 Rt△PDB 中,PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=PO2 2 2 2 2 2 +OD +DB =36,得 PB=6,在 Rt△POA 中,PA =AO +OP =25,得 PA=5,又 cos∠ PA2+PB2-AB2 1 BPA= = ,从而 PM=PBcos∠BPA=2,所以 AM=PA-PM=3. 2PA· PB 3 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3.
[来

5



17.(本小题满分 13 分)


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