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3.2简单的三角恒等变换


3.2

简单的三角恒等变换

【课题导入】(1分钟)

学习过和(差)角公式,倍角公式以后,我 们就有了进行三角变换的新工具,从而使三角变 换的内容、思路和方法更加丰富,这为提高我们 的推理、运算能力提供了新的平台。

【学习目标】(2分钟)

1.记住三角恒等变换常用公式. 2.能够利用三角函数公式进行简单的三角函数式 的 化简、求值和证明.

【预习指导】(5分钟)

【引导探究】(25分钟) 探究一:降幂公式与半角公式及其应用
问题一:试以 cos ? 表示 sin
? ?
2 ? 2

, cos
2 ? 2

2 ? 2

, tan

2 ? 2

.
?1

解: cos( 2 ? 2 ) ? 1 ? 2sin ? sin
2 ? 2 2 ? 2

? 2 cos

2 ? 2

? ? ?

1? cos ? 2 1? cos ? 2 sin 2 ? 2 cos 2 ? 2

cos tan

2 ? 2

?

1? cos ? 1? cos ?

降幂公式

半角公式
1? cos ? 2 1? cos ? 2 1? cos ? 1? cos ?

sin

2 ? 2 2 ? 2

? ? ?

sin 2 ? ?
?

1? cos ? 2 1? cos ? 2 1? cos ? 1? cos ?

cos tan

cos 2 ? ?
?

2 ? 2

tan 2 ? ?
?

【例1】

8 3 α α 已知 sinα=- ,π<α< π,求 sin , cos 17 2 2 2
8 3 15 π α 3 解:∵sinα=- ,π<α< π,∴cosα=- . 又 < < π 17 2 17 2 2 4 α ∴sin = 2 α cos =- 2 1-cosα = 2 1+cosα =- 2 15 1+ 17 4 17 = . 2 17 15 1- 17 17 =- , 2 17

α tan 的值. 2

α sin 2 α tan = =-4. 2 α cos 2

探究二:化一公式 (辅助角公式)及其应用
asinα+bcosα a b = a +b (sinα· 2 2+cosα· 2 2) a +b a +b
2 2

= a2+b2sin(α+φ). a b (其中令 cosφ= 2 2,sinφ= 2 2) a +b a +b

例 2:利用化一公式化简下列式子. sinα± cosα=
2(
2 2

sin ? ?

2 2

? cos ? ) ? 2(cos ? sin ? ? sin 4 4 cos ? )

? 2 sin(? ? ? 4)

sinα± 3cosα=

2( 1 2 sin ? ?

3 2

? cos ? ) ? 2(cos ? sin ? ? sin 3 3 cos ? )

? 2sin(? ? ? 3)

cosα± 3sinα= 2( 1 2 cos ? ?
? 2sin( ? 6 ??)

3 2

? sin ? ) ? 2(sin ? cos ? ? cos 6 6 sin ? )

【例 3】 -2cos
2ωx

π π 已知函数 f(x)=sin(ωx+ )+sin(ωx- ) 6 6

2

,x∈R(其中 ω>0).

(1)求函数 f(x)的值域; (2)若函数 y=f(x)的图象与直线 y=-1 的两个相邻 π 交点间的距离为 ,求函数 y=f(x)的单调增区间. 2

【解】 -(cosωx+1)

3 1 3 1 (1)f(x)= sinωx+ cosωx+ sinωx- cosωx 2 2 2 2

3 1 π =2( 2 sinωx-2cosωx)-1=2sin(ωx-6)-1. π 由-1≤sin(ωx-6)≤1,得 π -3≤2sin(ωx- )-1≤1, 6 可知函数f(x)的值域为[-3,1].

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(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的 2π 最小正周期为π,又由ω>0,得 ω =π,即得ω=2. π 于是有f(x)=2sin(2x- )-1. 6 π π π 再由2kπ-2≤2x-6≤2kπ+2(k∈Z),解得 π π kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 6 3 所以y=f(x)的单调增区间为 π π [kπ-6,kπ+3](k∈Z).
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探究三:三角函数在实际中的应用
【例3】 有一块以O为圆心的半圆形空地,要在

这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地,使其 一边AD落在半圆的直径上,另外两点B,C落在半圆的 圆周上,已知半圆的半径长为a,如何选择关于点O对 称的点A,D的位置,可以使矩形ABCD的面积最大?

π 解:画出图象如图所示,设∠AOB=θ(θ∈(0, )), 2 则 AB=asinθ,OA=acosθ. 设矩形 ABCD 的面积为 S ,则 S = 2OA· AB ,即 S = 2acosθ· asinθ=a · 2sinθcosθ=a sin2θ.
2 2

π π π ∵θ∈(0, ),∴2θ∈(0,π),当 2θ= ,即 θ= 时,Smax 2 2 4 2 =a ,此时,A,D 距离 O 点都为 a. 2
2
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【课堂小结】(2分钟)

降幂公式

sin

2 ? 2 2 ? 2

? ? ?

1? cos ? 2 1? cos ? 2 1? cos ? 1? cos ?

半角公式 ? sin 2 ? ?

1? cos ? 2 1? cos ? 2 1? cos ? 1? cos ?

cos tan

cos 2 ? ?
?

2 ? 2

tan

?
2

??

化一公式
asinα+bcosα= a2+b2sin(α+φ).
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【当堂清学】(10分钟)
3 5π θ θ 基础题: 已知|cosθ |= , 且 <θ <3π , 求 sin , cos , 5 2 2 2 θ tan 的值. 2 提高题:求证:
1 (1) cos ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? 2

sin 2 ? ?
?

2 5 5

cos 2 ? ?
?

5 5

tan ? 2 ?2

1 (2) cos ? cos ? ? ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? 2

选做题:已知函数 f(x)=2sin(π-x)cosx. (1)将 f(x)化为 Asin(ωx+φ)的形式(A>0,ω>0); (2)求 f(x)的最小正周期; π π (3)求 f(x)在区间[- , ]上的最大值和最小值. 6 2

解:(1)f(x)=2sin(π-x)cosx =2sinxcosx=sin2x. 2π (2)由(1)知函数f(x)的最小正周期为T= =π. 2 π π π (3)由- ≤x≤ ,得- ≤2x≤π, 6 2 3 3 所以- ≤sin2x≤1, 2 3 即f(x)的最大值为1,最小值为- . 2

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【作业布置】

课时作业29

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