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双曲线的离心率


课题

双曲线的离心率 学会离心率的多种求法

学 习 目 标 重 点 难 点

离心率的多种求法



学 过 程





知识回顾 1.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 x2 y2 - =1 a2

b2 (a>0,b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 性 质 离心率 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标:A1____,A2____ y=____ 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点坐标:A1____,A2____ y=____

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的______, 它的长|A1A2|=______; 线段 B1B2 叫做双曲线的______, 它的长|B1B2|=____; ____叫做双曲线的实 半轴长,____叫做双曲线的虚半轴长 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

实虚轴

a,b,c 的关系

一、双曲线离心率的求解 1、直接求出 a,c 或求出 a 与 b 的比值,以求解 e 。
在双曲线中, e ?

c c c2 a 2 ? b2 b2 b >1, e ? ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? ( )2 2 2 a a a a a a
o

探究一已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为 60 双曲线 C 的离心率为________
长风破浪会有时,直挂云帆济沧海
1

,则

审核人:吕大海

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教师评价:

x2 y2 4 变式训练 1.已知双曲线 - =1的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为 2 2 3 a b
x y π 变式训练 2.已知双曲线 2 - =1(a> 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为 a 2 3
2 2

2、构造 a,c 的齐次式,解出 e
探究二已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是准线上一点,且 P F1 a 2 b2

⊥P F2,|P F1| ? |P F2 |=4ab,则双曲线的离心率是

变式训练 3.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0, b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M、 a 2 b2

N 两点,以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于________.

x2 y 2 变式训练 4.设 F1 和 F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的两个焦点, 若 F1,F2 ,P(0, 2b) 是 a b
正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为_________

3.双曲线离心率取值范围问题
探究三双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的两个焦点为 F1、 F2,若 P 为其上一点, 且|PF1|=2|PF2|, a 2 b2

则双曲线离心率的取值范围为_________ 变式训练 5.设点 P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上的任意一点, F1 , F2 a 2 b2

分别是其左右焦点,离心率为 e,若 | PF 1 |? e | PF 2 | ,此离心率的取值范围为

2 不积跬步无以至千里,不积小流无以至江海。

高考链接 1.设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点。若双曲线上存在点 A,使 ?F1 AF2 ? 90? ,且 a 2 b2

|AF1|=3|AF2|,则双曲线离心率为_________

2.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ?

12 x ,则双曲线的离心率为________ 5

3.设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直, 那么此双曲线的离心率为_______

4.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线的右支上,且 a 2 b2

| PF1 |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值

长风破浪会有时,直挂云帆济沧海

3

审核人:吕大海

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教师评价:

作业 1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离 心率为 2.已知双曲线

x2 3 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条准线为 x ? ,则该双曲线的离心率为__________ 2 2 a x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若 a2 b2

3.已知 F1、F2 是双曲线

边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是__________

x2 y 2 4.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,右准线 l 与两条渐近线交于 P、Q 两点,如果 a b
?PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率 e ? _______
5.设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是__________. a 2 (a ? 1)2

x2 y 2 6.如图, F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, a b

A 和 B 是以 O 为圆心,以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个
交点,且△ F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为_____________ 7.双曲线

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 30? 的直线 a 2 b2

交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为___________

x2 y2 8.设点 P 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上,双曲线两焦点 a b
求双曲线离心率的取值范围 9.设点 P 在双曲线





x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左支上,双曲线两焦点为 a2 b2
的比例中项,求双曲线离心率的取值范围。

,已知

是点 P

到左准线 的距离 和

4 不积跬步无以至千里,不积小流无以至江海。


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