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三角函数最值得求法


三角函数最值的求法
河南省新安县职业高级中学 赵合平

三角函数的最值几乎涉及到全部三角学, 在解法上, 灵活多变, 与二次函数、 不等式等联系密切,因此,是历年高考的热点。 1. 可化为三角函数的有界性求最值 (1)

例 1 求函数

的最值。

分析:由于 时需注意自变量 的取值范围。



,其中

,此结论在运用

所以





,所以



由三角函数的图象可知,





(2)



例 2 求函数

的最值。

分析:由降幂公式知,



由正弦函数的有界性知,





2. 可化为二次函数求最值 例 3 求函数 的最值。

分析 因为





,由二次函数图象可知,





3. 利用斜率公式求



一次分式函数的最值

例 4 求函数

的最值。



分析: 由斜率公式可知, 函数的最值问题可转化为点

与点

两点斜率的最值。由于

。点 B 在单位圆

的第一象限上,由图

1 可知,



,所以



从而





4. 换元法求最值 例 5 求函数 的最值。

分析:设

,则



所以

,所以 , 5. 用基本不等式





例 6 求函数

的最大值。

分析:基本不等式最值需保持“一正,二定,三相等”的条件。



,再拆项变形得

,此时 6. 用到函数单调性

,所以



例 7 求函数

的最小值。

分析:此函数虽满足均值不等式求最值的前两个条件,但不能保证第三个条件 成立,故需转化为特殊函数 型,利用函数单调性求解。

设 。

,函数



上是减函数,所以



时,

注: 2010 年 11 月,论文《三角函数最值的求法》发表在《学习周

报》第 86 期, 刊号 CN54-0014


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