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幂函数的图像和性质


问题的引入
我们先看几个具体问题: (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克, 那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数;

y?x

(2) 如果正方形的边长为a, 那么正方形的面积 2 , 这里S是a的函数; S ?a

y?x

2

(3) 如果立方体的边长为

a,那么立方体的体积 3 , 这里V是a函数; V ?a

y ? x3
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问题的引入
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么这个正方形的 1 1 边长 a ? S 2 , 这里a是S的函数;

y ? x2

(5)如果人t秒内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度 ?1 v ? t ?1km / s, 这里v是t的函数. y?x

y?x

y?x

2

y?x

3

?y?x

a

若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它 们的函数关系式将是: y=xa

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幂函数的概念

一般地,函数y ? x 叫做幂函数, 其中x是自变量,
a

a是常量.
概念的理解

①y ? x a中x a前面的系数为1, 并且后面没为常数项.
②定义域没有固定,y=x 的定义域与a的值有关.
a

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幂函数与指数函数的对比理解 名称
函数表达式 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a 参数a 底数 指数 自变量x 指数 底数 因变量y 幂值 幂值

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点:
看看未知数x是 指数 还是 底数
指数函数 幂函数
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范例讲解

例1 判断下列函数是否为幂函数.

1 (2) y ? 2 x
(3) y= -x2

(1) y=x4

(4) y ? x
(6) y=3x

1 2

(5) y=2x2

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范例讲解

例2.已知幂函数y ? f ( x)的图象过点(2, 2 ), 试求出这个函数的解析式.

解 : 设所求幂函数为y ? x ,
a

因为函数过点(2, 2), 所以 2 ? 2 ,
a

所以a ? log 2

1 2 ? log 2 2 ? . 2
1 2

1 2

故所求的幂函数为y ? x .
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幂函数的图像
作出下列函数的图象:

y?x
y?x y?x
2 3
1 2

y?x
y=x0

y?x

?1

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幂函数的图像

y?x
x -2 -1 0 1 2

4

3

2

1

y=x
-6

-2 -1 0 1 2
-4 -2 -1

(1,1)
2 4 6

(-1,-1)
-2

-3

-4

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y?x
-6

幂函数的图像 (-2,4)

2

4

(2,4) y=x

3

2

1

(-1,1)
-4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x y=x2

-2 4

-1 1

-3

-1/2 1/4

0 1/2 0 1/4

1 1
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-4

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幂函数的图像 (-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

x y=x2

-2 4

-1 1

-3

-1/2 1/4

0 1/2 0 1/4

1 1
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-4

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幂函数的图像 (-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)

x y=x3

-3/2 -27/8

-1 -1

-2

-3

-1/2 0 -1/8 0

1/2 1/8

1 3/2 1 27/8

-4

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幂函数的图像 (-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)

x y=x3

-3/2 -27/8

-1 -1

-2

-3

-1/2 0 -1/8 0

1/2 1/8

1 3/2 1 27/8

-4

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幂函数的图像 (-2,4)

4

y=x3

y?x ? x
(-1,1)
-6 -4 -2

1 2

(2,4) y=x2 y=x (4,2)

3

2

1

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)

x

-2

y? x
-3 -4

0 1/9 1/4 1 4 0 1/3 1/2 1 2

9 3

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幂函数的图像 (-2,4)

4

y=x3

y?x ? x
(-1,1)
-6 -4 -2

1 2

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)

x

-2

y? x
-3 -4

0 1/9 1/4 1 4 0 1/3 1/2 1 2

9 3

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幂函数的图像 (-2,4)

4

y=x3

y?x
-6

?1
(-1,1)
-4 -2

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3 -2 ?1 y ? x -1/3 -1/2

x

-1 -1/2 -1 -2

-3

-4

-1/3 -3

1/3 1/2 1 2 3 3 2 1 1/2 1/3
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幂函数的图像 (-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3 -2 ?1 y ? x -1/3 -1/2

x

-1 -1/2 -1 -2

-3

-4

-1/3 -3

1/3 1/2 1 2 3 3 2 1 1/2 1/3
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幂函数的图像
(-2,4)
4

y=x3

可以看出,常函数 y=1的图像比幂函 数 y=x0的图像多了一 个点(0,1), 所以常函 数y=1不是幂函数.
-6 -4

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

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几个特殊幂函数的性质

y?x

y?x

2

y?x
4

3

y?x
3

1 2

y?x

?1

定义域 (-2,4) 值域
y?x

奇偶性 单调性 (2,4) y=x
y=x2

公共点
1 2

R R
-4

R

3

奇函数

y=x (0,0),(1,1) 增函数 y=x (4,2)

2

y?x y?x
-6

2

[0, ?? ) 偶函数 (1,1) (-1,1)
1 -2

? y=x
-1
4

(0,0),(1,1) 0
y=x
6

3
1 2

R

R
-1

奇函数
2

增函数 (0,0),(1,1)
(0,0),(1,1) (1,1)
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(-1,-1)
-2

{ x | x ? 0} [0, ?? ) 非奇非偶 增函数 y?x
-3

{ y | y ? 0} 奇函数 y ? x {x | x ? 0}
?1
-4

?
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一般幂函数的图像和性质
(-2,4)
4 3

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

⑴所有的幂函数在(0,+∞),都有定义, 并且函数图象都通过点(1,1);
2 1

y=x 2

⑵在第一象限内, 0 (1,1) (-1,1) y=x -1 当a>0时,图象随x增大而上升: y=x 若a>1时,图象随x增大是下凸上升(快增); 若0<a<1时,图象随x增大是上凸上升(慢增); (-1,-1) 当a<0时,图象随x增大而下降(下凸下降-慢减) a=1 a<0 a>1 ⑶a>0时,图象还都过点(0,0)点.
-6 -4 -2 2 4 6 -1 -2 -3

0<a<1

-4

a=0
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范例讲解

例3.如果函数 f ( x) ? (m ? m ? 1) x 是幂函数,且在区间(0,+∞)内是减
2

m2 ? 2 m ? 3

函数,求满足条件的实数m的值.

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范例讲解
例4. 利用单调性判断下列各值的大小。 (1)5.20.8 与 5.30.8 (2)0.20.3 与 0.30.3
(3)
-2 -2 2.5 5 与 2.7 5
a<0

a>1

a=1
0<a<1

a=0
a<0

a>1

a=1
0<a<1

a=0
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提高训练

练习2
1)

1.3
?2

0.5<

1.5

0.5

a<0

a>1

a=1
0<a<1

?2 < 5.1 2) 5.09
1 4

a=0
1 4

3) ?1.79 > ?1.81

4)

(2 ? a )

2 ? 2 3 ≤

2

2 ? 3

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提高训练
练习3 如图所示,曲线是幂函数 y = xa 在第一象限
1 内的图象,已知 a分别取 ?1,1, , 2 四个值,则 2
C4 C2 C3 C1 相应图象依次为:________

一般地,幂函数的图象 在直线x=1的右侧,大指数在 上,小指数在下,在Y轴与 直线x =1之间正好相反。
1

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课堂小结

1.幂函数的定义及图象特征; 2.幂函数的性质;
运用函数性 质解决问题时,要 想到数形结合的 思想方法,寓数于 形,赋形于数,互相 利用,相得溢彰.
-6

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4

y=x0
6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

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