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数学竞赛中的斐波那契数列问题


?

4




,


, . . ,
,

-



, . . . 口护. . . . . ‘. . .


.

数 学 竞 赛从 某 种 意 义 上 可 以 看 成 是 欲 学 研 究 的 缩影 与 雏 形 数 学 中 的 重 要 理 论以 及 数 学研 究 中的 某 些 热 点 必 然 要 渗 透 于 其 中 斐 波 那 契 数 列 就 是 一 个典 型 例 子 下 文 将 介 J : i ’ 绍一 些 以 斐 波 那 契 数 列 问 题 为 背 景 l 国 外 众 学 竞赛 题 例 1 (第 1 届 全 俄 数 学 竟 赛 ) 设 4
.



.



j

一 数一 题 数学 竞赛 中的 斐 波 那 契 列 间
步 舌



‘ . 目‘ . . . 目. . . . . . . . . . . . . . 曰. . . . . . . . . .



.

~





~





曰职

吕~ .




(心



义间 专

学 系)

=

厂 十厂厂 孟
1


2





厂 孟
2



.

+

1

.

2

2

=



1

.

.



(1 刘 盛国 议学 奥 林 匹 克 ) 详 } 9 例2 为 斐故 那 契数列 试证 明有 唯 一 组 正 整 数 , , , 幻 乙 :: 使 得 O < a < 。 , O < 今< ,n 并 且 对 , : 一 切 正 整 数 少 一 。: 乃 都 能 被 m 整 除
,
_

rl

,

,

,



n

.

证明


r自 , f


一 a
.

b

=
:

1

一 。

乙三 。( m
2



d

7,:

)

,

可 知 (, :
二O (
2
a

a



1

又厂



Za 乡

=

.

1



之a


.

n: o

d

: 2

)

,

}仁
a

百 相减 得 式
乙(Z b


1

+



}




1

b

Z

一 a
,

乙二



1 ) 一 O (m

o

d 服) ( 1 )

i

! 主 含奎 (a 乙 1

, ,:

)



1

}! 可头
, 22 )

.

其 中, 和 是 互 质 的 白然 数 而 等 式左 边 含 有 + 。2 : 一 : 2 1 9 8 8 条分 数 线 , 试 计 算 m 的值 解 设 上 述 含有 k 条 分 数线 的 繁 分 数 的 。: 、 n k 夕 , , : 、 (刀 : ) 值为 / 二= 1 ,
,

n

之乙,
n

1 三0
?

(m


o

d

Z

.

> 2时
=
=
?

,
u

f


一 ,: a


一 2


a

1


,

f
+

n

一 72 。 b



;

〔 厂
+

。一



(? :
a




1)

a



” 一



〕+ ( , :
a




1)

嫩k

+ 1

1

咒 k





一 ‘

〔 厂

了: 7

一 :






+

n



2)
’ 1



” 一




九 k + z

1



世些
k 7乙

刀z、 +

7zk ,

(, z b
“ 一




2)
o





一 ,za







a

〔( 22
d
zn

1) b


(, z

2)

一 zZ

b 〕

吕 l [

m

k +

: =

Zl k ,

尤]
:

十 l =

”z 盆

+

n ‘。

三 O (m
,

)

注意 到

m

一1 儿



=

气一

1
1

,


,

1

=

1
,

,

22 2 =
Z

1

日 山 此 矢 (, z 一 1 ) 乙+ (, :



2 )

一 ,2





二 O (m
,

o

d

)

.

(2 )


1 将 它 与斐 波 那 契 数 列 f 、+ : , = : + (k ) i ) 比 较 可 知 f f k , k 十 : = n k = f f 水k , Z 于是 m + m n 一 n
:

=

f

=

1

,



k ,



4


=

(2 )
2 (n
+

n

式并 利 用 ( 1 ) 式 有
) 乙 + 4 (陀
1 ) (Z b


4 (儿 一 1

2 )
一 n



4

n


b


Z

.

1)

(4 b
,,z

1)

Z

s




10

=

f全

。 。。

+

f f
+

; 。,

3

f

l 。 ,





f;
,

。。 。

二 5 (? :
, : 一
.

2)二 0

(n l o d
,

)

.

=

犷 全
( t f


。 。。

+

l 。。3

( f

l 。: ,

+


+

。。7

)

=

2 是 任意 正 整 数 因为 5 适台 , Zb 一 1 三O 再 由 (1 ) 5
,

所 以只 有
(m
1
o

,n

d s)
一 a
=

,


=
.



。: :

Zf



, 。 。。



1 。。7

f全


。8 。

)

意 到 O < 乙<


可得乙
:

3

a

三 O (m

o

=

( } f

g 。7

f

l 。。7

f

, 。,



3 。 厂 护 )


d 匀 和 O<
?

以下 将证 明
5


又由 , 得a 对 一 切 正整 数 ,:
a

=

3

.

b
2

1

< 5

,





f

, 。8 。

+

f

,

。 。。



工。 8 7



厂 ;

。8

{厂 : 用 数学 归纳 法


山:
1
,

3

” 。

;

)



,:

=

2时

,

显然 有

1


9



9

! 卜第 二 吩

j



2
2



3

=

1



6







,

因此 m
弓24 578 弓
.



+

,: 2

的最 大值 为9 8 7



+

1弓 7 9

2

f

:

一 又石 二

显 然 都 能被
i ) 假设

5

整除
s


.

例4
。 一

.

(第 2 嘶 创 M O 附 加 题 ) 一 个 9 9 0 次

{f
1)
n
?

:


’ ‘


2

.







?





“,

幂 旧 多项 式 尸 (x )
9叼
,

满 足 P (k )


=

f

k ,

k

=

9 92
.

,

5

{f

n



:



2 (, ,
, ,

?

3

,
1.



,

10 82
:

,

共 中f 为斐 波 那 契数 列
f
l g 3 。

千证 卜

:

5

!厂
,
:l 一



Z
】 ,

i 明 正
3
,

P (1 9 8 勺 =



1


刀插

事实 土
= =

f



:

2

,:

?

证明



山N

e

留t

o n



刃r g e

r o

值多 项

f







,飞 一



2

,,

?






,


P (x )
x

〔 厂

。 一

:



, ‘ 2 (, , 一 1 ) 3 一 ”

+ 十

2 (, , 2 (22
?

一 一

2)3





+


〔 f
Zn
+

。 一

2

2 (, :



1 、3

一 “







992

2) 3
2

‘ 一 ,



?

3

)
f
; =

“’ ‘

。9

2

?

(‘ ’

二2

3 2

, , 一

3 〔 (, :
一 “


,;

1)
+

(, :



2)



9

2 三 、

其中

,

」泛 f

。 。:

为数 列 f
, 二

。。 : ,

。 。3 ,

,

f
.

l 。:

:





?

3

n

(5

5) 三0
,

(扭 o d 弓 )
5

.

中对 标号为 9 9 2 的 项 的 连 续 向前 j 阶 差 分
?

因 此 对一 切 正 整 数 7 ,

}矛
z

:、



2

,:
2

3

u

.

注 意到 盯
』f
Z

厂,
』 f

+ ,







-

例3
大值

,

.

(第 2 届 I M O ) 确 定 :
,n , , :




十 7:

灼最
,

i

=
=

』厂,
i 厂


+ ,



, =

, 厂



厂,

一 工

=

f

, 一

: ,

’ ‘ ’

,

,

共中
}


为整 数
:
,

,




。2 ,


,z

任 {1


2



』 护,

,

.

1 981

(, :
2

一 拼 ,: 一 ,n
一 m


)
2

=

1

山此,
_
/


( 带 ) 式为


:


, (。

若 勃
) 任 {1
士1
.

一 1 n
,

)

=
,

1的 一 组 解
7: 2

, ,

,

2



1 981

{ 刀么 纬
, , : “,

一 ,,? ,,

厂 、‘,



胃/

万 一

一 胡

2

=

台、

99 2

)f
k
-

。。 : 一

j。

从而

儿 “ =

戏n +

。; “

士 1
n


1

口j, 2 ) l
.

,,,

.

构 造 一 个 9 9 1 次 幂 多项 式 Q
9 9 2 ( 无 1 9 8 3, 镇

,

并满 足

:



其 中等号 当 且 仅 当 m
因 此 在 (二
,



=

时 成立
?

有 Q (k )
=

=

,



) 寺 (1
Z

,

i ) !于 J

,

?2 一 ,; :

> 0

.

由于 (
= =

,, “ 一 ,。:

一 m

)

2

同理
(
)
探 一 ,刀

,

Q (x )

丫 一

992

)




。。 2 一





( 〔
m 〔
,

z:

一 zn

)



+ m
一 ,,:

)



,n Z







一 优

(祝



(, :

一 ,n

) 〕
2

“ 夕

这样
,

,

Q (x )
19 33
=
,

=

P (x )

+

如 果 (阴
(m
,

:

) 是 满 足 上 述 条件 ,

一组 解 并 且
。:

(
f
,

、 /,

,

, ) 今 (i t ) ,

那么 (
,

,z

一 ;,;
.

,

) 也 是 i行 译足

令x
f 即

=

并 利 用 Q (1 9 8 3 )
+


工。 : : ,



工。 。 3

上 述 条件 的 一 组 解

等等

山于 满 足 上 述 条

P (1 9 8 3 )
=

1

件 的解 有 限
1 解 (
?

,

因 此 进行 有 限 步 后 一 定 可 得 到

P (1 9 3 3 )

f

,

。:

3

1



,

) 1

;

反 过来 由 解 ( 1
胡)
。: 得 出(
,

,





可逐 步得
,

例5

.

(第 2 2 届 I M O 备 选 题 ) 设{ f }为 斐

.

到 满 足 上 述 条 件 的 全 部 解 (其 具 体 操 作 过 程

波 那契 效列
:
,

为 由 (m 这些 二 组解)
3 J,
,

一 :
:
:

,

,

))

.

不难 着 出

(a ) 求 出 所 有 的 实 数 对 ( :

,

b)

,

使 得对


组 成 斐 波 那 契 数 (每 胡 邻 两 个 是 一
1
,

于每 个







乙 了

。一

,

为 数 列 {f } 中 的 一 项


1

,
,

2

,

3
,

,

5
337,

,

6

,

1 3, 2 1 ,
,
.

(的

求 出所 有 的 正 实 数 对 (
:
,

, ‘,

) v


,

使

55夕 89

,

144

2 33

6 10

987

,

得 对每 个
一项


+ 衬 盆 汀 择 为 数 列 { f } 中的

1

159 7

?



,

、石

,







;
.

-




南翻冲. 冲或蜘钾户一一一一 , , 刃 j r目 设 实 数 。



f 爹价 a + 盯 那 么对 于 : 几顶


?



、 ,

是 斐 波 那契 数 列 中 的
1
,


2
,

~



乙 得 对 于 一 切 自’ 卜 使



3


,

a



b

=

f
,

。,

a 十
.

Zb

扩 厂


我 们可设
,
,





‘-

-

一一
,






,, ,





,



— 一——
、 r J a I厅

!于 才

。 =

1




, ,

=

0

.


卜2

} 1



1


:


易泪 自
.

1

2, , 、?

3 卜

a

=

Z a + 3 乙二

其币

m

f了 , 耐 麒 是 某三 个 自 然 数
?


?




。l 一





乃二

f 一


不是解

.

上而 三 式 中消 去

a

,

b 可 得厂
,

m +

了“

.

=

f厂


衬 如

=

,


取允


=
5

4
=

,

1 了 l!} 爷
+

在斐 波 那 契数 列 中

相 邻 两项 之 和 等 于 共 有厂
:



3

:


sb


紧接 的后 一 项
+



即 对 于 任 何 自然 数 k

k

3 ( 厂



。 一 :




f )


三 厂

。一 :

f

、、 ,

=

f

、 十2

.

于 是 可 能 有 以下 四 种 情 汉
浪 二
抓,

牙 沂

t

。 一


Zf

: 1
.

:

+


3
,

l

+

. 1 1/

1
‘ 、 了

, 1


占 ,



、 J

3

,

(2 )

, 切l =

; 刁

} j ! 爪 厂几

,

/



,

=

1,

但在

1:

)



,

f~

,


a
,


:

。 +

:

不是 斐波 那
.

契数 列 中 为项 综 上 所述
a 二

故 知这 对
a

b 下是 解







=

引;

,

其全 部 解 为



(3 )

.、 产 水 下 州

l ,

一 一 优 十

, 1

m + 2;
、 J 仇 I r

{
,

O

,

1,

a =


fm

m

一 2 ,

) I



1;

b

0;

b

=



:

.

(m ) 3 )
.

,

二 川 一



、 胜

刀 仔

Z、



1

(b ) 右= z ,
,

可 按 类似 (a )

的 方 法解 决

优刀 二 幼 + 1

-

I 情况 ( 1 ) 枕
=

可得
且】 }a
。 一

‘ + =

a +

zb


,


tg l 仁 tg 1 3 +
a


a r e c
r e e

1,


Za


1

3 沙= 3 ,
=

3

b

=



1

.

但 否则

+
.

3f 。

f f



+
,








f

: ,

除非

n =

3

,

1 试证
.

:

a

r e e

t 已2 tg 34 +
?

f 3







,

不 是 斐 波 到 数列 中的 项 锲
1 不是 解
.

,

+

a l e e

tg s+

a r e e




a 写

3,

b

=

式 中这 些 整 数 是 斐 波 那 契 数列 中 相 间 出 现 的
Zb

由情 况


(3 )
a

可得
n l
一 : ,

a



。 乃二 厂
,

,

a

那 些数
一 V
n 一
.

.

它们 还 满 足 递 推 式

:

v



十 1



3

:

f

。 、 l ,

解得 有
,



f

二 乙 尹 一
=

(水 》 3 )
=

飞.


在 有

优 =
a =

1时夕

a =
-

1夕 b
,

0

.

在。

2时,
.

2 用 来 确 定 录初 的 梅 森 数 的 数 列 { : 3
,

}

:

0

,

乙二 1

易证
f f
;


这些 结 果 都是 解
。 _

7,
,

47
=
a

,

220 7, 4870 8
一 盆 2
.



1

7,



,

通常定 义

特别地
fm
斑n 一 1

用 数学 归 纳 法 可 证
= 二
+ :

为a 叶
:

+


f f

:

m

+

。一

证明


:

它 也 可 以定 义为
.

、 。‘ 二

f

:

、午 ,

/f

: ‘.

沂f
:



+

一 “



厂f
一 :

3

。 十。 一 3

J仁 仔 } 是 斐 波 那 契数 列 中


=

f

。一 :


+



+

f








+


,

:

以 上两 问 题 为 最 佳 国 际 问 题 的 1 3 4


二 a

f



乙 f

+

题 和 3 招题
3


。 工
.

由情 况 ( 4 ) 得
a + a +

全体 正整 数 的 集 合 可 以 分 成 两 个 互 不
,

: : 相 交 、羌 正 整 数 子 集{ f (1 )



=

f (2 )
g

,


,

,

: f( )
,

,

f

二 ,
m 一 , 2

2 乙=




.

(二 ) 2 )
,

…}

,

{ g (1 )
g
.

,

g (z )

,



,

(, 2 )

一}

其中

解得

。 =

f~
=

+
l 一

m f
:
.

n 夕 f (1 ) < f (2 ) < … < f ( ) < …

g

(1 ) < g (2 )
) 〕十 1

< …<
( )
,了 ,

物) < …



且 g (: )
.

=

b

f

厅 : 厂 (

3 、

(, : ) 1 )

求f (2 4 0 )


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