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一元二次不等式及其解法课件


§3.2 一元二次不等式及其解法

山东沂源二中 石玉台 邮箱:shiyutai@163.com 电话:13808943184

昨天晚上请同学们做了一个手工: 昨天晚上请同学们做了一个手工:
1、拿出一张纸,在上面画出一个直角 、拿出一张纸, 坐标系,并带上相应的刻度。 坐标系,并带上相应的刻度。 2、沿x轴方向上下对折这张纸。 、 轴方向上下对折这张纸。 轴方向上下对折这张纸 3、观察:x轴上方的 值;x轴下方 、观察: 轴上方的 轴上方的y值 轴下方 的y值;它们的值有何特点? 值 它们的值有何特点?

结论: 结论:
X轴上方的 值为正值,即y>0(y>0的 轴上方的y值为正值 轴上方的 值为正值, ( 的 点位于x轴上方 ; 点位于 轴上方); 轴上方 X轴下方的 值为负值,即y<0(y<0的 轴下方的y值为负值 轴下方的 值为负值, ( 的 点位于x轴下方 。 点位于 轴下方)。 轴下方

请在刚才的坐标系中画出y 7x+6的图 请在刚才的坐标系中画出y=x2-7x+6的图 像 问题1 问题1: (1)x轴上方有无图像?若有请用红线描出。 轴上方有无图像?若有请用红线描出。 红线描出 这部分图像对应的y值如何? 这部分图像对应的y值如何? (2)x轴下方有无图像?若有请用蓝线描出。 轴下方有无图像?若有请用蓝线描出 蓝线描出。 这部分图像对应的y值如何? 这部分图像对应的y值如何? (3)红线与蓝线有无交点?若有请用绿色标出。 红线与蓝线有无交点?若有请用绿色标出。 绿色标出 (4)你能找出上述各种情况的x的取值范围吗? 你能找出上述各种情况的x的取值范围吗? 请在图中写出。 请在图中写出。

y

y=x2-7x+6

y>0, , y=0, , y<0, ,
(-∞,1) , ) (1,6) , ) (6,+∞) , ) x

y>0, 7x+6>0; y>0,即x2-7x+6>0; y<0, 7x+6<0。 y<0,即x2-7x+6<0。 问题2 问题2:你能说一说这两个不 等式有何共同特点么? 等式有何共同特点么?

上述两个不等式的共同特点: 上述两个不等式的共同特点:
含有一个未知数 一个未知数x (1)含有一个未知数x; 未知数的最高次数为 最高次数为2 (2)未知数的最高次数为2。 一般地,只含有一个未知数 一个未知数, 一般地,只含有一个未知数, 且未知数的最高次数为2的不等式, 且未知数的最高次数为2的不等式, 最高次数为 叫做一元二次不等式 一元二次不等式。 叫做一元二次不等式。

问题3 判断下列式子是不是一元二次不等式? 问题3:判断下列式子是不是一元二次不等式?
1 ≥5 (1) x + ) x
(2) )

xy + 3 ≤ 0
x + 2)( x ? 3) < 0
2

(3)( ) (4) )

x ? 3x > x( x ? 1)

一元二次不等式的一般表达式为 一元二次不等式的一般表达式为 一般表达式 ≠0), ax2+bx+c>0 (a≠0),或ax2+bx+c<0 (a≠0) 其中a 其中a,b,c均为常数。 均为常数。

问题4 问题4:一元二次不等式与一元
二次函数、 二次函数、一元二次方程之间有 何联系呢? 何联系呢?

一元二次方程的解即一元二次函 数图象与x轴交点的横坐标,也就是说 数图象与x轴交点的横坐标, 方程的解即对应函数的零点。 方程的解即对应函数的零点。

问题5 问题5:一元二次不等式如
何求解呢? 何求解呢?

y

y=x2-7x+6

y>0, , y=0, , y<0, ,
小于取中间
(-∞,1) , )

大于取两边 大于取两边
(1,6) , )

(6,+∞) , ) x

不等式x 不等式 2-7x+6 > 0的解集是 的解集是
? ? ? x | x < 1 , 或x > 6?. ? ?

或x∈(-∞,1) ∪(6,+ ∞) 你能写出不等式x 你能写出不等式 2-7x+6 < 0的解集么? 的解集么

不等式的解集即函数图象在x 不等式的解集即函数图象在 解集即函数图象在 轴上方或下方图象所对应x的 轴上方或下方图象所对应x的 范围。 范围。

问题6 问题6:y=

bx+ a>0) ax2+bx+c(a>0)与x 轴的交点情况有哪几种? 轴的交点情况有哪几种?

?>0

?=0

?<0

一元二次不等式解集表( 一元二次不等式解集表(a>0)
⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 ⊿>0
y

⊿=0
y

⊿<0
y

x1

x2

x

x1(x2)

x

x

有两个不等实 有两个相 根 等实根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 +bx+c>0(a>0) ax2+bx+c>0(a>0) x|x<x 或x>x ﹜ x|x≠x ﹜ ﹛ 1 2 ﹛ 1 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0) ﹛x|x1<x<x2﹜ 的解集 Φ

无实根

R Φ

例1. 解不等式 2x2-3x-2 > 0 . -
因为△ 解:因为△ >0, 方程 2-3x-2 =0的解是 因为 方程2x - 的解是

1 x1 = ? , x1 = 2. 2
所以,不等式的解集是 所以 不等式的解集是

1 ? ? ? x | x < ? , 或x > 2?. 2 ? ?

例2. 解不等式 -x2 +2x-3 > 0 - 解: 原不等式可化为x2 -2x+3 < 0 , + 因为⊿=- 因为⊿=-8<0, , 方程x 无实数根, 方程 2-2x+3=0无实数根, = 无实数根 的图像开口向上, 而y=x2-2x+3的图像开口向上, = 的图像开口向上 所以原不等式的解集为 Φ

一元二次不等式的解集其实 就和二次项系数、二次方程 的根以及不等号有关。

解一元二次不等式的步骤: 解一元二次不等式的步骤:
一化:化二次项前的系数为正 一化:化二次项前的系数为正(a>0). 二判:判断对应方程的根 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集 五解集:根据图象写出不等式的解集.

解下列关于x的不等式 解下列关于 的不等式
( 1) x 2 ? 7 x ≤ 1 0 3 (2) ? 2 x
2

+ x ? 5 < 0

(3) ? x 2 + 4 x ? 4 < 0 1 2 > 0 (4) x ? x + 4 2 (5 ) ? 2 x + x > 3 ( 6 )1 2 x 2 ? 3 1 x + 2 0 > 0 (7 )3 x 2 + 5 x < 0

练习:解不等式: +5) 练习:解不等式:x(3x+5)<0

零点 0, 把数轴分成三段
5 ? 3

+
5 ? 3

+ 0

解不等式( )(x+2)( )(x-3)>0 解不等式(x-1)( )( )( )

+ -
-2 1

+ - 3

的解集是( (8)不等式3x>x2的解集是( C )

(A){x| x>3} ) (C){x| 0<x<3} )

(B){x| x<0或x>3} ) 或 (D)R )
-1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6

y = ax2 + bx + c( x ∈ R) 的部分对应值如下表: (9)二次函数 的部分对应值如下表: 二次函数

x
y

-3 6

-2 0

2 则不等式 ax + bx + c > 0的解集是( B )

(A){x| x>3} ) (C){x| -2<x<3} )

(B){x| x<-2或x>3} ) 或 (D){x| -2<x<2} )

(1)x2+x+k>0恒成立,求k的取值范围. (2)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件 为 . ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立的条为 .

(3)(x-a)(x-a2)<0(0<a<1)的解集 是 .

讨论: 讨论:

2+2x+a)的值 若函数y=lg(x

域为R,求实数a的取值范围。

y Y=lgx

0

x

(4)若不等式 2+2x+a<0的解集为 )若不等式x 的解集为 空集,求实数 的取值范围 的取值范围。 空集,求实数a的取值范围。

的解集为R, (5)若不等式 2+x+a>0的解集为 , )若不等式x 的解集为 求实数a的取值范围。 求实数 的取值范围。 的取值范围

步骤: 一化、二判、三求、四画、五解集 一化、二判、三求、四画、
一元二次不等式

关键:
一元二次方程 二次函数 化归

思想:

数形结合 分类讨论

作业 :课本P80 课本P 练习2 练习2 习题3.2A组 1、2 习题3.2A组 3.2A B组 1

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