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高二数学(理)期末迎考圆锥曲线检测题


高二数学(选修 2—1)圆锥曲线
一、选择题(本题共有 10 个小题,每小题 5 分) 1. 椭圆 x2 ? my 2 ? 1 的焦点在 y 轴上, 长轴长是短轴长的两倍, 则 m 的值为 ( A. )

1 1 B. C. 2 D.4 4 2 2.动点 P 到直线 x+4=0 的距离减去它到 M(2,0)的距离之差等于 2,则点 P 的轨迹是( ) A.直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

3、椭圆 于(

x2 y 2 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 是 MF1 的中点,则 ON 等 25 9

) B. 4 C. 6 D.
3 2

A.2 4.若双曲线

5 x2 y2 x ,则双曲线焦点 F 到渐近线 ? ? 1 的渐近线 l 方程为 y ? ? 9 m 3

l 的距离为(
A.2

) B. 14 C. 5 D.2 5

5、直线 y ? x ? b 与抛物线 x2 ? 2 y 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,且 OA ? OB , 则b ? (
A. 2


B. ?2
C. 1

D. ?1

6、若直线 l 过点 (3, 0) 与双曲线 4x2 ? 9 y 2 ? 36 只有一个公共点,则这样的直线有 ( ) A.1 条 值范围是( A. (? 3, 3) )
? B. ? ? ? 3, 3 ?

B.2 条

C.3 条

D.4 条

7、若不论 k 为何值,直线 y ? k ( x ? 2) ? b 与曲线 x2 ? y 2 ? 1总有公共点,则 b 的取 C. (?2, 2) D. ? ?2, 2?

8、 已知 m,n 为两个不相等的非零实数, 则方程 mx ? y ? n ? 0 与 nx2 ? my 2 ? mn 所 表示的曲线可能是( )

1

9、设离心率为 e 的双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点为 F ,直线 l 过 a 2 b2

点 F 且斜率为 k ,则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是(
2 2 2 2 A. k ? e ? 1 B. k ? e ? 1 2 2 2 2 C. e ? k ? 1 D. e ? k ? 1



10.已知双曲线

x2 y2 x2 y2 - =1 和椭圆 + =1(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数, a2 b2 m2 b2

那么以 a、b、m 为边长的三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角或钝角三角形 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11.抛物线 x ? ay 2 (a ? 0) 的焦点坐标是 .

3 12、已知 B(-5,0),C(5,0)是△ABC 的两个顶点,且 sinB-sinC= sinA,则顶点 5 A 的轨迹方程是 .

13、 圆心在抛物线 x2 ? 2 y( x ? 0) 上, 并且与抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的方 程是_______________ 14、已知双曲线与椭圆 为________________ 15.对于曲线 C∶
x2 y2 ? =1,给出下面四个命题: 4 ? k k ?1 x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,则双曲线方程 3 49 24

①曲线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; 5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< 。 2 其中所有正确命题的序号为_______ _____。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. ?? ? ?? ? 16、 (12 分)已知向量 m1 =(0,x) , n1 =(1,1) , m 2 =(x,0) , n2 =(y2,1)

?? ?? ? ? ?? ? ?? ? (其中 x,y 是实数) ,又设向量 m = m1 + 2 n2 , n = m 2 - 2 n1 ,且 m // n ,点
P(x,y)的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=
4 2 时,求直线 l 3

2

的方程.

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点, B(0,?1) . 4 ???? ???? ? (Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)若 C 为椭圆上异于 B 一点,且 BF1 ? ?CF1 ,求 ? 的值;

17、 (12 分) 设 F1 、 F2 分别是椭圆

(Ⅲ)设 P 是该椭圆上的一个动点,求 ?PBF 1 的周长的最大值.

18. (12 分)已知点 A(2,8) ,B(x1,y1) ,C(x2,y2)在抛物线 y 2 ? 2 px 上, △ABC 的重心与此抛物线的焦点 F 重合(如图) (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点 M 的坐标; (3)求 BC 所在直线的方程.

19. (12 分)河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶 5 米时,水面宽为 8 米,一 小船宽 4 米,高 2 米,载货后船露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与 抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?

3

20.已知动圆过定点 F(0,2),且与定直线 L:y=-2 相切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦,且 AB 过 F(0,2),分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切 线,设两切线交点为 Q,证明:AQ⊥BQ.

x2 y2 21、 (14 分)已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C: 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的左顶点 a b

A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直 10 线 AS、BS 与直线 x ? 分别交于 M、N 两点。 3 (1)求椭圆方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值; (3)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆上有两点 T1,T2,使得△T1SB,△T2SB 的面 1 积都为 ,求直线 T1T2 在 y 轴上的截距。 5

4

高二数学(选修 2—1)圆锥曲线参考答案
一、选择题(本题共有 12 个小题,每小题 5 分) 1—12.ADBCA CBCDB 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
11. (

1 , 0) 4a
16

12、

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?3) 9 16

1 13、 ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? 1 2

2 2 14 x ? y ? 1

9

15.③④

三、解答题: 16、解: (I)由已知, m ? (0, x) ? ( 2 y 2 , 2), ? ( 2 y 2 , x ? 2),

n ? ( x,0) ? ( 2, 2) ? ( x ? 2, ? 2). ……………………………………4 分

? m // n, ? 2 y2 (? 2) ? ( x ? 2)( x ? 2) ? 0 …………………………………5 分

即所求曲线的方程是: x ? y 2 ? 1. ……………………………………7 分
2

2

? x2 ? y 2 ? 1, (Ⅱ)由 ? 消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0. ?2 ? y ? kx ? 1. ?

? 4k ( x1 , x 2 分别为 M,N 的横坐标).……………………9 分 1 ? 2k 2 4k 4 |? 2, 由 | MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? k 2 | 2 3 1 ? 2k

解得 x1=0, x2=

解得 : k ? ?1. ………………………………………………………………11 分

所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0.………………………………12 分 17、解: (Ⅰ)易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 ,所以 F1 ? 3, 0 , F2
???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

? ?

3, 0 ,设 P ? x, y ? ,则

?

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8? 4 4 ???? ???? ? 因为 x ?? ?2, 2? , 故当 x ? 0 , 即点 P 为椭圆短轴端点时,PF1 ? PF2 有最小值 ?2 ???? ???? ? 当 x ? ?2 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 1
3 ? x, ? y ? x 2 ? y 2 ? 3 ? x 2 ? 1 ?

?

??

?

( Ⅱ ) 设
x0 ? 3 (1 ? ? )

C ( x 0,y0 ), B(0,?1) F1 ? 3, 0
, y0 ? ? 1

?

?

由 BF1 ? ?CF1 得

? ? ?7(? ? 1 ? 0舍去)

?

?

, 又

x0 2 ? y0 2 ? 1 4

所 以 有

?2 ? 6? ? 7 ? 0

解 得

5

(Ⅲ)因为|P F1 |+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|∴ ?PBF 1 周长≤4+|BF2|+ |B F1 |≤8. 所以当 P 点位于直线 BF2 与椭圆的交点处时, ?PBF 1 周长最大,最大值为 8. 18.[解析]: (1)由点 A(2,8)在抛物线 y 2 ? 2 px 上, 有 82 ? 2 p ? 2 , 解得 p=16. 所以抛物线方程为 y 2 ? 32x ,焦点 F 的坐 标为(8,0). (2)如图,由于 F(8,0)是△ABC 的重心,M 是 BC 的中点,所以 F 是线段 AM 的 定比分点,且 AF ? 2 ,设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则
FM
2 ? 2x0 8 ? 2 y0 ? 8, ? 0 ,解得 x0 ? 11, y0 ? ?4 , 1? 2 1? 2

所以点 M 的坐标为(11,-4) . (3)由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上,所以 BC 所在 的直线不垂直于 x 轴.设 BC 所在直线的方程为: y ? 4 ? k ( x ? 11)(k ? 0).
y ? 4 ? k ( x ? 11), 消 x 得 2 由? ky ? 32y ? 32(11k ? 4) ? 0 , ?
2 ? y ? 32x

所以 y1 ? y 2 ? 32 ,由(2)的结论得 y1 ? y 2 ? ?4 ,解得 k ? ?4.
k

2

因此 BC 所在直线的方程为: 4 x ? y ? 40 ? 0.

19.[解析]:如图建立直角坐标系, 设桥拱抛物线方程为 x 2 ? ?2 py( p ? 0) ,由题意可知, B(4,-5)在抛物线上,所以 p ? 1.6 ,得 x 2 ? ?3.2 y , 当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船 5 面宽为 AA’ ,则 A( 2, y A ) ,由 2 2 ? ?3.2 y A 得 y A ? ? ,又 4 知船面露出水面上部分高为 0. 75 米, 所以 h ? y A ? 0.75=2 米 21、解:由已知得椭圆 C 的左顶点 A(-2,0),上顶点 D(0,1) ,得 a ? 2, b ? 1
x2 ? y2 ? 1 故椭圆方程: 4

(2)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且大于 0,故设直线 AS: y ? k ( x ? 2) ,得
M( 10 16 k , ) 3 3
6

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得 1 ? 4k 2 x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 2 ? y ? 1 ? ? 4

?

?

16 k 2 ? 4 2 ? 8k 2 , 得 x ? , 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 4k 2 ? 8k 2 4k 从而y1 ? , 即 S ( , ) 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 B(2,0) ,直线 BS: y ? ? ( x ? 2) 4k 1 ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) 16k 1 ? 10 1 ? , 得N ? ,? ? , MN ? ? ? 10 3 3 k 3 3 k ? ? ? x? 3 ? 设S ( x1 , y1 ), 则( ? 2)x1 ?
k ? 0,

MN ?

16k 1 16k 1 8 1 8 ? ?2 ? ? ,当且仅当k ? 时,线段MN长度最小值是 3 3k 3 3k 3 4 3

1 4 2 ?6 4? (3) k ? , 直线BS的方程为: x ? y ? 2 ? 0.S ? , ? ? BS ? 4 5 ?5 5?
1 2 椭圆上有两点使三角形面积为 ,则点 T1,T2 到 BS 的距离等于 , 5 4

设直线 T1T2: x ? y ? t ? 0,由

t?2 2

?

2 3 5 , 得t1 ? ? 或t 2 ? ? 4 2 2

? x2 2 ? ? y ?1 3 4 当 t1 ? ? , 联立? 得5 x 2 ? 12x ? 5 ? 0, 检验? ? 44 ? 0.适合 3 2 ? x? y ? 2 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 5 t1 ? ? , 联立? 4 得5 x 2 ? 20x ? 21 ? 0, 检验? ? ?20 ? 0.舍去 2 ? x? y ? 5 2 ? 3 综上所述,直线 T1T2 在 y 轴上的截距是 2

7


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