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1.1集合与函数


微积分(一)
任课教师:邵志超 信息学院.应用数学系.博学楼1306.Tel:64493879 网络联系:教务处教学辅助系统TAS. E-mail:zcshaosa@hotmail.com 教材:高等数学.同济大学.高教出版社 第六版.

参考书: 高等数学附册 学习辅导与习题选解.同济.高教. 微积分解题思路和方法.刘书田等.世界图书出版社. 高等

数学典型题精解.韩云瑞.大连理工大出版社.

总评成绩:(大概) 平时成绩10% + 期中成绩15% + 期末成绩75% 要求: 按时交作业. 不迟到、不早退、不旷课. 答疑:每周四 下午2:00—4:00. 博学楼1306室.

一、What is 微积分(高等数学)?
就是用古希腊数学家们关于线段、长方形和长方 体的已知结果(长度、面积和体积)来量度一般曲线、 曲面和曲体的长度、面积和体积。 基本idea:“弯曲”的东西在“小尺度”下是平直 的! 初等数学 —— 有限 高等数学 —— 无限 研究对象:函数(事物变化的相互关系) 研究内容:极限、微分学、积分学及其应用.

二、如何学好微积分?
1. 注意培养四种能力: 形象思维、抽象思维、逻辑思维、等价变形. 2. 做题:快速理解和掌握所学的概念.

科学学习方法的核心:思考.
3. 每天一小时复习原则. 4. 非智力因素的重要性!

第一章
1.1
一、基本概念

函数与极限

集合与函数

1.集合及集合间的关系和运算
具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 ,记作 ? . 元素 a 属于集合 M , 记作 a ? M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a ?

M ( 或 a? M ) .

例:
自然数集合 N ? ? 0,1, 2,?, n,??
? 或 ? x? N ? 整数集合 Z ? ? x x ? N p ? ? ? p ? Z , q ? N , p 与 q 互质 Q ? 有理数集 ? ? ? q ? 实数集合 R ? ? x x 为有理数或无理数 ?

M *表示 M 中排除 0 的集合 ;

M ?表示 M 中排除 0 与负数的集 合.

定义. 设有集合 A , B , 若 x ? A 必有 x ? B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,记作 A ? B .
若 例如, 且 , 则称 A 与 B 相等,记作 A ? B . ,

显然有下列关系 :

?

定义. 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A ? B ? ? x 或 且

? ?

A? B

交集 A ? B ? ? x
差集 余集 直积

B A
A\ B
A? B

A \ B ? ?x
c BA

且 x ? B?

? A \ B ( 其中B ? A )

A ? B ? ? ( x , y) x ? A , y ? B ?
为平面上的全体点集

A c BA

B

y
B A? B A

记 R ? R 特例: R2

O

x

2.区间和领域:
是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实 数叫做区间的端点.分为有限区间和无限区间两大 类。

? a, b ? R, 且a ? b.

{ x a ? x ? b}

称为开区间, 记作 (a, b)

o a x b { x a ? x ? b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b

x

{ x a ? x ? b} { x a ? x ? b}

称为半开区间, 记作 [a , b) 称为半开区间, 记作 (a , b] 有限区间

[a ,??) ? { x a ? x }

( ??, b) ? { x x ? b}
无限区间

o

a o
b

x x

区间长度的定义:

两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.

设a与?是两个实数, 且? ? 0. 数集{ x x ? a ? ? }称为点a的?邻域 ,
记为

U ? (a ) ? { x a ? ? ? x ? a ? ? }.

点a叫做这邻域的中心 , ? 叫做这邻域的半径.

?

?
x

a a?? a?? 0 点a的去心的?邻域, 记作U ? (a ).

U? (a ) ? { x 0 ? x ? a ? ? }.
0

二、映射
定义. 设X ,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则

f ,使得

有唯一确定的

与之对应,则称

f 为从 X 到Y 的映射,

记作 f : X ? Y .

X

f

Y

元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y ? f ( x).

元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 R f ? f ( X ) ?? f ( x) x ? X ? 称为 f 的值域 .

注意: 1) 映射的三要素:定义域 ,对应规则,值域. 2)元素 x 的像 y 是唯一的,但 y 的原像不一定唯一.

对映射

若 f ( X ) ? Y , 则称 f 为满射;

X
若 则称 f 为单射;

f

Y ? f (X )



X

Y

若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射.

三、函数概念
1.函数定义 D 是一个给定的数集, 定义 设x 和y 是两个变量,
如果对于每个数 x ? D , 变量 y 按照一定法则总有

确定的数值和它对应,则称 y 是 x 的函数,记作

y ? f ( x)
因变量

数集D叫做这个函数的定义域 自变量

当x0 ? D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W ? { y y ? f ( x ), x ? D} 称为函数的值域 .

函数的两要素: 定义域与对应法则.
(

x

D
对应法则f

x0 )
f ( x0 )

自变量

(

W

y

)

因变量

约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.如分母不为0,偶次根式大于等 于 0。 D : [?1,1] 例如, y ? 1 ? x 2
1 例如, y ? 1 ? x2

D : ( ?1,1)

例1 问函数 y ? 2 lg x与y ? lg x 2 是不 是相同的函数?


对于y ? 2 lg x, D : (0 , ? ?)
对于 y ? lg x 2,D : (??, 0) ? (0 , ? ?)
这 两 个 函 数 其 定 义 域同 不, 所 以 是 不同的函数。

例2 求y ? lg x ? 1 ? x 2 的定义域


?x ? 0 由 题 意? 解 得 D : (0 , 1] 2 ?1 ? x ? 0

自我练习 求下列函数的定义域 5x ? x2 1、y ? lg 4 2 ? 5x 2、y ? arcsin 3 1 答 案 1、[1 , 4] 2、[? , 1] 5

2、函数表示法
(1) 解析法(公式法) 1 2 如 s ? gt , y ? x 3 ? 1 2 (2) 图形法
如 y ? x 在x 0 y中
2

优 点 :精 确 缺点:不直观
4

表 示一 条 曲线
优点: 直观 缺点:不精确
-2 -1

3 2

1

1

2

(3) 列表法
如 对数表,三角函数表

优点:便于查找;缺点:不完整

3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
? 1 当x ? 0 ? y ? sgn x ? ? 0 当x ? 0 ? ? 1 当x ? 0 ?
1 o -1 x y

x ? sgn x ? x

(2) 取整函数 y =[x]
[x]表示不超过 x 的最大 整数
-4 -3 -2 -1

y

4 3 2 1 o

x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4

阶梯曲线

(3) 狄利克雷 ( Dirichlet ) 函数
?1 当x是有理数时 y ? D( x ) ? ? ?0 当x是无理数时
y
1

? o 无理数点 有理数点

x

(4) 取最值函数

y ? max{ f ( x ), g( x )} y ? min{ f ( x ), g( x )}

4 、分段函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的一个函数,称为分段函数.

例如,

? 2 x ? 1, f ( x) ? ? 2 ? x ? 1,
y ? x2 ? 1

x?0 x?0

y ? 2x ? 1

? 1 0? x?1 例1 设 f ( x ) ? ? , 求函数 ?? 2 1 ? x ? 2 f ( x ? 3)的 定 义 域 。
? 1 0? x?1 解: ? f ( x ) ? ? ?? 2 1 ? x ? 2
? 1 0? x?3?1 ? f ( x ? 3) ? ? ?? 2 1 ? x ? 3 ? 2
? 1 ? 3 ? x ? ?2 ?? ? ? 2 ? 2 ? x ? ?1

D f : [?3,?1]

5、反函数
的,且当 x ? D时,y ?W,则存在一个定义在

W上的函数x ? f ?1 ? y ?,称为函数 y ? f ? x ?的反

函数,也可记为 y ? f ?1 ? x ?,x ?W。
x ?1 1 如 ,y ? ,x ? 0 的 反 函 数 为 x? ,y ? 1, x y ?1
1 或写作 y? ,x ? 1. x ?1

y

反函数y ? ?( x )

Q ( b, a )

o

直接函数y ? f ( x ) P (a , b)
x

直接函数与反函数的图形关于直线 y ? x对称.

6、复合函数
设 y ? u, u ? 1 ? x 2 ,
y ? 1 ? x2

定义: 设函数 y ? f ( u)的定义域 D f , 而函数

u ? ?( x ) 的值域为 Z ? , 若 D f ? Z ? ? ? , 则称
函数 y ? f [?( x )]为 x 的复合函数.
x ?自变量,
u ? 中间变量,

y ? 因变量,

注意: 1.不是任何两个函数都可以构成复合函数;

例如 y ? arcsin u, u ? 2 ? x , 但是
2

y ? arcsin( 2 ? x 2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数复合构成.

x 例如 y ? cot ,由 2

x y ? u , u ? cot v , v ? 2 复合而成 .

复合函数有两类问题:
(1)给出一些函数,要求复合,注意定义域、值域 (2)分解复合函数,要求准确,从外到里,逐层分解

例1

(1)
由y?u

y ? ( x ? 1)
2
100 2

100

, u ? x ? 1 复合而成。
? sin 2 ( 3 x )

(2) y ? 2

由 y ? 2u , u ? ?v 2 , v ? sin w , w ? 3 x 复合而成

(3)
2

2 y ? arcsin 1 ? 4x

由 y ? u , u ? arcsin v , v ? w , w ? 1 ? 4 x 复合而成

(4)

x2 ? 1 y ? lg 2

x2 ? 1 由 y ? u , u ? lg v , v ? 复合而成 2

练习: (1) y ? 3 x ? 1 ( 3) y ? a 3 1 ? x ( 2) ( 4) y ? ln x y ? lg2 arccosx 3

(1) 由 y ? u , u ? 3 x ? 1 复合而成
( 2) 由 y ? u , u ? ln v , v ? x 复合而成

( 3) 由 y ? au , u ? 3 v , v ? 1 ? x 复合而成
(4) 由 y ? u2 , u ? lg v , v ? arccos t , t ? x 3 复合而成

三、函数的几种特性
1.函数的有界性:
若X ? D, ?M ? 0, ?x ? X , 有 f ( x ) ? M 成立,
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y M y=f(x) o -M x X o -M y M

x0
X

x

有界函数的特点:曲线y ? f ? x ?的图像落在 直线 y ? ? M之间.
函数有界也可定义为:

若X ? D, ?常数a , b, 且a ? b, ?x ? X , 有 a ? f ?x? ? b
则称函数f(x)在X 上有界.否则称无界.

特别地,a为函数的下 界, b为函数的上界.

如,函数 y ? sin x在?? ?,???上有界, sin x ? 1;

?1,e?上有界,0 ? lnx ? 1;而在区间 y ? lnx在

?0, e?上则是无界的 , 事实上? ? ? ln x ? 1,
?0, e?上只有上界 y ? ln x在区间 , 而无下界 .

其中

2.函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I ? D, 如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 ? x2时,
恒有 (1) f ( x1 ) ? f ( x2 ),

则称函数 f ( x )在区间I上是单调增加的;
y
y ? f ( x)

f ( x2 )
f ( x1 )

o

I

x

设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I ? D,

如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 ? x2时,
恒有 (2) f ( x1 ) ? f ( x2 ),
则称函数 f ( x )在区间I上是单调减少的 ;
y
y ? f ( x)

f ( x1 )
f ( x2 )

o

I

x

3.函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于?x ? D, 有
f ( ? x ) ? f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y

y ? f ( x)

f (? x )
-x o 偶函数 x

f ( x)
x

设D关于原点对称, 对于?x ? D, 有
f (? x ) ? ? f ( x )

称 f ( x )为奇函数;
y

y ? f ( x)

f ( x)
-x
f (? x )

o 奇函数

x

x

4.函数的周期性:
设 f ( x )的定义域为D. 如果 ?l ? 0, 使得对于任一 x ? D 有 ( x ? l ) ? D,且 f ( x ? l ) ? f ( x ) 恒成立,
则称 f (x) 为周期函数, l 称为f (x) 的周期. (通常说周期函数的周期是指其最小正周期).

?

3l 2

?

l 2

l 2

3l 2

例3 狄利克雷 ( Dirichlet ) 函数

?1 x ? Q 设 D( x ) ? ? ?0 x ? Q
7 求D( ? ), D(1 ? 2 ).并讨论D( D( x ))的性质. 5 7 解 D( ? ) ? 1, D(1 ? 2 ) ? 0, D( D( x )) ? 1, 5

单值函数, 有界函数, 偶函数,

周期函数(无最小正周期)
不是单调函数,
o

y 1

x

四、初等函数
1、基本初等函数(常函数)
(1).幂函数

y
1
(1,1)

y? x
y? x

y ? x?

(?是常数)

y ? x2

无 论?取 什 么 值 , 幂函数在 (0, ? ? ) 内总有定义。
1 y? x

o

1

x

(2).指数函数

y?a

x

(a ? 0, a ? 1)
D : (??, ? ?)

y?e

x

1 x y?( ) a

y ? ax

(a ? 1)
?
(0,1)

(3).对数函数

y ? log a x (a ? 0, a ? 1)

y ? ln x

y ? log a x
(1,0)

?

(a ? 1)

y ? log 1 x
a

(4).三角函数 正弦函数 y ? sin x
y ? sin x

余弦函数

y ? cos x

y ? cos x

正切函数 y ? tan x

y ? tan x

余切函数 y ? cot x

y ? cot x

(5).反三角函数

反正弦函数 y ? arcsin x

反余弦函数 y ? arccos x

反正切函数 y ? arctan x

y ? arctan x

反余切函数 y ? arccot x

y ? arccot x

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三 角函数统称为基本初等函数.

双曲函数: (自学)
y ? cosh x

记住P17双曲正弦、双 曲余弦、双曲正切的 定义及图形

1 x y? e 2

1 ?x y? e 2

y ? sinh x

2、初等函数
定义: 由常数和基本初等函数经过有限次四则 运算、 有限次的函数复合所构成并可由一个解 析式子表示的函数,称为初等函数.

y ? e ? x , y ? sin x, y ? arctanx ? 1
x 2

特别:幂指函数是初等函数,例如

x , (1 ? x ) .
x

1 x

说明:分段函数一般不是初等函数,但每个式子 均为初等函数.

小结:
主要内容: 一、集合概念 二、函数定义、函数二要素(定义域对应规则) 三、函数的几种特性: 有界、单调、奇偶、周期 四、基本初等函数、初等函数;分段函数 重点:求函数定义域,函数相等条件,复合 函数结构及特性

难点:分段函数

思考:
下列函数能否复合为函数 y ? f [ g ( x )], 若能,写出其解析式、定义域、值域.

(1)
( 2)

y ? f (u) ? u,
y ? f ( u) ? ln u,

u ? g( x ) ? x ? x 2

u ? g( x ) ? sin x ? 1

思考答案:
(1) y ? f [ g( x )] ? x ? x2

1 x ? D ? { x | 0 ? x ? 1}, f ( D ) ? [0, ] 2 ( 2) 不能. ? g( x ) ? sin x ? 1 ? 0

g( x ) 的值域与 f ( u) 的定义域之交集是空集.

作业
P21 4 (5),(8); 6; 8; 9; 13 ; 16; 18

补充知识---微积分学的创始人:

牛顿(1642 – 1727)
伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 学家和自然科学家. 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分. 1665年他提出正

流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671
年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 他 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .

莱布尼兹(1646 – 1716)
德国数学家, 哲学家. 他和牛顿同为 微积分的创始人 , 他在《学艺》杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 有的早于牛顿, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 他还设计了作乘法的计算机 , 系统地阐述二进制计

数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 .

补充题
1. 设



时 证明 为奇函数 .

其中

a, b, c 为常数, 且

) ? b f (t ) ? ct 则 x ? 1 , a f (1 , 证: 令 t ? 1 t x t

消去 f ( 1 ), 得
x

af (1 ) ? b f ( x) ? c x x

为奇函数 .

2 . 设函数 y ? f ( x) , x ? (?? , ? ?) 的图形与 x ? a ,

x ? b (a ? b)均对称, 求证 y ? f ( x) 是周期函数.
证: 由 f ( x) 的对称性知

f (a ? x) ? f (a ? x),
于是

f (b ? x) ? f (b ? x) ? f ( 2a ? x )

f ( x) ? f ?a ? ( x ? a)?

故 f ( x) 是周期函数 , 周期为


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