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2015年全国高中数学联合竞赛湖北省高二


2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准
(高二年级)
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他各题的 评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时 可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不要增加其他中 间

档次. 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.)
1.若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为

1 3



2.将 5 名大学生村官分配到某乡镇的 3 个村就职,若每个村至少 1 名,则不同的分配方 案种数为 150 . 3.若 ( x 2 ? x ? 2)3 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ? a6 x 6 , 则 a1 ? a3 ? a5 ? - 4 . 4.已知顶角为 20 ? 的等腰三角形的底边长为 a ,腰长为 b ,则

a 3 ? b3 ab2

的值为 3



5.设 an ? 2 n , bn ? 5n ? 1(n ? N*, S ? {a1 , a2 ,?, a2015 } ? {b1 , b2 ,?, ba2015 } ,则集合 S 中的元素的个数为 504 .

6 .已知点 P 在 Rt△ ABC 所在平面内, ?BAC ? 90? , ?CAP 为锐角, | AP |? 2 ,

AP ? AC ? 2 , AP ? AB ? 1 .当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan ?CAP ?

7 2



7.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面的边长为 6,侧棱长为 21 ,则该三棱锥的内切球的半 径为 1 .

2 8.函数 f ( x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2)( 1 ? x ? 1) 的值域为 [ 2 ?

2 ,8] .

9. 已知 F1 , F2 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, A, B 分别是该椭圆的左顶点和上顶点,点 4
? 11 5


P 在线段 AB 上,则 PF 1 ? PF2 的最小值为

-1-

p ? 1 p2 ?1 10.使得 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 7 2 2



二、解答题(本大题共3小题,每小题20分,共60分.)
11 . 设 平 面 点 集

A ? {( x, y ) | ( y ? x) ? ( y ?

18 ) ? 0} 25 x



B ? {( x, y) | ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1} .若 ( x, y) ? A ? B ,求 2 x ? y 的最小值.
解 作出平面点集 A 、 B 所表示的平面区域, A 图阴影部分 D . 令 z ? 2x ? y , 则 y ? 2x ?z ,?z 表示直线 y ? 2 x ? z 的纵 截距. 易知:直线 y ? 2 x ? z 经过区域 D 中的点 P 时, z ? 2 x ? y 取得最小值. ……………(5 分) O x

B 表示如

y

P

因为点 P 在圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 上,设它的坐标为 (1 ? cos ? ,1 ? sin ? ) ,结合图形可 知? ? (

?
2

,? ) .

18 18 上,所以有 (1 ? cos ? )(1 ? sin ? ) ? , 25 25 x 7 ? 0. 即 sin ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? ……………………………………… 25
又点 P 在曲线 y ? (10 分)

i s c o s? 设 sin ? ? cos ? ? t , 则n
或t ? ?

2 ? ( ?1 ) t2 ? , 代入得 (t ? 1) ? t ?

1 2

1 2

1 7 ? 0, 解得 t ? 5 25

11 1 (舍) ,即 sin ? ? cos ? ? . 5 5
2 2

………………………………………

(15 分) 结合 sin ? ? cos ? ? 1 ,并注意到 ? ? (

?
2

, ? ) ,解得 sin ? ?

所以, 点 P 的坐标为 ( , ) ,z ? 2 x ? y 的最小值为 zmin 分)

2 9 5 5

4 3 , cos ? ? ? . 5 5 2 9 ? 2 ? ? ? ?1 . ……… (20 5 5

12.设 Tn 是数列 {an } 的前 n 项之积,满足 Tn ? 1 ? an , n ? N*. (1)求数列 {an } 的通项公式;
2 (2)设 Sn ? T12 ? T2 ? ?? Tn2 ,求证: a n ?1 ?

1 1 ? S n ? a n ?1 ? . 2 3

-2-

解 (1)易知 T1 ? a1 ?

1 , Tn ? 0, an ? 1 ,且由 Tn?1 ? 1 ? an?1 , Tn ? 1 ? an ,得 2

a n ?1 ?
分) 所以

an?1 Tn?1 1 ? a n ?1 1 1 1 ,即 ,即 ? ? 1 . ……………(5 ? ? 1 ? a n ?1 1 ? a n 1 ? an?1 1 ? an Tn 1 ? an

1 1 ? ? n ?1 ? 1 ? an 1 ? a1
1 n ? . n ?1 n ?1

1 1 1? 2

? n ? 1 ? n ? 1 ,故

an ? 1 ?
分)

……………………………………… (10

(2)由(1)得 Tn ? a1 a 2 ? a n ? 一方面, S n ?

1 . n ?1

1 1 1 ? 2 ??? 2 2 3 (n ? 1) 2
1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? a n?1 ? ; …………… (15 2?3 3? 4 (n ? 1)(n ? 2) 2 n ? 2 2

?
分) 另一方面,

Sn ?

1 22 ?
1 5 7 ? 2 2 1 n? 2 3

1 4

?

1 32 ? 1 4

???

1 (n ? 1) 2 ? 1 4
1 2 n? 3


?

1 3 5 ? 2 2


?

???

1 1 3 (n ? )( n ? ) 2 2

?

2 ? 3

2 ? 3

?

2 1 n ?1 1 1 ? ? ? ? a n?1 ? . 3 n?2 n?2 3 3

所以 a n ?1 ? 分)

1 1 ? S n ? a n ?1 ? . 2 3

……………………………………… (20

-3-

13.过直线 x ? 2 y ? 13 ? 0 上一动点 A ( A 不在 y 轴上)作抛物线 y 2 ? 8x 的两条切线,

M , N 为切点,直线 AM , AN 分别与 y 轴交于点 B, C .
(1)证明直线 MN 恒过一定点; (2)证明△ ABC 的外接圆恒过一定点,并求该圆半径的最小值. 证明 (1)设 A( x0 , y0 ) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) . 抛 物 线 y 2 ? 8x 的 过 点 M ( x1 , y1 ) 的 切 线 方 程 为 AM :

yy1 ? 4( x ? x1 ) .而 AM 过 A( x0 , y0 ) ,故

y0 y1 ? 4( x0 ? x1 )



①式说明直线 y0 y ? 4( x0 ? x) 恒过点 M ( x1 , y1 ) . ………………………………………(5 分) 同理可证得直线 y0 y ? 4( x0 ? x) 恒过点 N ( x2 , y 2 ) . 故直线 y0 y ? 4( x0 ? x) 过 M , N 两点,则直线 MN 的方程为: y0 y ? 4( x0 ? x) . 又 x0 ? 2 y0 ? 13 ,代入 y0 y ? 4( x0 ? x) 中,得 y0 ( y ? 8) ? 4( x ? 13) . 所以直线 MN 恒过定点 (13,8) . 分) (2)直线 AM : yy1 ? 4( x ? x1 ) 与 y 轴交于 B(0, ……………………………………… (10

4 x1 ). y1

抛 物 线 y 2 ? 8x 的 焦 点 为 F (2,0) , 则 k BF

4 x1 ?0 y1 2x 4 ,则 ? ? ? 1 , 又 k BA ? y1 0?2 y1

k BA ? k BF ? ?

8x1 ? ?1 ,所以 BF ? BA . y12

同理可证 CF ? CA .所以 A, B, C , F 四点共圆,且 AF 为直径. 因此,△ ABC 的外接圆恒过定点 F (2,0) . 分) 在 AF 和 直 线 x ? 2 y ? 13 ? 0 垂 直 时 , 圆 的 直 径 AF 最 小 . 此 时 , 直 线 AF : ………………………………………(15

y ? 0 ? ?2( x ? 2) , 与 x ? 2 y ? 13 ? 0 联立,求得 A(?1,6) ,则 | AF |? 3 5 .
-4-

所以, △ ABC 的外接圆的半径的最小值为 分)

3 5 . …………………………………… (20 2

-5-


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