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2.2.3 双曲线的简单几何性质--直线与双曲线的位置关系


复习:

椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组

相切

相交

(2)消去一个未知数 (3)

?<0

?=0

?>0

初步感知

直线与双曲线位置关系:
Y

O

X

分类: 相离;相切;相交。

图象法:

根据交点个数判定
Y

相交:两个交点 相切:一个交点
X

O

相离:0个交点 相交:一个交点
Y

O

X

代数法:

判断直线与双曲线位置关系的操作流程图

把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐近线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

代数法:

判断直线与双曲线位置关系的具体步骤

?y = kx + m ? 2 消去y,得 :(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 ? x y2 ? 2 - 2 =1 ?a b

1.二次项系数为0时,L与双曲线的渐近线平行 或重合。 重合:无交点;平行:有一个交点。 2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交(两个交点) 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离

典型例题:

①相交两点:

特别注意: 同侧: x1 ? x2>0

△>0

一点: 直线与渐近线平行 ②相切一点: ③相 离: △=0 △<0

一解不一定相切,相交不一 异侧: x1 ? x2 <0 定两解,两解不一定同支

典型例题:

?1- k ? x
2

2

+ 2kx - 5 = 0

例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k< ? 5或k> 5 ;
2

(2)有两个公共点; (2) ? 5 <k< 5 ; 且k ? ?1
2 2

2

(3)只有一个公共点; (3)k=±1,或k= ± 5 ;
2

(4)交于异支两点; (4)-1<k<1 ;

5 (5)与左支交于两点. ? k ? ?1 2

练习:
1.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是? _________ ??, 0? ?1, ? ??

练习:
x2 y2 ? ?1 交于两点的直线斜率的 2.过原点与双曲线 ? 4 3 ?3 ? 3 ? ?
取值范围是 ? ? , ? ?? ? ? ? ??, ? ? ? 2 2 ? ? ? ?

典型例题:

倾斜角为30°的直线,交双曲线于A、B两点, y 求|AB|.
16 3 | A B |= 5

x y 例2 过双曲线 ? ? 1的右焦点作 3 6

2

2

F1
A

o

B F2

x

典型例题: 例3.以P(1,8)为中点作双曲线为y2-4x2=4的 一条弦AB,求直线AB的方程。 解法一: (1) 当过P点的直线AB和x轴垂直时,直线 被双曲线截得的弦的中点不是P点。 (2) 当过P点的直线AB和x轴不垂直时,设 其斜率为k。则直线AB的方程为y-8=k(x-1)
? ? y - 8 = k ? x -1? 由? 2 ,得 2 ? ? y - 4x = 4

?k

2

- 4 ? x + 2k ? k - 8 ? x + ? 8 - k ? - 4 = 0
2 2

典型例题:

?k

2

- 4 ? x + 2k ? k - 8 ? x + ?8 - k ? - 4 = 0
2 2

?1?

设A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则x1, x2是方程?1?的两个不等实根.
2 ?>0 ∴ Δ = 4k ? 8- k ? -4 ? k2 -4 ? ? 8k -4 ? ? ? ? 2 2

? 2?

弦AB的中点是P ?1,8? ,
k ?8- k ? ∵中点坐标公式与韦达定理, 得 - 2 =1 k -4 1 由? 2 ? ? 3 ? 得k = 2 1 ? 直线AB的方程为y-8 = ? x ? 1? 2
即直线AB的方程为x-2y+15 = 0

?3?

典型例题:
解法二:设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则
2 2 ? y ? 4 x ? 1 1 ?4 , ? 2 2 ? ?y2 ? 4 x2 ? 4 ?? y1 ? y1 ?? y1 ? y1 ? ? 4 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ,

?16 ? y1 ? y1 ? ? 8 ? x1 ? x2 ? , y1 ? y1 1 ? 直线AB的斜率为 ? , x1 ? x2 2 1 ? 直线AB的方程为y-8 = ? x ? 1? 2 即直线AB的方程为x-2y+15 = 0

弦AB的中点是P ?1,8? , ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 16.

典型例题:

例4 设两动点A、B分别在双曲线

x 2 - y = 1的两条渐近线上滑动,且 4 |AB|=2,求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
A M
设A ? 2 y1 , y1 ? , B ? ?2 y2 , y2 ? , 则由 AB ? 2得

2

? 2 y1 ? 2 y2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 2
2

o
B

x

x 2 + 4y = 1 4

2

典型例题:
证明: (1)若L有斜率,设L的方程为:y=kx+b
? y=kx+b ? 2 2 2 2 2 ? (5k ? 3)x ? 10bkx ? 5b ? 15 ? 0 ?y x ? ?1 ? 5 ? 3
2

10kb L与C相交于A, B两点,? 5k ? 3 ? 0,? x A ? x B ? 3 ? 5k 2 ? y=kx+b ? 2 2 2 2 2 ? (5k ? 3)x ? 10bkx ? 5b ?0 ?y x ?0 ? ? 5 ? 3
2

10kb L与渐近线相交于C, D两点,? 5k ? 3 ? 0,? xC ? x D ? 3 ? 5k 2

可见AB,CD的中点横坐标都相同,从而中点重合.
(2)若直线L的斜率不存在,由对称性知结论亦成立.

练习题:

练习题 : 已知双曲线C : 2x - y = 2与点P ?1,2 ? .
2 2

?1? 求过点P ?1,2 ?的直线l的斜率k的取值范围,
使l与C有一个交点?两个交点?没有交点?

? 2 ? 是否存在过P的弦AB, 使AB的中点为P? ?3 ? 若Q ?1,1? , 试判断以点Q为中点的弦是否存在?
3 ?1? k ? ? 2或k ? ; 2 ? 2 ? 存在直线y=x+1;

? 3? 不存在.

典型例题:
x2 y2 例6 双曲线C : 2 - 2 =1? a > 0, b > 0 ? 的离心率为2, a b 2 2 2 2 4 且 OA + OB = OA ? OB , 其中A ? 0,-b ? ,B ? a,0 ? . 3 ?1? 求双曲线C的方程.

? 2 ? 若双曲线存在关于直线l : y = kx + 4的对称点, 求
实数k的取值范围.

y ?1? 双曲线C的方程为x ? ? 1 3
2

2

典型例题:

? 2? 解:当k ? 0时, 显然不成立.
当k ? 0时, 设双曲线上关于直线l:y=kx+4对称的两点为P,Q. 由l ? PQ,可设直线AB的方程为 1 y=- x ? b 2 k 1 y 将y=- x ? b代入x 2 ? ? 1中, 得 k 3 2 2 2 2 3 k ? 1 x ? 2 kbx ? b ? 3 k ? ? ? ? ?0
2 2 ? ? 0, ??= ? 2kb ? ? 4 ? 3k 2 ? 1? ? ? b ? 3 k ? ? ? ? 2

显然3k 2 ?1 ? 0,

即k 2b2 ? 3k 2 ? 1 ? 0



典型例题:
又由根与系数的关系,得PQ的中点 M ? x0 , y0 ?的坐标为 ?kb ? x ? 0 ? ? 3k 2 ? 1 ? 2 3 k b ?y ? 0 ? 3k 2 ? 1 ?

3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? ? 0或 ? ?1 2 2 k k 3 1 即k ? 或 k ? , 且k ? 0. 3 2 ? ?
3 ? k的取值范围是 ? ? 3 , ?? ? ? ? ? ? 3? ? 1 ? ? 1? ? , 0 ? ? 0, ? . ? ? ??, ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2?

M ? x0 , y0 ? 在直线l上
3k 2b ?kb 2 2 ? ? 4, 即 k b ? 3 k ?1② 2 2 3k ? 1 3k ? 1

把 ? 2? 代入 ?1? 得k 2b2 ? k 2b ? 0

解得b ? 0或b ? ?1

练习题: 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点. 是否存在这样的实数a,使A、B关于y=2x对称?

若存在,求a;若不存在,说明理由.

典型例题:

例7、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相 交,交点为A、B,当a为何值时,以AB为 直径的圆经过坐标原点。
解:将y=ax+1代入3x2-y2=1

得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根,必须△>0,

? a ? (? 6, 6),
又设方程的两根为x1,x2,A(x1,y1),B(x2,y2),

2a ?2 ? x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 2 2 3?a 3?a

∵原点O(0,0)在以AB为直径的圆上,

解:将y=ax+1代入3x2-y2=1 得(3-a2)x2-2ax-2=0, 它有两个实根,必须△>0,

? a ? (? 6, 6),

又设方程的两根为x1,x2,A(x1,y1),B(x2,y2),

2a ?2 ? x1 ? x2 ? , x1x2 ? 2 3?a 3 ? a2

∵原点O(0,0)在以AB为直径的圆上, ∴OA⊥OB,即x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, ∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,

?2 2a ? (a +1) +a +1=0 2 2 3?a 3?a
2

解得a=±1.

典型例题:
2 y 例8 : 已知双曲线方程 : x 2 =1. 2 ?1? 过点A ? 0,1? 作直线l交双曲线于P1,P2两点,

1 若线段P1P2的中点在直线x = 上, 求直线l斜率k的取值范围, 2 ? 2? 过点B ? 0,b ? 作斜率为k ? k ≠ 0 ? 直线, 交双曲线于Q1,Q2两点, 1 若线段Q1Q2的中点在直线x = 上, 求b的取值范围. 2

典型例题:

解:设直线l的方程为y=kx+1? k ? 0?
?y=kx+1 ? 2 2 2 由? 2 y , 得 ? 2 ? k ? x ? 2kx ? 3 ? 0. ?1 ?x ? ? 22 ? ?2 ? k ? 0 ?? . 2 2 ? ?? ? 4k ? 12 ? 2 ? k ? ? 0

解得- 3<k< 3, k ? ? 2 1 P1P2的中点在直线x= 上. 2 1 ?k 1 ? ? x1 ? x2 ? = 2 ? . 2 k ?2 2
? k ? ?1 ? 3.

典型例题:

? 2? 解:设直线Q1Q2的方程为y=k ? x-1? ? b, 直线Q1Q2与双曲线
?1 ? 交于Q1 ? x1 , y1 ? ,Q2 ? x2 , y2 ? , Q1Q2的中点M ? , y0 ? . 2 ? ? 2 ? 2 y1 =1 ?1? ? x1 2 ?1? ? ? 2 ? , 并把 ? 3?? 4 ?? 5 ? 代入, 得 ?
? 2? ? 3? ? 4? ? 5?
1 1 ? k ? ? ?k ? 2b ? ? 0 2

? 2 y 22 ? x 2 - 2 =1 ? ? 则 ? x1 + x 2 =1 ? ? y1 + y 2 = -k +2b ? y1 - y 2 =k ? ? x1 - x 2 ? ?

即k 2 ? 2bk ? 2 ? 0 因关于k的方程应有两个解,故
?= ? 2b ? ? 8 ? 0
2

?b ? ? 2或b ? 2

典型例题:

例9 过双曲线

的右焦点F作倾斜角为60°的直线l,若直线l与双 曲线右支有且只有一个交点,求双曲线离心率的 取值范围. y
? x2 y2 ? 2 - 2 =1 由?a b ,得 ?y = 3 ? x - c ? ?

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 2 a b

l
o
F x

2 2 2 2 2 2 2 b 3a x + 6a cx 3c + b a ? ? ? ? =0

e∈[2,+∞)

练习:
直线m : y = kx +1和双曲线x 2 - y 2 =1的左支交于A,B 两点, 直线l过点P ? -2,0 ? 和线段AB的中点.

?1? 求k的取值范围. ? 2? 是否存在k值, 使l在y轴上的截距为1?若存在, 求出k的值;
若不存在, 说明理由.

?1?1 ? k ? 2; ? 2 ? k不存在.

典型例题:

x2 y 2 ? ? 1 上的一点P与左、右 例9、由双曲线 9 4 两焦点 F1、F2构成 ?PF1 F2,求 ?PF1 F2的内切圆与
边 F1 F2 的切点坐标。
说明:双曲线上一点P与双曲线的两个焦点 F1、F2 构成 的三角形称之为焦点三角形,其中 | PF1 | 、 | PF2 和 | | F1F2 | 为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题,要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。

练习:

x 2 ? y ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 练习、设双曲线C:2 a 相交于两个不同的点A、B。
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围。 5 (2)设直线l与y轴的交点为P,且PA ? PB, 求a的值。 12

2

? 6 ? , 2 ∪ ?1? e∈? ? ? 2 ? ? ? 17 ? 2? a = 13

?

2,+∞

?

小结:
1 .直线与双曲线位置的判定方法有几何法和代数法;
2. 中点弦问题可通过设出直线与双曲线的交点坐标,

利用点在曲线上代点作差后结合韦达定理整体运算,
使问题获解,但须注意检验直线与双曲线是否相交。

3.涉及双曲线的参数范围问题,求解的办法是利用问
题的存在性,如直线与双曲线相交时;或是运用判别

式大于零列不等式求解。

作业:
1.直线l : y = kx +1与双曲线C : 2x 2 - y 2 =1右支交于不同的两点A,B

?1? 求实数k的取值范围; ? 2? 是否存在实数k, 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右
焦点F?若存在, 求出k的值; 若不存在, 说明理由. 2.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线经过坐标原点且互相垂直, 又知C的一个焦点与点A 1, 2 -1 关于直线y = x -1对称.

?

?

?1? 求双曲线C的方程.
?2 ? 2 是否存在直线 y = kx + b 与双曲线 C 交于 P,Q 两点 , 使 PQ 恰被点 ? ? ? ,1? 平分? ?3 ? ? 3 ? 设直线y = mx +1与双曲线C的右支交于B,C两点, 另一直线l经过M ?-2,0 ? 及CB的中点, 求直线l在y轴上的截距t的取值范围.

作业:
2 y 3.(课本B组题4)给定双曲线x 2 = 1,过点P(1,1) 2 能否作直线L使L与所给双曲线交于两点A,B,且P是线 段AB的中点?说明理由.

y1 - y 2 ∴ = 2,即k = 2 x1 - x 2

∴ L方程为 : y - 1 = 2(x - 1)

2 ì ? y 2 ? =1 ?x 2 揶 2x - 4x + 3 = 0 í 2 ? ? ? ? ? y - 1 = 2(x - 1)

△< 0

方程组无解,故满足条件的L不存在。


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