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高中数学奥林匹克基础教程1.21


高中数学奥林匹克基础教程
江苏沛县 教
第一讲 第三讲 第五讲 第七讲

孙统权 划
组 合 极端原理 图 论 轨 迹

学 计

赛题选例 组合几何 抽屉原理 数 论

第二讲 第四讲 第六讲 第八讲




/>2007 年 7 月 15 日至 24 日,江苏省高中数学奥林匹克夏令营在靖 江举办,由省数学学会组织专家学者亲自授课。编者作为夏令营中的 受训教练,亲身体会到与会专家博大精深的知识厚度和深入浅出的教 学风格,并做了课堂笔记,对相关教学资料进行了整理。夏令营结束 后,从自身实践出发,编成本教程。 教程共 8 讲,每讲 4 学时,共 32 学时。指导思想为“领略奥赛风 采,拓展数学视野,训练数学思维,启迪数学方法” ,内容选取原则为 “参照竞赛数学知识体系,根据学生接受能力,与当前中学数学教学 内容协调互补” 。 对本教程建议采用“探索-讨论-启发-再探索-直至完成”的教学模 式,使学生思维密度大,所受局限少,能充分的体会数学智慧和创造 的乐趣,较直接的感受竞赛数学。在各知识点章节讲授时,宜通过具 体解题展示数学体系,淡化数学术语而突出数学思想,选择、补充题 目时注意结合实际情况,减少复杂度,使学生负担轻,进步感强,在 领略数学美的同时达到训练目的。 本教程参考了 2007 年省夏令营专家的授课内容,使用了部分原 题。同时,参考了华师大版《数学奥林匹克小丛书》 ,安徽少儿版《初 中应用数学知识竞赛辅导训练》和其他若干书籍。在此予以感谢,并 在补注中注明各题的直接来源。 本教程可以作为高中奥林匹克训练的起始教材,或供学生选修的 一个模块。将它整理出来,意在抛砖引玉,为我们江苏乃至全国的数 学奥林匹克的发展作一点贡献。 虽力求严谨, 由于个人能力经验所限, 其中错误和不完善之处仍在所不少,恳请广大专家、教练、数学奥林 匹克爱好者不吝指教。 本版版本号 1.2。编者电子信箱:suntrain@yeah.net。

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第一讲
一、课堂讨论:

赛题选例

1 证明: 任何四面体上都存在一个顶点, 可以用由它发出的三条棱组成三角形。 2 用不在形内相交的对角线将正奇数边形划分为一系列三角形。证明:其中有 且只有一个锐角三角形。 3 证明:可以找到 4 个绝对值大于 10000 的整数 a,b,c,d,使 1 1 1 1 1 。 ? ? ? ? a b c d abcd 4 能否用两个边长小于 1 的正三角形盖住一个边长等于 1 的正三角形? 5 能否用两个半径小于 1 的圆盖住一个半径等于 1 的圆? 6 a>0,为了能盖住一个边长为 4a 的正方形,最多需要几个半径为 3a 的圆? 7 数学老师让课代表走出教室,接着让学生随意在黑板上写上十几个数字,然 后老师擦去一个数字,让课代表进来。结果发现课代表居然能准确地猜出被 擦去的数字,且屡试不爽。请问这里面可能有什么秘诀? 二、课后思考: 1 对于整数 n>3,我们用 n?表示所有小于 n 的素数的乘积。解方程:n?=2n+16 2 在黑板上写有 100 个分数,它们的分子刚好为整数 1-100 各出现一次,分母 也是这样。这 100 个分数之和可化为分母为 2 的最简分数。求证:可以交换 某两个分数的分子,使这 100 个分数之和可化为分母为奇数的最简分数。 3 10 个人聚会,每个人在其余与会者中都至少有 5 个熟人。证明:可以从他们 中叫出 4 个人围成一圈,使每两个邻座都是熟人。 4 平面上有 25 个给定点,其中任何 3 点中都有两个点的距离不大于 1。证明: 可以用 1 个单位圆至少盖住其中 13 个点。 5 在凸 20 边形的每个定点上都写有两个不同的数。证明:可以从每个顶点上划 去一个数,使得任意两个相邻顶点上剩下的数都互不相同。 6 将边长为 n 的正三角形的每边 n 等分, 过每个分点 分别作另两边的平行线。得到若干个单位正三角 形。 设 f(n)是从最上面的单位正三角形到最下面一 行中间的单位正三角形的通路的数目,求 f(2005) 的值。 (05 年加拿大奥林匹克) (通路是指可以从一个单位正三角形走向另一个 与其有公共边, 且与其在同一行或在其所在行的下 一行。同时,每个单位正三角形不能经过 2 次或 2 次以上。如图是 n=5 的一条通路的例子。 )

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第二讲
一、 上一讲思考题讨论





二、 组合问题讨论: ● 在数学竞赛中,组合题泛指非常规数学问题。这类题目往往只是涉及常识性 知识,然而相当灵活。 1 已知平面上 10 个圆,任意两个都相交。是否存在直线 l,与每个圆都有公共 点?证明你的结论。 2 在一张矩形纸上画有一个圆。米老鼠在其中选了一个点,让唐老鸭猜。唐老 鸭在纸上每指出一个点,米老鼠就告诉他是否猜中,如果没有,就告诉他离 被猜点有多大距离。唐老鸭带着刻度尺和圆规。问:他至少要猜几次,才能 一定猜出米老鼠所选的点?怎样猜? 3 教室里有 n 排椅子,每排 n 张,每张椅子上坐一个学生。现在有求按以下规 则调换座位:(1)每个学生必须换到新的座位上;(2)每个学生只能换到相邻 (前、后、左、右)的座位上(允许两个学生互换座位) 。 证明:n 为偶数时,可以完成座位调换,但 n 为奇数时不可以。 (06 年海湾) 4 8 个人围着桌子坐成一圈,有多少种握手方法,使得 4 对握手的人胳膊不交 叉?(据 01 年英国试题简化) 5 现有长为 150cm 的铁丝, 要截成 n(n>2)小段, 每段的长为不小于 1cm 的整数, 如果其中任意 3 小段都不能拼成三角形,试求 n 的最大值。 (02 年江苏初中) 三、课后思考: 1 在正 n 边形的每个定点上各停有一只喜鹊。偶受惊吓,众喜鹊都飞去。一段 时间后,它们又都飞回这些顶点上,仍是每个顶点上一只,但未必都回到原 来的顶点。求所有的正整数 n,使得一定存在 3 只喜鹊,以它们前后所在的 顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形,或同为直角三角形,或同为钝角 三角形。 (01 年中国) 2 T 称为淘气子集:若对于任意的 u、v∈T(u,v 不必不同),u+v ? T。求证: {1,2,3,?,2006}的任意一个淘气子集至少有 1003 个元素。 (06 年越南) 3 高一(1)班语文、数学、英语三门课测试,成绩优秀的分别有 15、12、9 名,并且这三门课中,至少有一门课优秀的共有 22 名。那么,三门课全是优 秀的最多有多少名?最少有多少名?(00 年江苏初中) 4 把 7 个两两不同的球分给两个人,使每人至少分得两个球,则不同的分法共 有多少种?(01 年五羊杯初中) 5 N 为自然数,且 N ?

?

3? 2

?

6

? N ? 1 ,那么 N 的值是多少?(02 年希望杯初

中) 6 13 名小运动员,他们着装的运动服号码分别是 1-13 号。问:这 13 名运动员 能否站成一个圆圈,使得任意相邻的两名运动员号码数之差的绝对值都不小 于 3 且不大于 5?如果能,试举一例。如果不能,请说明理由。 (03 年北京初 中)

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第三讲
一、上一讲思考题讨论 二、组合几何问题讨论:

组合几何

● 凸多边形:如果多边形位于它任何一条边所在直线的同侧,则称其为 凸多边形。 ● 凸包:给定平面上若干个点,用一根松紧性很强的线圈住它们,当线 绷紧时,所形成的凸多边形就可以视作这些点的凸包。 1 给定平面上 n 个点,无三点共线。证明:在这 n 个点中可以挑出三个点,使 ? 得从其中一个点引出的到其他两个点的射线之间的夹角不超过 。 n 2 平面上给出 22 个点,其中无三点共线。证明:可以将这些点配成 11 对,使 每对点连成的线段之间至少有五个交点。 3 证明:存在一个三角形,可以被分割成 1989 个全等的三角形。 (提示:题目 中,若将 1989 改成 13,原理相同。 )
a, b, c ? R , 4 已知格点图形面积 S格 =aN 边 ? bN内 +c , 试确定 a,b,c 的值并通过多

种格点图形验证之。 三、课后思考: 1 平面上给出 2n+3 个点,其中任意三点不共线,任意四点不共圆。证明:从这 些点中能够选取三个点,使得剩余的点中有 n 个位于过这三点的圆的内部, 而另 n 个点位于这个圆的外部。 2 在平面上给出有限个点,证明:在它们之中可以选出这样的点,使得与它最 近的已知点: (1)不超过 6 个; (2)不超过 3 个。 3 证明:任意三角形可以(用直线)分解成三部分,使得由它们能拼成一个长 方形。 4 平面上任给 n 个不同的点(n≧2),确定并证明:以这些点为端点的线段,至 少有多少个不同的中点。 5 证明:整点三角形不能是正三角形。

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第四讲
一、上一讲思考题讨论 二、极端原理问题讨论:

极端原理

1 平面上有 n 个点,任意三个点构成面积不超过 1 的三角形。证明:存在面积 不超过 4 的三角形覆盖这 n 个点。 2 平面上有 n 个点不共线。证明:存在三个点 A、B、C 使得其余 n-3 个点都在 △ABC 外面(至少有 5 种方法) 。 3 有 n(n≧3)个排球队参加单循环赛(排球赛的每场都要分出胜负) ,比赛结束 后,发现没有一个队全胜。求证:必存在三个队 A,B,C,使 A 胜 B,B 胜 C,C 又胜 A。 4 平面上有 n 个红点与 n 个蓝点,任意三点都不共线。求证:可以用 n 条线段 连接这 2n 个点, 每条线段连接一个红点和一个蓝点, 且这 n 条线段没有公共 点。 三、课后思考: 1 在边长为一的正方形四边上各任取一点,连成一个四边形。证明:这一四边 形必有一边长度不小于
2 。 2

2 证明: 在任意的凸五边形中能找到三条对角线, 用他们可以构成一个三角形。 3 平面上一个有限点集,其中任何三点都是直角三角形的顶点。试确定这个点 集最多可包含多少个点。 4 平面上 100 个点, 任意两点之间的距离≦1, 任意三点为一个钝角三角形的顶 点。证明:可作一个直径为 1 的圆,盖住这 100 个已知点。 5 在某个星系的每一个星球上,都有一位天文学家在观测最近的星球。若每两 个星球间的距离都不相等,证明:当星球的个数为奇数时,一定有一个星球 没有被观测。

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第五讲

抽屉原理

一、抽屉原理基本题讨论: 1 在边长为 1 的正三角形中,任意放置 5 个点,则必有两点之间的距离不超过 0.5。 2 在 3 行 9 列共 27 个小方格一一涂上红色或蓝色。 证明无论如何涂法, 其中至 少有两列涂色方法相同。 二、上一讲思考题讨论 三、抽屉原理问题讨论: 1 在坐标平面上,任取 5 个格点,其中一定存在两个格点,它们的中点仍是格 点。 2 有 99 个人参加了一次聚会,聚会正式开始前他们之间相互握手问候。统计 发现他们每个人都恰好和 66 个人握过手。证明:可能出现这种情况,在任 何四人中都一定存在两个人没有握过手。 3 有 6 个点,任意 3 点不共线,证明:若将其中任意两点间的连线染成红色或 蓝色之一,则必存在一个三边颜色相同的三角形。 4 在边长为 1 的正方形内部, 放置若干个圆, 这些圆的周长之和等于 10。 证明: 可作一条直线,至少和其中四个圆有交点。 5 在边长为 1 的正方形内部有一条长度为 1000 的不自身相交的折线。证明: 存在一条直线, 它垂直于正方形的某一条边, 并且与折线至少有 500 个交点。 四、课后思考: 1 如图, 编号为 1 到 8 的两组滚珠均匀放在内外两个圆环上, 开始时每两个相对滚珠号码均不相同。证明:当两个圆环 按照相反方向转动时,必有一时刻,内外两环中至少有两 对同号码滚珠相对。 2 作一个圆的任意 2003 条直径, 在它们和圆的 4006 个交点 上任意填写不大于 1001 的正整数 (可以重复填写) 。 证明: 一定可以找到两条直径,它们两端的两个数字的和相等。 3 把 1 到 10 的自然数摆成一个圆周。证明:一定存在三个相邻的数,它们的和 数不小于 18。 4 把 1 到 10 的自然数摆成一个圆周。证明:一定存在三个相邻的数,它们的和 数不小于 17。 5 在 3×4 的矩形内任取六个点。证明:必有两个点之间的距离不超过 5 。
1 6 在边长为 1 的正方形内任取 51 个点。 证明: 它们中有三个点能被半径为 的 7 圆覆盖。

7 将 66 个直径为 2 的圆任意放入一个边长为 10 的正方形内。证明:必有两 个圆有公共点。
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第六讲
一、上一讲思考题讨论 二、图论问题讨论:





1 [七桥问题]欧洲的哥尼斯堡,景致迷人,碧波 荡漾的普莱格尔河横穿其境。河中有两个岛 A 与 D, 河上有七座桥连接这两个岛及河的两岸 B、 C。问:一个旅游者能否通过每座桥一次且仅一 次? 2 九名数学家在一次国际数学会议上相遇,发现 他们之中的任意三个人中,至少有两个人可以 用同一种语言对话。如果每个数学家至多可说三种语言,证明至少有三名数 学可以用同一种语言对话。 (78 年美国) 3 在 n(n>2)个人中,至少有两个人,他们的朋友数目一样多。 4 在一次国际数学家大会上,7 位来自不同国家的数学家会话能力如下:A)英 语;B)英语和汉语;C)英语、意大利语和西班牙语;D)汉语和日语;E)德语 和意大利语;F)法语、日语和西班牙语;G)法语和德语。问:怎样安排这 7 名数学家围着一个圆桌坐下,使得每个人都能和他身边的两个人交谈? 5 7 个人参加一次会议,在会议期间,每天都要在一张圆桌上共进晚餐。如果 要求每次晚餐就坐时,每个人相邻就坐者都不相同。问:这样的晚餐最多能 进行多少次?画出各次的座位布置图。 6 证明:在任何六个人中,总可以找到三个相互认识或相互不认识的人。 7 大厅里会聚了 100 个客人,他们中每人至少认识 67 人,证明:在这些客人中 一定可以找到 4 人,他们之中任何两人都彼此相识。 (66 年波兰) 三、课后思考: 1 某大型聚会有 605 个人参加。已知他们每个人都至少和其中的另一个人握过 手。证明:必有一个人至少和其中的两个人握过手。 2 有 n(n>3)个人,他们之间有些人互相认识,有些人互相不认识,而且至少有 一个人没有与其他人都认识。问:与其他人都认识的人数的最大值是多少? (美国) 3 有 n 个药箱, 每两个药箱里有一种相同的药, 每种药恰好在两个药箱里出现, 问:有多少种药? 4 空间中六个点两两连线,用红、蓝两种颜色对这些边染色。证明恒存在两个 同色三角形。 5 甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球,每两个人都要赛一场。结果甲胜了丁, 且甲、乙、丙三人胜的场数相同。问:乙胜几场? 6 N 名棋手进行比赛,每一个人与若干人进行了比赛,假定比赛中没有平局。 如果没有 v1 胜 v2,v2 胜 v3,?,vk 胜 v1 这样的情形出现,证明必有一个人在 所有的比赛中全胜,也必有一个人在所有的比赛中全负。
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第七讲



论(含轨迹预习作业)

一、上一讲思考题讨论 二、数论问题讨论: 1 (03 希望杯全国)对任意三个整数,则 A .它们的和是偶数的可能性小 B .它们的和是奇数的可能性小 C .其中必有两个数的和是奇数 D .其中必有两个数的和是偶数 2 下列各组数中,不是方程 85x-324y=101 的解的一组数是 A . x=329,y=86 B . x=653,y=171 C . x=1301,y=341 D .x=978,y=256 3 (01 希望杯全国) 已知两个不同的质数 p、 q 满足下列关系: p2-2001p+m=0, q2-2001q+m=0,m 是适当的整数,那么 p2+q2 = A . 4 004 006 B . 3 996 005 C . 3 996 003 D . 4 004 004 4 若 1 059,1 417 和 2 312 分别被自然数 x 除时,所得的余数都是正整数 y,则 x -y 等于 A .15 B.1 C . 164 D . 179 5 (02 重庆) 设[x]表示不超过 x 的最大整数, 若[x]=5, [y]=-3, [z]=-2, 则[x-y+z] 可以取值的个数是: A .1 个 B .2 个 C .3 个 D .4 个 6 ( 00 五 羊 杯 ) 设 [x] 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 如 [3.15]=3 , [3]=3 , 则
[ 3 1? 2? 3 ]? 3 [ 2 ? 3 ? 4? ] 3[ ? 3 4 ? 5 … ? ] ?3 [ 2 0 0 ?0 2 0? 0 1 等于 2002 ]

A.2 000 000 B.2 001 000 C.2 002 000 D.2 003 001 7 (00 五羊杯)今有正整数带余除式 A÷B=C?8,如果 A+B+C=2 178,那么 A 为 A.2 000 B.2 001 C.2 071 D.2 100 8 (00 五羊杯)设正整数 x>y,x+y=667,x、y 的最小公倍数为 P,最大公约 数为 Q,且 P=120Q,则 x-y 的最大值为 。 9 ( 03 四川)对于一切大于 2 的正整数 n ,数 n5-5n3+4n 的最大公约数 是 。 10 (02 五羊杯)自然数 n≧1,满足 2002×n 是完全立方数,n÷2002 是完全平 方数,这样的 n 中的最小值是 。 三、数论基础知识: 1.奇偶性分析 2.质因数分解(注意:2 是质数中唯一的偶数。 ) 3.带余除法。设 a,b 是两个正整数,则存在唯一整数 p,r(0≦r﹤b),使 a=bq+r。 r=0 时,叫做 b 整除 a,记作 b|a。整除的主要性质有①若 a|b,b|c,则 a|c; ②若 c|ab,(a,c)=1,则 c|b;③若 c|a,c|b,则 c|(ma±nb) 4.同余。如果用 m 去除任意两个整数 a 与 b 所得的余数相同,则 a 与 b 对模 m 同余,记作 a≡ b(modm) 。同余的主要性质有:①若 a ≡b(modm) ,则 b≡ a(modm);②若 a≡b(modm),b≡c(modm),则 a≡c(modm);③同余与整除的 关系:a≡b(modm) ? m|(a-b)
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5.数论函数[x]与{x}。设 x 是实数,不大于 x 的最大整数叫做 x 的整数部分,记 作[x];x 与[x]的差 x-[x]叫做 x 的小数部分,记作{x},即{x}=x-[x]。数论 函数的常用性质有:[x]≦x﹤[x]+1;若 n 是整数,则[n+x]=n+[x];[x]+[y] ≦[x+y];0≦{x}﹤1;{x}+{y}≧{x+y}。 6 最大公约数与最小公倍数。a、b 的最小公倍数记作[a,b],最大公约数记作 (a,b),有 [a, b] ?
ab 。 ( a , b)

四、课后思考: A.数论部分 1 ( 03 希望杯)正整数 m 和 n 有大于 1 的最大公约数,且 m3+n=371 ,则 mn= 。 2 (02 全国)设 N=23x+92y 为完全平方数,且 N 不超过 2392,则满足上述条件 的一切正整数对(x,y)共有 对。 3 (01 五羊杯)今天是星期六,从今天开始,过了 123123123…123 (共 2001 个 123)天之后是星期 。 2 2 4 解方程 x -x[x]-[x] =0 5 (01 北京)1 与 0 交替排列,组成下面形式的一串数:101,10101,1010101, 101010101,?,请你回答,在这串数中有多少个质数?并证明你的论断。 6 (01 北京)在六张纸片的正面分别写上整数 1,2,3,4,5,6,打乱秩序后,将纸 片反过来,在他们的反面也随意分别写上 1 到 6 这六个整数,然后计算每张 纸片正面和反面所写数字之差的绝对值,得出六个数。请你证明:所得六个 数中至少有两个是相同的。 B.轨迹部分 1 一架立在光滑地板上的梯子抵墙下滑。一只猫正好坐在这架梯子的中间。试 问这只猫在梯子下滑时会沿着怎样的一条路线运动? 2 如果这只猫没有坐在梯子的中间,设其上部梯子长为 a,下部梯子长为 b,以 地平线为 x 轴,以墙为 y 轴建系,猫的坐标为(x,y),那么,在梯子下滑时, 它的轨迹方程是?

第1题

第3题

第4题

3 在一个定圆 O 内,有一个直径为其一半的小圆在作无滑动的滚动。试问:动 圆上的点 K 将会划出一条怎样的线来? 4 半径为 r1 和 r2(r1>r2)的两个轮子沿着一条直线 l 滚动。试求其内公切线的 交点的集合。 5 已知一点 A 和一圆。求顶点 N 位于已知圆上的等边三角形 ANM 的顶点 M 的集 合。 6 已知一角和角内一点 D,过 D 作一条直线,使它与已知角两边所形成的三角 形的面积最小。 [注:本讲所选数论竞赛题均来自初中竞赛]
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第八讲





一、上一讲数论思考题讨论,轨迹预习思考题讨论。 二、轨迹问题讨论: 1 平面内有一个已知圆和一个已知点 A。过 A 点向已知圆引一系列的直线。试 求被圆截取的所有弦的中点的集合。

第1题 第2题 2 已知两点 A,B。过 B 作一系列的直线。试求以这些直线为对称轴的 A 点的所 有的对称点的集合。 3 已知一个圆和圆内两个已知点 A 和 B。试求圆的内接直角三角形,使得这两 个已知点在直角的两边上。 4 已知 A,B 两点,求出这样的点 M 的集合,使得:直线 AB 与两圆相切,与一圆切于 A,与另一圆切于 B,而两圆又 在 M 点相切。

5 A,B 为两个不同的城市。求出具有如下性质的 M 点的集合:若一个人沿一条 直线从 M 点走到 B 点,那么,从 M 到 A 的距离总是在增加。

第5题

第6题

6 一个木制的三角形在一个平面上移动,使它的锐角顶点分别沿着一个已知直 角的两边运动。试问这个三角形的顶点将如何移动?

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说明:本注中凡涉及“授课内容” ,均为在 2007 年江苏省高中数学奥林匹克夏令 营上的专家授课内容。 该届夏令营由江苏省数学学会主办, 江苏省靖江高 级中学承办。对部分专家,因未找到有关介绍,故只写姓名,敬请谅解。 本教程编者对原题的少许简化、改动,不再注明。 本教程于 2007 年 8 月 8 日首次发布。当前版本号 1.2。 本教程各题答案及讲解建议请致函电子信箱:suntrain@yeah.net,写明 所在学校、教练姓名、联系电话、培训简况及教程版本号后索取。一般不 接受学生的答案索取要求。 题目来源: 第一讲 赛题选例 本讲课堂讨论 1-7 题,课后思考 1-5 题源自国家奥数专家 组领队苏淳的授课内容。课后思考第 6 题源自国家奥数 金牌教练周敏泽的授课内容。 本讲课堂讨论 1-4 题,课后思考 1-2 题源自周敏泽的授课 内容。课堂讨论第 5 题,课后思考 3-6 题源自缪选民主 编《初中应用数学知识竞赛辅导训练》 (安徽少儿版, 2005) 。 本讲除课堂第四题外,全部内容均源自奥数国家集训队教 练余红兵著《组合几何》 (华东师大版,2005) 。 本讲课堂讨论题源自孙旭东的授课内容。课后思考 1-4 题 源自余红兵著 《组合几何》 , 第 5 题源自刘诗雄著 《集合》 (华东师大版,2005) 。 本讲基本题 1-2 题, 课堂讨论 1-2 题, 课后思考 1-4 题源自 李红的授课内容。课堂讨论第 3 题源自张垚著《数学竞 赛中的组合问题》 (华东师大版,2005) 。课堂讨论 4-5 题,课后思考 5-7 题源自余红兵著《组合几何》 。 本讲全部内容均源自第 46 届 IMO 中国队领队熊斌(与郑 仲义合)编著《图论》 (华东师大版,2005) 。 本讲全部数论部分内容均源自缪选民主编《初中应用数学 知识竞赛辅导训练》 。轨迹预习作业部分见第八讲注。 本讲全部内容及上一讲轨迹作业部分均源自 [苏]N.B.伐西 列也夫, V.L. 古捷马赫著《直线与曲线》 (北京出版社 1984) 。

第二讲 组



第三讲 组合几何 第四讲 极端原理

第五讲 抽屉原理

第六讲 图 第七讲 数 第八讲 轨

论 论 迹

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附录:

层次分析,抓住要点,宏观把握,化繁为简 ——一道数学奥赛题的解法
江苏沛县 孙统权

原题:将边长为 n 的正三角形的每边 n 等分,过每个 分点分别作另两边的平行线。 得到若干个单位正三 角形。设 f(n)是从最上面的单位正三角形到最下面 一行中间的单位正三角形的通路的数目, 求 f(2005) 的值。 (05 年加拿大奥林匹克) (通路是指可以从一个单位正三角形走向另一个 与其有公共边, 且与其在同一行或在其所在行的下 一行。同时,每个单位正三角形不能经过 2 次或 2 次以上。如图是 n=5 的一条通路的例子。 ) 解: 引理一:对于该图形的任一层次,若入口确定,出口 确定,则从入口到出口的通路是唯一的。 证:如图,若出口在入口的右侧,则从出口进入该层 次后,只能往右走,且直奔出口。只有这样,才能 满足“每个单位正三角形不经过 2 次或 2 次以上” 的条件。同理可证,出口在入口左侧时也是这样。 引理二:如图塔形图中,从第一层到第二层有 1 个小 门,从第二层到第三层有 2 个小门,??,从第 i 层到第 i+1 层有 i 个小门。 则从顶层到第 n 层(n>=2) 的走法总数 g(x)=(n-1)! 证:由分步计数原理可直接得出。 解答:由引理 1,可将原题化为引理 2 的形式。由引理 2 f(x)=g(x)=(n-1)! (n≧2) 所以:f(2005)=2004! 即边长为 2005 时, 从最上面的单位正三角形到最下面一行中间的单位正三角 形的通路的数目为 2004!。 (2007 年 7 月 20 日作于靖江高级中学)

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