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广西南宁外国语学校2011-2012学年高一下学期数学单元测试题——向量)


高一(下)数学章节素质检测题——向量
(考试时间:120 分钟 满分:150 分) 8. (09 陕西)在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=1,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM 学,则科网 班别_________姓名__________学号________评价_________ 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 以下

给出的四个备选答案中,只有一个正确) A.

AP ? (PB ? PC) 等于(
4 9

) B.

1.(10 新课标) a 、b 为平面向量,已知 a ? (4, 3),2a ? b ? (3,18) ,则 a 、b 夹角的余弦值等于(
A.



4 3

C. ?

4 3

D.

?

4 9


8 65

B. ?

8 65

C.

16 65

D. ?

16 65


9. (08 全国Ⅰ )在 △ ABC 中, AB = c , AC = b .若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD =( A.

2.(09 宁夏)已知 a ? (?3, 2),b ? (?1,0) ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为(

2 1 b? c 3 3

B. c ?

5 3

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3

D. b ?

1 3

2 c 3

1 1 C. ? D. 6 6 1 a ? b ? ? ,则 | a ? 2b |? ( 3.(11 全国Ⅰ)若向量 a 与 b 满足 | a |?| b |? 1, ) 2
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7
2 2 2

1 A. ? 7

1 B. 7

10. (07 辽宁)若函数 y ? f ( x) 的图象按向量 a 平移后,得到函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象,则向量 a ? ( ) B. (1 , 2)

A. (?1,?2)

, ? 2) C. (1

, 2) D. (?1
c o s A ?
2 B ?

s i c o s A 11. (11 浙江) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分 a, b, c . 若 a cos A ? b sin B , 则n
( A. ? )

4. (08 福建)在△ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c ,若 a ? c ? b ? 3ac ,则角 B 的值为( A. ) B.

? 6

? 3

C.

? 5? 或 6 6


D.

? 2? 或 3 3

1 2

B.

1 2

C. ? 1

D.1

12. (07 四川)设 A(a,1), B(2, b), C (4,5) 为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向 上的投影相同,则 a 与 b 满足的关系式为( ) C. 4a ? 5b ? 14 D. 5a ? 4b ? 12

5.(10 湖北)在 ?ABC 中, a ? 15,b ? 10,A ? 60?, 则 cos B =( A. -

2 2 3

B.

2 2 3

C. -

6 3

D.

6 3
, 则a等

A. 4a ? 5b ? 3

B. 5a ? 4b ? 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上) 13.(11 湖南)设向量 a, b 满足 | a |? 2 5, b ? (2,1), 且 a与b 的方向相反,则 a 的坐标为 .

6. (08 陕西)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 若 c ? 2, b ? 6, B ?1 2 0 于( ) B.2 C. 3 D. 2

b = 3 ,A ? C ? 2 B , 14. (10 广东) 已知 a, b, c 分别是△ ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边. 若 a =1,
则 sin C = .

A. 6

2 (a ? b) ? c 2 ? 4 ,且 C ? 60? ,则 ab 7.(11 重庆)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足

15.(11 福建)若△ABC 的面积为 3 ,BC=2,C= 60 ? ,则边 AB 的长度等于_______. 16.(09 天津)若等边 ?ABC 的边长为 2 3 ,平面内一点 M 满足 CM ?

的值为( A.

) B. 8 ? 4 3 C. 1 D.

4 3

2 3

1 2 CB ? CA ,则 MA ? MB ? 6 3

________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分,11 湖南 17)在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足

19. (本题满分 12 分, 09 上海 20)已知 ΔABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c , 设向量 m ? (a, b) ,

n?( s i B n

, , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2)

c sin A ? a cos C.
(I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ? (Ⅰ )若 m // n ,求证:ΔABC 为等腰三角形;

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

(Ⅱ )若 m ⊥ p ,边长 c ? 2 ,角 C ?

?
3

,求 ΔABC 的面积.

18. (本题满分 12 分,09 广东 16)已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (Ⅰ )求 sin ? 和 cos ? 的值;

?
2

)

20. (本题满分 12 分,08 宁夏 17)如图,△ ACD 是等边三角形,△ ABC 是等腰直角三角形,∠ ACB=90° , BD 交 AC 于 E,AB=2. (Ⅰ )求 cos∠ CBE 的值; (Ⅱ )求 AE. D C E

? (Ⅱ )若 5 cos( ? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 2

A

B

21. (本题满分 12 分,11 全国Ⅰ18)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知

22. (本题满分 12 分,08 湖南 19) 在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域. 点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 且

a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B,
(Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 A ? 750 , b ? 2, 求a与c .

与点 A 相距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45 + ? (其中 sin ? =

26 , 0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26

(Ⅰ)求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ; (Ⅱ)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. 北



高一(下)数学章节素质检测题——向量(参考答案)
一、选择题答题卡: 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 A 5 D 6 D 7 A 8 A 9 A 10 C 11 D 12 A

(Ⅱ)∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ? ,

?cos ? ? sin ? .从而 tan? ? 1.
又 0 ?? ?

? ? 2 , ? ? ? , cos ? ? . 4 2 2
a b ? . sin B sin A

二、填空题 13. (?4,?2) . 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)由正弦定理得 sin C sin A ? sin A cos C. 因为 0 ? A ? ? , 所以 sin A ? 0.从而 sin C ? cos C.又 cos C ? 0, 所以 tan C ? 1, 则C ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 B ? 14. 1, 15.2. 16. ? 2 .

19. 证明: (Ⅰ)? m ∥ n,?

从而 a sin A ? b sin B. 由正弦定理得

?
4

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径,所以 a ? b . 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 a?
. 解: (Ⅱ)由题意可知 m ∥ p ,? a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0.

3? ? A. 于是 4

? a ? b ? ab .
由余弦定理可知, c ? a ? b ? 2ab cosC ,
2 2 2

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? 0? A? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2 sin( A ?

?

?

所以 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab .
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0 .
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 . 2 2 3

?
6

) 取最大值 2.

综上所述, 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? . 12

20. 解: (Ⅰ)因为∠BCD ? 90 ? 60 ? 150 , CB ? AC ? CD ,所以∠CBE ? 15 . 18.解: (Ⅰ)? a ? b,? a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0.

? tan ? ? 2.

6? 2 所以 cos∠CBE ? cos(45 ? 30 ) ? . 4
(Ⅱ)在 △ ABE 中, AB ? 2 ,

D C E

5 又∵ ? ? (0, ),? cos? ? . ? 2 5 1 ? tan2 ?
从而 sin ? ? cos? tan? ?

?

1

AE 2 ? 由正弦定理 . sin(45 ? 15 ) sin(90 ? 15 )
A

2 5 . 5

B

故 AE ?

2sin 30 ? cos15

2?

1 2

6? 2 4

? 6? 2.

所以船的行驶速度为

10 5 ? 15 5 (海里/小时). 2 3

(II)如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q.在△ABC 中,由余弦定理得, 21. 解: (Ⅰ) a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B,

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 cos ?ABC ? 2 AB ? BC
=

北 B

a b c , sin B ? , sin C ? 由正弦定理得 sin A ? , 2R 2R 2R a c c b ?a ? ?c? ? 2a ? ? b? . 2R 2R 2R 2R
即 a ? c ? 2ac ? b . 从而 a ? c ? b ?
2 2 2

402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ? 13 3 10 = . 10 2 ? 40 2 ? 10 5
2

45 ? ?
A

C 东

2

2

2

2ac.

从而 sin ?ABC ? 1 ? cos ?ABC ? 1 ? 在△ABQ 中,由正弦定理得,

9 10 ? . 10 10

由余弦定理得 cos B ? 故 B ? 45 ?.

a2 ? c2 ? b2 2ac 2 ? ? . 2ac 2ac 2

Q P

E

(Ⅱ) sin A ? sin(30? ? 45?)

AB sin ?ABC ? AQ= sin(45 ? ?ABC )

40 2 ?

10 10 ? 40. 2 2 10 ? 2 10

? sin 30? cos 45? ? cos 30? sin 45? ? 2? 6 . 4

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15. 过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离. 在 Rt△ QPE 中, PE=QE·sin ?PQE ? QE ? sin ?AQC ? QE ? sin(45 ? ?ABC ) = 15 ?

sin A 2? 6 故 a ? b? ? ? 1 ? 3, sin B 2
sin C sin 60? c ? b? ? 2? ? 6. sin B sin 45?

5 ? 3 5 ? 7. 5

26 . 22. 解: (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 , ?BAC ? ? ,sin ? ? 26
由于 0 < ? < 90 ,所以 cos ? = 1 ? (

所以船会进入警戒水域.

26 2 5 26 ) ? . 26 26

由余弦定理得 BC=

AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AC ? cos? ? 10 5.


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