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创新方案2017届高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形第六节正弦定理和余弦定理课后作业理


【创新方案】2017 届高考数学一轮复习 第四章 三角函数与解三角 形 第六节 正弦定理和余弦定理课后作业 理
[全盘巩固] 一、选择题 1.(2016·兰州模拟)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b=2asin

B,则 A=(
A.30°

) B.45° C.60° D.75°

3 2.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c=1,B=45°,cos A= , 5 则 b=( A. 5 3 ) 10 B. 7 5 C. 7 5 2 D. 14 ) D.1 )

1 3.钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( 2 A.5 B. 5 C.2

sin?A+B? 2 2 4. (2016·渭南模拟)在△ABC 中, 若 a -b = 3bc 且 =2 3, 则 A=( sin B A. π 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6

5.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 ( ) A. π 6 π B. 4 π C. 3

c-b sin A = ,则 B= c-a sin C+sin B

3π D. 4

二、填空题 6.在△ABC 中,若 b=2,A=120°,三角形的面积 S= 3,则三角形外接圆的半径为 ________. 7.(2015·广东高考)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a= 3,sin B 1 π = ,C= ,则 b=________. 2 6 8.(2016·昆明模拟)在△ABC 中,B=120°,AB= 2,A 的角平分线 AD= 3,则 AC =________. 三、解答题 3π 9.(2015·安徽高考)在△ABC 中,∠A= ,AB=6,AC=3 2,点 D 在 BC 边上,AD 4

1

=BD,求 AD 的长.

10.(2016·太原模拟)已知 a,b,c 分别是△ABC 的内角 A,B,C 所对的边,且 c=2,

C= .
(1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求 A 的值.

π 3

[冲击名校] 1.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin

B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为(
A. 3 2 3 3 B. 2

) C. 3 D.2 3

2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a +b) -c ,则 tan C 等于( A. 3 4 4 B. 3
2 2

) 4 C.- 3 3 D.- 4
2 2

3.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 sin A+sin B+sin Asin

a+b B=sin2C,则 的取值范围为________. c
4.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 2asin A=( 2b-c)sin B+( 2

c-b)sin C.
(1)求角 A 的大小; 2 5 (2)若 a= 10,cos B= ,D 为 AC 的中点,求 BD 的长. 5

答 案 [全盘巩固] 一、选择题 1.解析:选 A 因为在锐角△ABC 中,b=2asin B,由正弦定理得,sin B=2sin Asin

2

B,所以 sin A= ,又 0<A<90°,所以 A=30°.
3 2 2.解析:选 C 因为 cos A= ,所以 sin A= 1-cos A= 5

1 2

?3?2 4 1-? ? = ,所以 sin C ?5? 5

4 3 =sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= cos 45°+ sin 45°= 5 5 7 2 b c 1 5 .由正弦定理 = ,得 b= ×sin 45°= . 10 sin B sin C 7 7 2 10 1 1 2 3.解析:选 B 由题意可得 AB·BC·sin B= ,又 AB=1,BC= 2,所以 sin B= , 2 2 2 所以 B=45°或 B=135°.当 B=45°时, 由余弦定理可得 AC= AB +BC -2AB·BC·cos B =1,此时 AC=AB=1,BC= 2,易得 A=90°,与“钝角三角形”条件矛盾,舍去.所以 B =135°.由余弦定理可得 AC= AB +BC -2AB·BC·cos B= 5. sin?A+B? sin C b +c -a 4. 解析: 选 A 因为 =2 3, 故 =2 3, 即 c=2 3b, cos A= sin B sin B 2bc 12b - 3bc 6b 3 π = = = ,所以 A= . 2 2 2 6 4 3b 4 3b
2 2 2 2 2 2 2 2 2

a b c c-b sin A 5.解析:选 C 根据正弦定理: = = =2R,得 = = sin A sin B sin C c-a sin C+sin B a c+b
,即 a +c -b =ac,得 cos B= 二、填空题 1 2 2 2 6. 解析: 由面积公式, 得 S= bcsin A, 代入得 c=2, 由余弦定理得 a =b +c -2bccos 2
2 2 2

a2+c2-b2 1 π = ,故 B= . 2ac 2 3

A=22+22-2×2×2cos 120°=12,故 a=2 3,由正弦定理,得 2R=

a 2 3 = ,解得 R sin A 3 2

=2. 答案:2 1 π 5π 7.解析:在△ABC 中,∵sin B= ,0<B<π ,∴B= 或 B= . 2 6 6 π π π π 2π 又∵B+C<π ,C= ,∴B= ,∴A=π - - = . 6 6 6 6 3 ∵

b asin B = ,∴b= =1. sin A sin B sin A

a

答案:1

3

ABsin B 8.解析:如图,在△ABD 中,由正弦定理,得 sin∠ADB= = AD

2× 3

3 2



2 .由 2

题意知 0°<∠ADB<60°,所以∠ADB=45°,则∠BAD=180°-∠B-∠ADB=15°,所以∠

BAC=2∠BAD=30°,所以∠C=180°-∠BAC-∠B=30°,所以 BC=AB= 2,于是由余弦
定理,得 AC= AB +BC -2AB·BCcos 120°= 6.
2 2

? 1? 2 2 ? 2? +? 2? -2 2× 2×?- ?= ? 2?

答案: 6 三、解答题 9.解:设△ABC 的内角∠BAC,B,C 所对边的长分别是 a,b,c, 由余弦定理得 a =b +c -2bccos∠BAC 3π 2 2 =(3 2) +6 -2×3 2×6×cos 4 =18+36-(-36)=90, 所以 a=3 10. 又由正弦定理得 sin B= π 由题设知 0<B< , 4 所以 cos B= 1-sin B=
2 2 2 2

bsin∠BAC 3 10 = = , a 3 10 10

1 3 10 1- = . 10 10

在△ABD 中,因为 AD=BD,所以∠ABD=∠BAD, 所以∠ADB=π -2B, 故由正弦定理得

AD=

AB·sin B 6sin B 3 = = = 10. sin?π -2B? 2sin Bcos B cos B

π 10.解:(1)∵c=2,C= , 3 π 2 2 2 2 ∴由余弦定理得 4=a +b -2abcos =a +b -ab. 3 1 ∵△ABC 的面积等于 3,∴ absin C= 3,∴ab=4, 2

4

?a +b -ab=4, ? 联立? ?ab=4, ?

2

2

解得 a=2,b=2.

(2)∵sin C+sin(B-A)=2sin 2A, ∴sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A,∴sin Bcos A=2sin Acos A, π ①当 cos A=0 时,A= ; 2 ②当 cos A≠0 时,sin B=2sin A,由正弦定理得 b=2a,
? ?a +b -ab=4, 联立? ?b=2a, ?
2 2

2 3 4 3 解得 a= ,b= , 3 3

π π 2 2 2 ∴b =a +c .∵C= ,∴A= . 3 6 π π 综上所述,A= 或 A= . 2 6 [冲击名校] 1.解析:选 C 由正弦定理得(2+b)(a-b)=(c-b)c,即(a+b)(a-b)=(c-b)c, 即 b +c -a =bc,所以 cos A=
2 2 2

b2+c2-a2 1 π 2 2 2 = .又 A∈(0,π ),所以 A= ,又 b +c -a 2bc 2 3

1 1 3 =bc≥2bc-4,即 bc≤4,故 S△ABC= bcsin A≤ ×4× = 3,当且仅当 b=c=2 时,等 2 2 2 号成立,则△ABC 面积的最大值为 3. 2.解析:选 C 因为 2S=(a+b) -c =a +b -c +2ab,所以结合三角形的面积公式 与余弦定理,得 absin C=2abcos C+2ab,即 sin C-2cos C=2,所以(sin C-2cos C)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

sin C-4sin Ccos C+4cos C tan C-4tan C+4 4 =4, =4,所以 =4,解得 tan C=- 或 tan 2 2 2 sin C+cos C tan C+1 3

C=0(舍去),故选 C. a2+b2-c2 1 3.解析:由正弦定理得 a +b -c =-ab,∴由余弦定理得 cos C= =- , 2ab 2
2 2 2

2π a+b sin A+sin B 2 3 π ∴C= .由正弦定理得 = = ·(sin A+sin B),又 A+B= , 3 c sin C 3 3 π π π π ?π ? ? π? ∴B= -A,∴sin A+sin B=sin A+sin? -A?=sin?A+ ?.又 0<A< ,∴ <A+ 3 3 3 3 3 3 ? ? ? ? < 2π a+b ? 2 3? ? 3 ? ,∴sin A+sin B∈? ,1?,∴ ∈?1, ?. 3 c 3 ? ?2 ? ?

? 2 3? 答案:?1, ? 3 ? ?
4.解:(1)因为 2asin A=( 2b-c)sin B+( 2c-b)sin C,

5

由正弦定理得 2a =( 2b-c)b+( 2c-b)c,整理得 2a = 2b + 2c -2bc, 由余弦定理得 cos A=

2

2

2

2

b2+c2-a2 2bc 2 = = , 2bc 2bc 2
π . 4 4 5 1- = , 5 5 10 2 5? ? 2 2 5 . × - × ?=- 10 5 2 5 ? ?2

因为 A∈(0,π ),所以 A=

2 5 2 (2)由 cos B= ,得 sin B= 1-cos B= 5

所以 cos C=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=-? 10× 2 2
2

asin B 由正弦定理得 b= = sin A

5 5

1 =2,所以 CD= AC=1, 2

在△BCD 中,由余弦定理得 BD =( 10) +1 -2×1× 10×?-
2 2

? ?

10? ?=13,所以 BD= 10 ?

13.

6


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