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《函数的单调性与最值》课件(2)


函数的单调性与最值

一、函数单调性的概念:
一般地,函数f(x)的定义域为I: 1. 如果对于属于定义域内某个区间D上的任意两个

自变量的值 x ,x , ? ? ? ? f x ? f x 当x ? x 时, 都有 1 2 1 2 1 2 称函数 f(x)在这个区间上是增函数。 2. 如果对于属于定义域内某个区间D上的任意

两个

自变量的值x x2 , 当x1 ? x 2时, 都有f ?x1 ? ? f ?x2 ? 1,
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。 单调区间

在某区间上,
增函数
y o

? 图象上升
? 图象下降
x x

减函数
y o



三、用定义证明函数单调性的步骤是:
(1) 取 值

即取x1 , x2是该区间内的任意两个 值且x1 ? x2
即求f ?x1 ? ? f ?x2 ?, 通过因式分解 、 配方、 有理化等方法

(2)作差变形

(3)判断差符号
即根据给定的区间和 x2 ? x1的符号确定 f ?x1 ? ? f ?x2 ?的符号

(4) 下 结 论 根据单调性的定义得结论

函数f ?x? ? x?x ? R?

函数f ?x? ? ? x ? 1?x ? R?
2

3 2 1

3 2

1 1 2 3

?

?

-1 -2 -3 -4

y ? ? x ? 1 ?x ? R ? y
2
2 1

?(0)=1

O

x

1、对任意的x ? R 都有?(x)≤1

2、存在0,使得?(0)=1

函数y ? f ?x ?的最大值:
设函数y ? f ?x ?的定义域为 I, 如果存在 实数M是函数y ? f ?x ?的最大值, 那么

(1)对于任意的 x ? I, 都有f ?x? ? M

?2?存在x0 ? I, 使得f ?x0 ? ? M

y
f ( x1 )

y?x

2

x1

O

x

y

y?x

2

f (x1 )

x1 O

x

y

y?x

2

f (x1 )

x 1O

x

y

y?x

2

f (x1 ) Ox
1

x

y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

y

y?x

2

f (x1 )

O

x1

x

y

y?x

2

f ( 0)

O

x

函数y ? f ?x ?的最小值:
实数N满足N是y ? f ?x ?的最小值, 那么 设函数y ? f ?x ?的定义域为 I, 如果存在

?1?对于任意的x ? I, 都有f ?x? ? N
?2?存在x0 ? I, 使得f ?x0 ? ? N

探究:函数单调性与函数的最值的关系 (1)、 若函数y ? f ?x ?在区间?m, n??m ? n?上单调 递增, 则函数y ? f ?x ?的最值是什么 ?
y
f ( n)

当x ? m时, 当x ? n时,

O

m
f ( m)

n
x

f ?x ?有最小值f ?m ? f ?x ?有最大值f ?n ?

则函数y ? f ?x ?的最值是什么 ?
y
f ( m)

(2)、 若函数y ? f ?x ?在区间?m, n?上单调递减,

当x ? m时, 当x ? n时,

f ?x ?有最大值f ?m ? f ?x ?有最小值f ?n ?

O

m

n
f ( n)

x

则函数 y ? f ? x ?在区间?m, n?上的最值是什么 ?
y
f ( m)

(3)、 若函数 f ? x ? ? a ? x ? l ? ? h?a ? 0, m ? l ? n ?,
2

f (l )

最大值为f ?l ? ? h 最小值为 f ?m?, f ?n ?中的较小者
x

f ( n)
O

m

l

n

练习:
1 1 1 、 函数y ? ?x ? ?2,6??的最大值为 2 x 1 最小值为 6
则f ? x ?有最大 值, 为 f 2、 已知函数 f ( x)在?? ?,2?上单调递增 , 在?2,?? ?上单调递减

?2?

2 ?x ? ?2,6??, 例1 、 已知函数y ? x ?1 求函数的最大值和最小 值.

2 y? x
3 2 1 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 2 3

2 y? x ?1

3 2 1 -3 -2 -1 1 -1 -2 -3 2 3 4 5 6

2 ?x ? ?2,6??, 例1 、 已知函数y ? x ?1 求函数的最大值和最小 值.

解: 任取x1 , x2是区间?2,6?上的任意两个实数 , 且x1 ? x2, 则 2 2 2??x2 ? 1? ? ?x1 ? 1?? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? ? ? ?x1 ? 1??x2 ?1? x1 ? 1 x2 ? 1 2?x 2 ? x1 ? ? ?x1 ? 1??x 2 ? 1?

2 所以 , 函数 y ? 是区间?2,6?上的减函数 x ?1

? 2 ? x1 ? x2 ? 6 ? x2 ? x1 ? 0, ?x1 ? 1??x2 ? 1? ? 0 于是f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0, 即f ?x1 ? ? f ?x2 ?

在x ? 2时取得最大值 , 最大值是2

在x ? 6时取得最小值 , 最小值是0、 4

例2、 “菊花”烟花是最壮观的烟花之 一。 制造时 一般是期望在它达到最 高点时爆裂。 如果烟 花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为 h?t ? ? ?4.9t ? 14.7t ? 18, 那么烟花冲出后什么
2

时候是它爆裂的最佳时 刻?这时距地面的高 度是多少?精确到 1米? ?

t=1.5秒

29米

课下探究:
运用物理知识探究烟花 距地面的高度 h米与时间 t秒之间满足什么函数关 系?并给出合理的解释 。

练习:
?? 6,11?上的函数。 若f ?x ?在区间 1 、 设f ?x ?是定义在区间 ?? 6,?2?上递减, 在区间?? 2,11?上递增, 画出f ?x ?的一个 最小值 大致的图象, 从图象上可以发现 f ?? 2?是函数的一个
-2

2、 函数 y ? x 2 ? 4 x ? 2在区间?? 3,5?上的最小值为

3 、

2 1 函数f ?x? ? 1? 在区间 3,?? 的最小值为3

x

?

?

小结
1、函数的最值:

?

最大值 最小值

2、函数的最值的求法
(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最值

(2)利用图象求函数的最值
(3)利用函数单调性求函数的最值

必做题

1、课本第39页A组第5题,习题B组第1题.
探究题

运用物理知识探究烟花 距地面的高度 h米与时间 t秒之间满足什么函数关 系?并给出合理的解释 。


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