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2008年迎春杯高年级组复赛试题


2008“数学解题能力展示"读者评选活动

高年级组复试题
(活动时间:2008 年 2 月 4 日 9:O02-10:30;满分 130 分)

一、填空题(每小题 l0 分,共 100 分)
1. 将数字 1 至 9 分别填入右边竖式的方格内使算式成立(每个数字恰好使用一次),那么加数中的四位 数最小是 .



1 ? 2

0

0

8

【解析】 三个加数的个位数字之和可能是 8,18;十位数字之和可能是 9,19,20;百位数字之和可能是 8, 9,10,其中只有 18+19+8=45.要使加数中的四位数最小,尝试百位填 1,十位填 2,此时另两 个加数的百位只能填 3,4;四位数的加数个位可填 5,另两个加数的十位可填 8,9,个位可填 6, 7,符合条件,所以加数中的四位数最小是 1125. 2. 如果三位数 m 同时满足如下条件:⑴ m 的各位数字之和是 7;⑵ 2m 还是三位数,且各位数字之和 为 5.那么这样的三位数 m 共有 个. 【解析】 三位数 2m 可以是 500,410,320,230,140,302,212,122,104;得到 m 可以是 250,205, 160,115,70,157,106,61,52,两位数的均舍去,所以符合条件的共有 6 个. 3. 爸爸买了三个不同的福娃送给三胞胎兄妹.打开包装前,哥哥猜:“一定有欢欢,而没有晶晶”;弟 弟猜:“晶晶和欢欢当中至少有一个,一定没有迎迎”;妹妹猜:“一定有迎迎和妮妮,没有贝贝”; 爸爸笑着回答:“你们每个人猜的两句话中,都恰好有一句是对的,有一句是错的”,请你把三个福娃 的名字写下来: , , . 【解析】 假设哥哥说的第一句话是对的,第二句是错的,则有欢欢和晶晶,所以弟弟的第一句话对,第二 句话错,所以有迎迎,此时妹妹说的第一句话错,第二句话对,符合条件,所以三个福娃是欢欢、 晶晶、迎迎. 4. 如果一些不同质数的平均数为 21,那么它们中最大的一个数的最大可能值为 . 【解析】 对于任意一组数,其中大于平均数的超出部分之和一定等于小于平均数的不足部分之和,所以为 了使这些质数中最大的数更大,应该尽可能多地取小于 21 的质数,由于大于 21 的所有质数都是 奇数,所以大于平均数 21 的超出部分之和一定是偶数,相应的所取的小于 21 的质数与 21 的差 之和也应该是偶数,所以唯一的偶质数 2 是不能取的,因为它与 21 的差为奇数.剩下 7 个数的 和是 75,21× 8-75=93,小于 93 的最大的质数是 89.当这些质数取 3,5,7,11,13,19,89 时 符合条件.
1 1 1 1 1 ? ??? ??? ? ) 计算: ( 1 ? 2007 2 ? 2006 n ? (2008 ? n) 2006 ? 2 2007 ? 1 ? 2007 1 1 1 1 ( ? ?? ? ??? )? 2008 1 ? 2006 2 ? 2005 n ? (2007 ? n) 2006 ? 1

5.



【解析】
1 1 1 1 1   ( ? ??? ??? ? ) 1 ? 2007 2 ? 2006 n ? (2008 ? n) 2006 ? 2 2007 ? 1 2007 1 1 1 1    ? ( ? ??? ??? ) 2008 1 ? 2006 2 ? 2005 n ? (2007 ? n) 2006 ? 1 1 1 1 1 1 =[( ? ??? ??? ? ) 1 ? 2007 2 ? 2006 n ? (2008 ? n) 2006 ? 2 2007 ?1 2007 1 1 1 1    ? ( ? ??? ??? )] ? 2008 ? 2008 2008 1 ? 2006 2 ? 2005 n ? (2007 ? n) 2006 ?1 2008 2008 2008 2008 2008 ? [( ? ??? ??? ? ) 1 ? 2007 2 ? 2006 n ? (2008 ? n) 2006 ? 2 2007 ?1 2007 2007 2007 2007   ( ? ? ??? ??? )] ? 2008 1 ? 2006 2 ? 2005 n ? (2007 ? n) 2006 ?1
? [(1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ??? ? ? ? 1) 2007 2 2006 n 2008 ? n 2006 2 2007 1 1 1 1 1 1 1 1   (1 ? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? 1)] ? 2008 2006 2 2005 n 2007 ? n 2005 2 2006

?( ?

1 1 ? ) ? 2008 2007 2007

1 . 2015028

有四个非零自然数 a, b, c, d ,其中 c ? a ? b , d ? b ? c .如果 a 能被 2 整除, b 能被 3 整除, c 能被 5 整除, d 能被 7 整除,那么 d 最小是 . a ? 2k , b ? 3l ,则 d ? 6l ? 2k ,因为 d 能被 7 整除,最小 14,此时 l , k 取不到整数;若 d ? 28 , 【解析】 令 则 l ? 4, k ? 2 ,所以 d 最小是 28. 6. 7. 在图的 5× 的方格表中填入 A、B、C、D 四个字母,要求:每行每列中四个字母都恰出现一次:如 5 果菜行的左边标有字母,则它表示这行中第一个出现的字母;如果某行的右边标有字母,则它表示 这行中最后一个出现的字母;类似地,如果某列的上边(或者下边)标有字母,则它表示该列的第一 个(或者最后一个)出现的字母.那么 A, B, C , D 在第二行从左到右出现的次序是 .

C A

A

D A D A B

【解析】 A, B, C , D 在第二行从左到右出现的次序是 B, C , D, A . 记四位数 abcd 为 X ,由它的四个数字 a, b, c, d 组成的最小的四位数记为 X ? ,如果 X ? X * ? 999 ,

8.

那么这样的四位数 X 共有 个. 【解析】 X ? X * ? 999 得到 X ? 999 ? X ? ? X ? ? 1000 ? 1 ,所以如果 a 、 b 、 c 、 d 组成的四位数 X ? 末位数 字不是 0,那么 X 等于将 X ? 的千位数字加 1,个位数字减 1,反过来 X ? 等于 X 的千位数字减 1,

个位数字加 1,所以 X ? 为 ? a ? 1? bc ? d ? 1? ,与 X 比较, b 和 c 位置没有换,交换的是 a 和 d , X ? 表示为 dbca , 可以得到等式 a ? 1 ? d 、a ? d ? 1 , 所以 a 和 d 的取值组合, 只有 2 和 1, 和 2, 3 …, 9 和 8 这 8 种, 对于其中任意一种组合, a ? 4 ,d ? 3 为例,dbca 只有取值 3334 ,3344 ,3444 , 以
3004 , 3034 , 3044 这 6 个数时, dbca 是由四个数字 a、 b、 c、d 组成的最小的四位数,根据乘

法原理满足条件的四位数一共有 8 ? 6 ? 48 种.如果 a、 b、c、d 组成的四位数 X ? 末位数字是 0, 显然得 X ? 的百位、十位都是 0,此时 a、 b、c、d 无法组成其它的四位数. 9. 一堆火柴有 20 根, 甲乙二人轮流从中取出一些火柴, 要求每次取的根数是前一个人所取根数的约数, 谁取走最后一根谁就获胜.如果甲先取,并且第一次取的根数是一位数,那么为了确保自己获胜, 他第一次应该取 根. 【解析】 如果甲取 4 根,则无论乙可取 1 或 2 或 4 根,甲必胜,所以他第一次应该取 4 根.

10. 如图,已知 AB ? AE ? 4cm , BC ? DC , ?BAE ? ?BCD ? 90? ,
S⊿ABC ? S⊿ACE ? S⊿CDE ? ________ cm 2 .
C

AC ? 10cm ,则

B

A

E D

【解析】 将三角形 ABC 绕 A 点和 C 点分别顺时针和逆时针旋转 90? ,构成三角形 AEC ' 和 A' DE ,再连接 A ' C ' ,显然的 AC ? AC ' , AC ? A ' C , AC ? A ' C ? AC ' ,所以 ACA ' C ' 是正方形.三角形 AEC ' 和三角形 A ' DC 关于正方形的中心 O 中心对称,在中心对称图形 ACA ' C ' 中有如下等量关系: S?AEC ? S A ' DC ' ; S?AEC ' ? S?A ' DC ; S?CED ? S?C ' DE . 所以 S?ABC ? S?ACE ? S?CDE ? S?AEC ' ? S?ACE ? S?CDE ?
C

1 1 S? ACA ' C ' ? ? 10 ? 10 ? 50 cm 2 . 2 2

B

A

E

O D A'

C'

二、解答题(每小题 l5 分,共 30 分):
11. 若干个同学排成一列纵队购买电影票,如果你观察后发现:除了前面的 5 个同学外,每个同学都要

比从他往前数(不包括他)第 5 位的同学高: 除了前面的 3 个同学外, 每个同学都要比从他往前数(不 包括他)第 3 位的同学矮.请问这支队伍最多有几个人? 【解析】 因为除了前面的 5 个同学外,每个同学都要比从他往前数(不包括他)第 5 位的同学高,所以至少 有 6 人,如果有 7 人,假设第一个人的身高为 1.5 米(为了方便比较高矮,每次变化 0.1 米),则 第四个人为 1.4 米,第七个人为 1.3 米,第二个人为 1.2 米;此时第六个人为 1.6 米,第三个人为 1.7 米,符合条件;如果有 8 人,假设第一个人的身高为 1.1 米(为了方便比较高矮,每次变化 0.1 米),则第六个人为 1.2 米,第三个人为 1.3 米,第八个人为 1.4 米,第五个人为 1.5 米,第二个 人为 1.6 米,第七个人为 1.7 米,第四个人为 1.8 米,因为第一个人必须比第四个人高,矛盾;所 以这支队伍最多有 7 个人. 12. 如图,小明家和小强家相距 10 千米,小强家与公园相距 25 千米.小明 9:20 从家骑车出发去公园, l0:40 小强从家出发,步行去公园.当小明到达学校时,他立即弃车步行;又过了一会儿,当小强 到达学校时,他立即开始骑车.两人同时于下午 2:00 到达公园.如果两人步行速度相同,骑车速 度也相同,那么学校与公园相距多少千米?

小明家

小强家

学校

公园

【解析】 相距 x 千米,骑车速度和步行速度为 a 和 b ,那么:
1 1 14 ? ?? 35 ? x ? a ? x b ? 3 ? ? ? x 1 ? ? 25 ? x ? 1 ? 10 ? a b 3 ?

三个未知数有两个方程,显然要么无解,要么有无数组解.事实上只要注意到:35:25=7,5=14/3: 10/3,方程满足 a=b=7.5,x 取任意值,都成立.当然步行速度和骑车速度是不可能相等的.两方程 相加得到:

1 1 35 ? ? 25 ? ? 8 a b 1 ? 8 7 ? ?? ? ? b ? 25 5a ? 代入第一条方程: 1 8 7 14 ? 35 ? x ? ? x ? ? ? ? ? ? a ? 25 5a ? 3

?12 x ? 175? ? ?

1 2? ? ??0 ? a 15 ?

因为 a≠7.5,所以 x ?

175 千米. 12


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