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§7.6 立体几何中的向量方法——求空间角和距离


安吉振民高级中学 2014 学年第二学期数学导学案 主备人:凤少伟

§ 7.6

立体几何中的向量方法——求空间角和距离

【知识梳理】 1. 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则 l1 与 l2 所成的角 θ 满足 cos θ= (2)设直线 l 的方向向量和平面 α

的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sin θ= (3)求二面角的大小 1° 如图①,AB、CD 是二面角 α—l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 θ = .

2° 如图②③,n1,n2 分别是二面角 α—l—β 的两个半平面 α,β 的法向量,则二面角的大 小 θ 满足 cos θ= 2. 点面距的求法 如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到 或 .

平面 α 的距离 d=

.

【课前热身】 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. ( ) ) )

(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. ( (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角. (

π π (4)两异面直线夹角的范围是(0, ],直线与平面所成角的范围是[0, ],二面角的范 2 2 围是[0,π]. ( )

(5) 直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量夹角为 120° ,则 l 和 α 所成角为 30° . ( )

(6)若二面角 α-a-β 的两个半平面 α、β 的法向量 n1,n2 所成角为 θ,则二面角 α-a -β 的大小是 π-θ.
1

安吉振民高级中学 2014 学年第二学期数学导学案 主备人:凤少伟

(

) )

π 2. 二面角 α-l-β 的大小是 , m, n 异面直线, 且 m⊥α, n⊥β, 则 m, n 所成的角为( 3 2π A. 3 π B. 3 π C. 2 π D. 6

3. 在空间直角坐标系 Oxyz 中,平面 OAB 的一个法向量为 n=(2,-2,1),已知点 P(- 1,3,2),则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于 A.4 B.2 C .3 D.1 ( )

4. 若平面 α 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2,-3,3),则 l 与 α 所成角的正弦值为_________. 5. P 是二面角 α-AB-β 棱上的一点,分别在平面 α、β 上引射线 PM、PN,如果∠BPM =∠BPN=45° ,∠MPN=60° ,那么二面角 α-AB-β 的大小为________. 【典例分析】 题型一 求异面直线所成的角 例1 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直 ( 3 10 D. 10 )

线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 A. 10 10 B. 30 10 2 15 C. 10

变式训练 已知直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为正方形 AA1=2AB,E 为 AA1 的中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成角的余弦值为 A. 10 10 1 B. 5 3 10 C. 10 3 D. 5 ( )

题型二 求直线与平面所成的角 例2 如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为 H,

PH 是四棱锥的高,E 为 AD 的中点.(1)证明:PE⊥BC; (向量法) (2)若∠APB=∠ADB=60° ,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值.

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题型三 求二面角 例3 (2013· 课标全国Ⅱ)如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB1 的中点, 2 AB.(1)证明:BC1∥平面 A1CD;(2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值. 2

AA1=AC=CB=

题型四 求空间距离 例4 已知正方形 ABCD 的边长为 4,CG⊥平面 ABCD,CG=2,E,F 分别是 AB,AD

的中点,求点 C 到平面 GEF 的距离。

【课后练习】

一、选择题
1.两平行平面α ,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),且两平面的一个法向量 n=(- 1,0,1),则两平面间的距离是( A. 3 2 B. 2 2 ) C. 3 D.3 2

1 2.已知向量 m,n 分别是直线 l 和平面α 的方向向量、法向量,若 cos〈m,n〉=- , 2 则 l 与α 所成的角为 A.30° B.60° C.120° ( ).

D.150°

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3.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中 点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 ( A. ). 10 10 B. 30 10 C. 2 15 10 D. 3 10 10

4.已知直二面角α ?l?β ,点 A∈α ,AC⊥l,C 为垂足,点 B∈β ,

BD⊥l,D 为垂足,若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=(
A.2 B. 3 C. 2

). D.1

5.如图,在四面体 ABCD 中,AB=1,AD=2 3,BC=3,CD=2. π ∠ABC=∠DCB= ,则二面角 A-BC-D 的大小为 ( 2 A. π 6 B. π 3 C. 5π 3 D. 5π 6 ).

6.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC =2.若二面角 B1-DC-C1 的大小为 60°,则 AD 的长为( A. 2 二、填空题 7.若平面α 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 B. 3 C.2 D. 2 2 )

a=(-2,-3,3),则 l 与α 所成角的正弦值为________.
8.若向量 a=(1,λ ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 8 ,则λ =________. 9 9.已知点 E、F 分别在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1,CC1 上,且 B1E =2EB,CF=2FC1,则面 AEF 与面 ABC 所成的二面角的正切值为 ________. 10.在三棱锥 O-ABC 中,三条棱 OA,OB,OC 两两垂直,且 OA=OB=

OC,M 是 AB 边的中点,则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值是________.

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