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物理竞赛电磁学


1

法拉第电磁感应定律

? ? 通过线圈 ? ? B ? dS 变化 的磁通量 S

d? ?i ? ? dt
?

感应电动势与导体闭合回路的磁通量的变化率成正比。

楞次定律 闭合回路中感应电流的方向,总是使它所 激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量 的变化。<

br />
2

一、动生电动势

整个导体回路或其中一部分,以及一段孤立导体 在稳恒磁场中运动时,所产生的感应电动势。

? ? Blv
b l a

? v
典型装置

均 匀 磁 场 ?

b

?
a
3

B

应用法拉第电磁感应定律
建坐标如图
均 匀 磁 场 ?

设回路L方向如图

b

? ? Blx( t )
d? dx ? ?? ? ? Bl dt dt

L l 0

? v
a b

x

B

? ? Blv
负号说明电动势方向与所设方向相 反,b点电势高(相当于正极),a点 电势低(相当于负极)。

?
a
4

电动势?? :
非静电力与电源 1 非静电力 使正电荷逆着静电场 的方向运动 2 电源: 提供非静电力的装置
? Fk

i

+q 3 电动势?? (1) 定义:电源内部,将单位正电荷从负极 板移动到正极板的过程中,非静电力的功。

+ ? Fe

-q

A非 ? ? q

电动势??,只与电源本身的性 质有关,与外电路无关

(2)方向:电源内部,从负极到正极,从低电位指 5 向高电位

计算公式 将非静电力的作用看做场的作用 非静电场、外来场 ? ? ? ? ? A非 ? ? qEk ? dl F ? qE
k k
? 电源内

A非 ? ? ? q ?

? ? ? Ek ? dl

?

? ? ? ? ? E k ? dl
? 电源内

?

电源内

若非静电力存在于整个回路中

? ? ? i ? ? E k ? dl
l

6

? ? f洛 ? ? 非静电场强 E k ? ? v?B ?e b ? b ? ? ? ? ? ? ? E k ? dl ? ? (v ? B ) ? dl =- vBl

由定义求? i ? ? ? f 洛 ? ? ev ? B

a ×××××××× ? ×××××××× v ×××××××× ×××××××× ? b f洛

? B

?i

动生电动势的一般计算公式
? ? ? ? i ? ? (v ? B ) ? dl
a b

a

a

b

? ? B( r )

? dl
? v
7

若整个导体回路均处于磁场中 ? ? ? ? i ? ? (v ? B ) ? dl
l

a

例 . 求长为L的直导线在磁场中转动时的电动势。
? ? ? 解: d? ? (v ? B ) ? dl v ? ?l ? ? ? ? ? v ? B 与 dl 反向 v?B d? ? ?vBdl ? ??lBdl L 1 2 ? ? ? d? ? ? ? ?Bldl ? ? ?BL 0 2

? v
O
l

?
? dl

A

? B

o

负号表示电动势方向与积分方向相反,即

A?O

UO ? U A
A

?
8

? ? ? 解: d? i ? (v ? B) ? d l

半径为 R 的铜盘,在均匀磁场中以角速度 ? 转动 ,求盘上沿半径方向产生的感应电动势。
× × ×

A

×

×

×

? vBd l ? ? lBd l

×
× ×

? i ? ? ?Bld l

? ? B ? ld l
0

R

? × dl × × ?× v × ×O × ×
×

×
× ×

?

×

×

×

1 ? ? BR 2 > 0 2

A

感应电动势的方向

O →A

?
O
9

例:如图一矩形管,画斜线的前后两侧面为金属板, 其他两面(上下面)为绝缘板,用导线将两金属板相 连,金属板和导线的电阻可忽略不计。今有电阻率为 ?的水银流过矩形管,流速为v0. 设管中水银的流速与 管两端压强差成正比,已知流速为v0时的压强差为P0。 在垂直于矩形管上下平面的方向上加均匀磁场,磁感 应强度为B。求加磁场后水银的流速v ? 解:设加磁场后水银的流速v B
水银中产生感生电动势 b a
a 水银的电阻: R?? bl

? ? Bva
?

l

感应电流I ?

R

?

Bvbl

?

10

水银所受磁场力: F ? BIa ?

B 2 vabl

F B 2 vl 管两端附加压强差 P? ? ? ab ?

?

与 v反 向

管 两 端 的 实 际 压 强 差P : 0 ? P?
P0 ? P ? v B 2l 据题设 ? ? 1? v v0 P0 ?P0

v?

v0 v0 B 2 l 1? ?P0
11

二、感生电动势
根据法拉第电磁感应定律,感应电动势的一般表 示式为: d? d ? ?

? ??

dt

??

B ? dS ? dt
S

如果回路L及其包围的面积保持不变,则

感生电动势: 由于磁场随时 间变化而引起 的感应电动势。

? ? ? ?B ? ? ? ? ? d S E ? d l ? k ? ?L S ?t

动生电动势: 导体在稳恒磁场 中运动时,所产 生感应电动势。 12

问 题

产生感生电动势的非静电力是什么?

感生电场—感生电动势产生的原因
1861年麦克斯韦大胆假设:

―变化的磁场会产生感应电场”。随时间变化 的磁场会在空间激发一种电场,称为感生电场。 感生电场的电场力就是形成感生电动势的 非静电力。 ? ?

? 感 ? ? E感 ? d l
L

非静电力,感生 电场的电场强度

即感生电动势等于感生电场场强的环流。
感生电场被实验所证实:电子感应加速器 13

感生电场的计算
(1) 原则

? ? ? d? ? B ? 种对称性才有 E感生 ? dl ? ? ? ?? ? dS ? dt S ? t 可能计算出来 L

? E感 生 具有某

(2) 特殊
空间均匀的磁场被限制在圆柱体内,磁感强度方向 平行柱轴,如长直螺线管内部的场。 ? 磁场随时间变化 则感生电场 具有柱对称分布。

B? t ?

??? ???
14

特殊情况下感生电场的计算

空间均匀的磁场限制在半径为 R 的 ? 圆柱内,B 的方向平行柱轴,且有
dB ?c dt

? ? ? d? ?B ? E感生 ? dl ? ? ? ?? ? dS ? dt S ? t L

L L ×××× O r ×××××× ×××××

求:E

感生

分布

? B

解:设场点距轴心为 r ,根据对称性 ,取以O为心,过场点的圆周环路L ? r<R ? ? dB 2 dB ? E感生 ? dl ? E感生 2? r ? ? S ? ?? r
L

r
E感生 r dB ?? 2 dt

dt

dt

? r>R
L

? ? 2 dB ? E感生 ? dl ? E感生 2? r ? ??R

dt

E感生

R 2 dB ?? 2r dt

15

? r<R ? r>R

E感生

r dB ?? 2 dt

L
L ××××

E感生

R 2 dB ?? 2r dt

r ××××××
×××××

? B

dB ? 0, E感 ? 0 dt

dB ? 0, E感 ? 0 dt

16

例:一无限长圆柱,偏 轴平行地挖出一圆柱空 间, 两圆柱轴间距离 OO ? ? d , 图中所示为垂直于轴线 的 截面,用? 表示两圆柱间存在的均 匀磁场的方向, ? 设磁感应强度 B随时间t线性增长,即 B ? kt ( k为常数) 现在空腔中放一与 OO ?成60 0 角,长为 L的金属棍 AO ?B, 求:沿棍的感生电动势 ? AB 解:整个磁场可视为圆柱O内的 均匀磁场B和空腔内 – B 的叠加 E ? ? 1 ? ? 空腔内的感应电场由这两部分产生 B ? r1 r E2 ? ? ? 2 ? ?o. d . o d B ?

? ? A ? ? ?

? E ? dl
L

??

?? dt ? dS
S

r1 dB E1 ? 2 dt

r2 dB E2 ? 2 dt

17

y E1 r1

? E
r2

E2 x

E
L

? ? O? O ? ? ? ? ? ? ? E ? E1 ? E2 ? ? E1 sin ? i ? E1 cos? j ? E2 sin ? i ? E2 cos ? j

O

O?

?

? ?

?

? r ?? ? r ? r ? ? ? dB ?? r1 1 2 2 ? ?? ? sin ? i ? cos? j ? ? ? sin ? i ? cos ? j ? ? 2 2 ? ? 2 ? ? dt ?? 2

? d dB ? E? j 2 dt ? ? d dB 3 0 ? ? E ? dl ? L cos 30 ? kLd L 2 dt 4

?

18

例:

19

20

21

例:一无限长密绕螺线 管的半径为 R, 单位长度内的匝数为n, di 通以随时间变化的电流i ? i ( t ), 且 ? C (常量), dt 则管内的感生电场强度 E in ? __ , 管外的感生电场强度 E out ? __

Ein

解:长直密绕螺线管内B=?0ni R r
1 )
2

i 变 ? B变 ? 产生涡旋电场 E

Eout

? ?
L

? ? E ? dl ? ?

r

L

??
S S

? ? E in ? dl ? ?

??

? ? dB ? dS dt ? ? dB ? dS dt

2) Eout ? 2? r ? ?0 nC? R
E out ?

? 0 nCR 2
2r

dB E in 2?r ? ?r 2 ? ? 0 nC?r 2 dt

E in ?

? 0 nC
2

r

22

例:一金质圆环以其边缘为支点直立在两磁极间, 环的 底部受两个固定挡的限制, 使其不能滑动, 现环受一扰动 偏离竖直面0.1弧度, 并开始倒下. 已知B=0.5T, 环半径 r1=4cm, 截面半径r2 =1mm, 金的电导率? =4.0?107/?· m, 设环重F=0.075N, 并可以认为环倒下的过程中重力矩时 时都与磁力矩平衡,求环倒下所需的时间t. ? ? ? d? ? ? M ? Pm ? B 当环倒下时 ?变 ? ? ? ? ? i ? dt R 2 1 )当?时 ? ? ?r1 B sin? S d? d? 2 2 ) ? ? ? ?r1 B cos? dt dt 2?r1 2r1 ? B 3 ) R ? ? 2 2 ? ?r2 ? r2

N

4) i ?

?
R

?

? r22 r1?B cos? d?
2 dt
23

5) M ? PB sin(

?
2

? ? ) ? iSBcos? ?

? r22 r13? 2 B 2 cos 2 ? d?
2 dt

6) 环 倒 下 过 程 中 重 力 矩 时 时与 磁 力 矩 平 衡

? r22 r13? 2 B 2 cos2 ? d?
2 dt
?

? Fr1 sin?

t?

?

2 0.1

? r22 r12? 2 B 2 cos 2 ? d? 2 F sin?
B
?

S

? 2.11 (s )

? n
24

N

例:在光滑的水平面上,有一可绕竖直的固定轴O自由 转动的刚性扇形封闭导体回路OABO,其半径OA=L,回 路总电阻为R,在OMN区域内为均匀磁场B,方向如图, 已知OA边进入磁场时的角速度为?,则此时导体回路 内的电流 i =___,因此导体回路所受的电磁阻力矩M=__.
N
? ? ? ? ? ? ? ?? ? B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

O

B

? ? 1) ? ? (V ? B ) ? dl

?

?
M

A

2)

l ? ? ?lBdl ? ? VB d ?
0

L

?BL2
2

N

3)
? ? ? ? ? ? ? ?? ? B? ? ? ? ? V ? ? ? ? dl ? dF ? A

i? 方向:O?A ? R ? ? dF ? idlB dF ? idl ? B
L

4)

dM ? dF ? l

M ?

? iBldl ?
0

?B 2 L4
4R
25

三、直 流 电 路
1)在电路的任一节点处,流入的电流强度之和等 于流出节点的电流强度之和
——节点电流定律(基尔霍夫第一定律) 2)在稳恒电路中,沿任何闭合回路一周的电势降 落的代数和等于零。 ——回路电压定律(基尔霍夫第二定律) 欧姆定律的微分形式
? ? 1 J ? ?E ? ?

?

?电导率 ?电阻率

l l R?? ? S ?S

26

例:10根电阻同为R的电阻丝连成如图所示的网络, 试求:A,B 两点间的等效电阻RAB.
R R A R R R R R I2 R R B R

设:总电流为 I , 由对称性知 AC与EB,AF与DB电流相同

C
I1 A

D
I-I1 I1

B I 由节点电流关系得其他电流

I2-I1 I - I2-I1

由对称性 I - I2= I2 由AC间电压

U AB 1 R AB ? ? ? 2 RI 1 ? RI 2 ? R( I ? I 1 ) I I
R AB 15 ? R 8

I

I-I1 F I - I2 E

?

2RI1=R(I-I1)+R(I2-I1)

I I2 ? 2

3 I1 ? I 8
27

例:如图电路,每两点间实线所示短导线的电阻为 1?, 则A,B两端点间的电阻为 A O C A O C B D D 据对称性可将原电路等效成下 图实线与虚线电路的并联,两 电路的电阻相同
R?r? 1 1 1 ? 2r 2r ? r ? 3r

B

总电阻为: 1 R 3 3 R AB ? ? ? r ? ?? ? 1 1 2 2 2 ? R R
28

例:在图面内两固定直导线正交,交点相连接,磁感 应强度为B 的均匀磁场与图面垂直,一边长为a的正 方形导线框在正交直导线上以匀速 v 滑动,滑动时导 线框的A, B 两点始终与水平直导线接触,竖直直导线 则与导线框的其他部分接触。已知直导线单位长的电 阻值均为 r,试问:1)导线框的C, D两点移至竖直导 线上时,流过竖直导线CD段的感应电流是多少?2) 此时导线框所受的总安培力为多大? I左 C I右 ? ? B C C I

v

I左

I右

A

B

A

2ar
B

2ar

2ar

?
D
29

?

a
D

a
D

I左

C

I右

解:左右两侧动生电势 动均为

I

2ar

2ar

2ar

? ? 2vBa cos

?
4

? 2 vBa

?
D

?

由基尔霍夫定律,或并 串联电路

I ? I左 ? I右 ? 2arI右 ? 2arI ? ? ? 0 ? 2arI左 ? 2arI ? ? ? 0

2vBa 2vB I? ? ar ? 2ar r ? 2r

2)导线框所受磁场力等于CD段导线所受的磁场力(也可根 据 I左, I右 具体计算各边受力) 2

F ? IB 2 a ?

?1 ? 2 ? r

2 B va

30

L 的圆柱形空间内的均匀磁场 S 例:半径为20cm B随时间 作线性变化B=kt(k=225/? T/s). 用分别为 30 ?与60 ? 的半圆弧形电阻接成圆环同轴地套在圆柱形空间外, 下图为其截面图。两半圆弧电阻连接处 M, N点用30 ?的直电阻丝MON相连。 求:1) 电势差UMN; 2) 在环外用多大阻值的电阻丝连接M,N点可使直电 阻丝MON上电流为零。 解:总的电动势 M ? ? dB 2 ? ? E ? dl ? ?R ? 9V ? ? dt L ? ? ? 60 ? 30 ? O K ? ? ? 30??? ? 1 ? ? 2 ? 4.5 V

?

? ? E ? dl ? ?

??

? ? dB ? dS dt

?

N

31

?
30 ?

? ? E ? dl ? ?

L

M
? ? ? ? ? ?O ? ? 30???

??
S

? dB ? dS dt

1) K 断开,电流方向如图

I 3 ? I1 ? I 2
60 ? K

N

M
? I3 ? I4 R

? I1 ? I 2
30 ? 30 ? 60 ?

4 .5 解出: I2 ? ? 150 U MN ? 30 I 2 ? ?0.9V 2) K 合上,令I2 = 0, I4 如图
由I 2 ? 0 ? U MN ? 0 得 :I 1 ?

? 2 ? 60 I 3 ? 30 I 2 ? 0 ? 1 ? 30 I 2 ? 30 I 1 ? 0

?1
N

?2

?3

?1
30

I3 ?

?2
60

I 4 ? I1 ? I 3

R?

?3
I4

? 32 60

例:无限长密绕螺线管半径为r,其中通有电流,在螺 线管内部产生一均匀磁场B,在螺线管外同轴地套一粗 细均匀的金属圆环,金属环由两个半环组成,a、b为 其分界面,半圆环电阻分别为R1 和 R2,且R1 >R2,,如 图,当B增大时,求: Ua > < = Ub a a
R1
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

R1 R2
? 2

R2
? 2

??

?

b ? ? 2 dB E ? dl ? ?r dt

I?

?

? R1 ? R2 ?? U a ? U b ? R1 I ? ? 2 2?R1 ? R2 ?
?

b

R1 ? R2

R1 ? R2

Ua ? Ub 33

四、自感与互感 由于自己线路中的电流的变化 而在自己的线路中 产生感应电流的现象叫自感现象,这样产生的感应 电动势叫自感电动势。

自感系数(简称自感)

? ?I

d? dI ?i ? ? ? ?L dt dt
L??

? L? I

?i
dI dt

单位电流的变化对应 的感应电动势 (普遍定义)
34

1. L的值取决于回路的大小、形状、线圈匝数以及周围 磁介质的分布。 2. 单位:亨利(H) 3. di /?dt 相同,L 越大,εL 越大,回路中电流越不容易改 变,L → 回路本身的“电磁惯性”。 4. 自感电动势总是阻碍回路本身电流的变化。 两个载流回路中电流发生变化时相互在对方回路中激起 感生电动势的的现象叫互感现象,这样产生的感应电动 势叫互感电动势。 ?21 ? M 21i1 ?12 ? M12 i2

? 21 ? ?

d?21 di ? ? M 21 1 dt dt

? 12 ? ?

d?12 di ? ? M 12 2 dt dt
35

M12 ? M 21 ? M

互感系数

例:一矩形线框由无电阻的导线构成,其边分别与x,y 轴平行,边长分别为a和b,以初速v0 沿x正方向运动, 当t=0时进入磁感应强度为B的均匀磁场,磁场方向如 图,充满x>0的空间,设线圈的自感为L,质量为m, 并设b足够长,求线圈的运动与时间的关系。(不考 虑重力,框的电阻不计)。 解:线框进入磁场后 y? ? ? ? ? 动 生 电 动 势 ? ? vBa b v0 ? ? ? ? ? a

? ? ? ?x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

有电流产生 ,方向沿 y

F ? IaB

方向: ?x

F ? ma
36

dv v变 ? I变 ? 产 生? ( ?) ? IaB ? m L 方向反 dt

由全电路欧姆定律,线 圈R ? 0
dI vBa ? L ?0 dt

? ? ? L ? IR ? 0
?

dv ? IaB ? m dt

d 2v B 2a 2 由上两式: ?? v 谐振动二阶微分方程 2 mL dt 2 2 A B a 2 sin( ?t ? ? ) ? ? v ? A cos(?t ? ? ) x ? mL ? 由初始条件: t ? 0时, x ? 0, v ? v0 ? A ? v0, ? ? 0

dI d 2v ? ? aB ? m dt dt 2

dI vBa ? dt L

x?

v0

?

sin(?t )

x?0

37

例:一半径为 a 的小圆线圈,电阻为R,开始时与一 个半径为b(b>>a)的大线圈共面且同心,固定大线 圈,并在其中维持恒定电流 I,使小线圈绕其直径以 匀角速 ? 转动如图(线圈的自感忽略)。 求:1)小线圈中的电流; 2)为使小线圈保持匀角速转动,须对它施加的力矩 3)大线圈中的感应电动势 解:1) b>> a ,小线圈内的磁场近似均匀 ? ? I ? ?0 I ? ? B ? S ? BS cos? ? ? ?a 2 cos?t 2b a ?0 I b d? 2 ? ? a ? sin ?t ?1 ? ? ? 2b dt

i?

?1
R

?

?0 I
2bR

? ?a 2? sin ?t
38

2)当载流线圈所受外力矩等于磁力矩,线圈匀速转动 ? ? ? ? M 外 ? ? M磁 ? ? Pm ? B

M外

? ?0 I ? a ? ? 2 ? iSB sin ?t ? ? ? sin ?t ? ? 2b ? R
2

2

3)当小线圈 I 变化时,大线圈中有互感电动势 通过大线圈磁场在小线圈中的磁通量求互感系数M ?0 ? M? ? ? ?a 2 cos?t
小 线 圈 电 流 的 磁 场 ,过 通大 线 圈 的 磁 通 量 ?0 ?0 I 2 ?? ? M i ? ? ?a cos?t ? ? ?a 2? sin ?t 2bR 2b 2 2 4 2 ?0 ? a ? I d?? di ? ?? ? ?M ?? cos 2? t 39 2 dt dt 4b R
I 2b

例:两根电阻可略,平行放置的竖直固定金属长导轨相 距l,上端与电动势为?、内阻为r的直流电源连接,电 源正、负极位置如图所示。另有一根质量m、长l、电阻 R的匀质导体棒,两端约束在两导轨上,可无摩擦地上 下滑动。设空间有与导轨平面垂直的水平匀强磁场B, 方向已在图中示出,将导体棒静止释放,试求导体棒朝 下运动过程中的最大加速度amax和最大速度vmax。 解:依题意,由欧姆定律知,开始时 导体棒中电流从左到右,大小为
? r

I?

?

? B

在磁场中受竖直向下的安培力

R?r

m, l, R
? B

F ? IBl
那么,导体棒获得的向下加速度最大值为

40

amax

F ? Bl ? ?g? ?g m m( R ? r )

? r
? B

导体棒向下加速后,某时刻速度记 为v,对应有感应电动势

? i ? Blv
?i ? ?
R?r Blv ? ? R?r

m, l, R
? B

方向与电源电动势相反。当v足够大时,?i > ?,导体棒中 电流反向,即从右到左,大小为
I'? ?

Blv ? ? F ' ? I ' Bl ? Bl R?r

其受磁场竖直向上的安培力为 当F’值等于mg时,导体棒停止向下加速,力达到平 Blvmax ? ? 衡,速度达到最大,即有 Bl ? mg mg ( R ? r ) ? R?r ? 于是可解得 vmax ? B 2l 2 Bl

41

解:

42

43


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