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第五讲函数的定义域与值域(最值


第五讲 函数的定义域与值域(最值)

走进高考第一关

基础关

教材回归
1.函数的定义域 自变量 函数的定义域是指使函数有意义的________的取值 范围.

注意:(1)确定函数定义域的原则:
①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格 中实数x的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象 在x轴上投影所覆盖的实数的集合;

③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使
解析式有意义的实数的集合;

④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题的

意义确定.

(2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类:①如果

只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解
析式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域; ②如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称 为限定定义域. (3)复合函数定义域的求法: 若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)] 的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出.

2. 函数的值域 在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数 函数值 值,________的集合叫做函数的值域. 注意:确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的 集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的 投影所覆盖的实数y的集合; ③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对 应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定.

考 点 陪 练
1.函数f(x)=
A. ( ?
3x 2 1? x

+lg(3x+1)的定义域是(

)

1 , ?? ) 3 1 ? ? B. ? ? ,1 ? 3 ? ? 1 1? ? C. ? ? , ? 3 3? ? 1 D. ( ??, ? ) 3

答案:B

2.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为(
A. {-1,0,3} B. {0,1,2,3} C. {y|-1≤y≤3} D. {y|0≤y≤3}

)

答案:A

3.如果函数y=f(4x-3)的定义域是

?1, 5 ?

,则函数f(x)的定义

域是(

)

A.?1, 2? B.?1,17 ? C.?1,5? D.? 5,17 ?
答案:B

1? x (-1,1] 4.函数f ? x ? ? , 则其值域为 ________ . 2 1? x
2

5.函数y=f(x)的值域是 ? ?2, 2? ,则函数y=f(x-2)的值域是

? ?2, 2? ________.

解读高考第二关
类型一:函数的定义域

热点关

解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各部
分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组,然后解 这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,最后定义域 必须写成集合或区间的形式; (2)确定函数的定义域

①当f(x)是整式时,其定义域为R.
②当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合. ③当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或

等于0的实数的集合.
④对于x0,x不能为0,因为00无意义.

⑤f(x)=tanx的定义域为

? ? ? ?x x ? R, 且x ? ? k? , k ? Z? . 2 ? ?
⑥f(x)=logax(a>0,且a≠1)的定义域为{x|x>0}.

⑦由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要具体问
题具体分析. ⑧分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集. ⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非 0<2x+1<1;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义域时, 应由0<2x+1<1得出x的范围即为所求.

典例1求函数f(x)=

lg ? x 2 ? 2x ? 9 ? x2

的定义域.只需要使解

析式有意义,列不等式组求解.要使函数有意义,则只 ? x 2 ? 2x ? 0, 即, ? x ? 2或x ? 0. 需要: ? ? 9 ? x 2 ? 0, ? ? ?3 ? x ? 3

解得-3<x<0或2<x<3.
故函数的定义域是(-3,0)∪(2,3).

类型二:复合函数的定义域
解题准备:1.已知f ? g ( x) ? 的定义域为x∈(a,b),求f(x)的定义域,其 方法是:利用a<x<b,求得g(x)的范围,此即为f(x)的定义域.

2.已知f(x)的定义域为x∈(a,b),求f ? g ( x)? 用a<g(x)<b,求得x的范围,此即为f ? g ( x) ?

的定义域,其方法是:利
的定义域.

定义域经常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性.所以在 解决函数问题时,必须按照“定义域优先”的原则,通过分析定义域 来帮助解决问题.

典例2(1)已知函数f(x)的定义域为 ? 0,1? ,求下列函 数的定义域:①f(x2);②f( (2)已知函数f ? lg ? x ? 1? ? 的定义域是 ? ? 数f(2x)的定义域为________.

x -1).

? 0, 9?

,则函

[分析] 根据复合函数定义域的含义求解.

[解]

(1)∵f(x)的定义域是

? 0,1?

,∴要使f(x2)有意义,必

有0≤x2≤1,解得-1≤x≤1.∴f(x2)的定义域为 ②由0≤

? ?1,1? .

x -1≤1得1≤

x ≤2.

∴1≤x≤4(x≥0时,

才有意义) x

∴函数f( x -1)的定义域为 1, 4 (2)∵f ? lg ? x ? 1? ? 的定义域为 ? ?

? ?

? 0, 9?

,

∴0≤x≤9,1≤x+1≤10,∴0≤lg(x+1)≤1
∴f(x)的定义域为 ? 0,1? .由0≤2x≤1,解得x≤0. ∴f(2x)的定义域为(-∞,0].

类型三:函数的值域

解题准备:(1)要记住各种基本函数的值域;要记住具有什么结构
特点的函数用什么样的方法求值域. (2)对各种求函数值域的方法要熟悉,遇到求值域的问题,应注意

选择最优解法.
(3)求函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且要特别注意 定义域对值域的制约作用. (4)函数的值域常常化归为求函数的最值问题,要重视函数单调性 在确定函数最值过程中的应用.

典例3求下列函数的值域:

?1? y ? x ?

1 ? 2x;

4 ? 2? y ? x ? ; x sinx ; ? 3? y ? 2 ? cosx

? 4? y ? x ?

1? x .
2

本题主要考查函数值域问题,考查运算能力?数形转化的思想,对于

(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题;对于(2),利用基本不等
式或利用函数的单调性求解;对于(3),由函数的有界性或由几何法求 解;对于(4),用求导数法求解.

1 1 法二 : 1 ? 2x ? 0,? x ? ,? 定义域为(??, ]. ? 2 2 1 ?函数y ? x, y ? ? 1 ? 2x在(??, ]上均单调递增, 2 1 1 1 1 ? y ? ? 1 ? 2 ? ? ,? y ? (??, ]. 2 2 2 2

1? t2 (1)法一 : 设 1 ? 2x ? t (t ? 0), 得x ? , 2 1 ? t2 1 1 2 ?y ? ? t ? ? ? t ? 1? ? (t ? 0), 2 2 2 1 ? y ? (??, ]. 2

4 4 (2)法一;当x ? 0时, y ? x ? ? 2 x ? ? 4, x x 当且仅当x ? 2时, 取等号; 4 ? ? 当x ? 0时, y ? ?? ? x ? ? ? ? ?2 ?x ? ? ?4, 当且仅当x ? ?2时, 取等号. 4 ? ? x ?? ? ?x

综上, 所求函数的值域为( ??, ?4] ? ? 4, ?? ?

法二:先证此函数的单调性 任取x1 ,x2 , 且x1 ? x2 , 4 4 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? x1 ? ? ( x2 ? ) x1 x2

? x1 ? x2 ? ?
x1 x2

∴当x1<x2≤-2或2≤x1<x2时,f(x)递增,当-2<x<0或

0<x<2时,f(x)递减.故x=-2时,f(x)极大=f(-2)=-4,x=2
时,f(x)极小=f(2)=4,∴所求函数的值域为(-∞,-4]∪ ? 4, ?? ?
性 ? 3? 法1:利用函数的有界行

将原函数化为sinx+ycosx=2y, 1+y2 (sin x? 令 cos ? ? 1 1? y 1 1? y
2 2

?

y 1? y
2

cos x) ? 2 y y 1? y
2

且 sin ? ? ,

,

? sin( x ? ? ) ?

2y 2 ? y2

2y ? 1, 2 1? y 3 , 3 3? ? 3 ?

3 ? y? 3 ? 3 ? 原函数的值域为 ? ? , ? 3 平方得3 y 2 ?,??

法二:数形结合法或图象法.

原函数式可化为

0 ? ? ?sinx ? sinx y? ? 2 ? cosx 2 ? cosx

此式可以看作点(2,0)和(cosx,-sinx)连线的斜率,而点 (cosx,-sinx)的轨迹方程为x2+y2=1,如图所示,在坐标 系中作出圆x2+y2=1和点(2,0). 由图可看出,当过(2,0)的直线与圆相切时,斜率分别取得 最大值和最小值,

由直线与圆的位置关系知识,

可设直线方程为y ? k ? x ? 2 ? , 即kx ? y ? 2k ? 0, 3 ? ? 1, 解得k ? ? , 2 3 1?k ? 3 3? ? 斜率的范围是 ? , ?, ? 3 3 ? sinx 3 3 即函数y ? 的值域为[ , ]. 2 ? cosx 3 3 ?2k

(4)函数的定义域为? ?1,1? . 当x ? ? ?1,1?时, f ? ? x ? ? 1 ? x 1? x
2

?

1? x2 ? x 1? x
2

.

令f ? ? x ? ? 0, 得 1 ? x 2 ? x ? 0, ? 2? 2 得x ? ,? f ? ? 2 ? ? 2, ? 2 ? ? 又f ? ?1? ? ?1, f ?1? ? 1, ? f ? x ? max ? 2? ?f? ? 2 ? ? 2, f ? x ? min ? f ? ?1? ? ?1. ? ? ?

? 值域为 ? -1, 2 ? . ? ?

[评析] 第(1)小题利用换元法易忽视t≥0的条件,第(2)小题利 用基本不等式时易漏掉对x<0的讨论. 【探究1】 求下列函数的值域.

?1? y ? 3x2 ? x ? 2, x ? ? ?1,3? ; ? 2 ? y ? 2x ? 1 ? 2x;
1? 2 . ? 3? y ? x 1? 2
x

对于(1)利用二次函数在确定区间单调性求解或利用在区间的图象判

别.
对于(2)利用换元法转化为二次函数的值域问题,还可以通过单调性 求解.

对于(3)利用指数函数性质求得(2x>0).

解: 2-x+2=3 ( x ? 1 ) 2 (1)y=3x

∈ ? ?1,3? 处取得 23 最小值.即ymin= .结合函数的单调性知函数在 12 x=3处取得最大值,即ymax=26.∴函数的值域为 ∵对称轴x=
23 【 ,26】, 12

1 6

6

1 ,∴函数在x=6

23 + 12

,

故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-∞,1].

1? t2 ? 2 ? 方法一:令 1 ? 2 x ? t (t ? 0), 则x ? 2 1? 5 ? 2 ? y ? 2 ? t ? t ? ??t ? ? ? . 2? 4 ? 1 5 ? y ? l ? t 2 ? t ? ?(t ? ) 2 ? . 2 4 1 ? 二次函数对称轴为t ? ? , 2 1 2 5 ? 在 ? 0, ?? ? 上y ? (t ? ) ? 是减函数, 2 4 1 5 故ymax ? ?(0 ? ) 2 ? ? 1. 2 4 故函数有最大值1 ,无最小值,其值域为 1? ? ??, .
2

方法二: y=2x与y=- 1 ? 2 x均为定义域上的增函数, ? 1? ? 故y=2x- 1 ? 2 x是定义域为 ? x x ? ? 上的增函数, 2? ? 1 1 故ymax ? 2 ? ? 1 ? 2 ? ? 1, 无最小值. 2 2 故函数的值域为? ??,1?.

1? 2 1? y x 得2 ? ? 3?由y ? x 1? 2 1? y 1? y 由指数函数的性质可知: ? 0. 1? y
x

所以y ? ? ?1,1? .

类型四:函数的最值
解题准备:(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用 配方法. (2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,

然后利用单调性求最值.
(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此 法. (4)导数法:当函数较复杂(如指?对数函数与多项式结合)时,一般 采用此法. (5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几 何意义,在图上找其变化范围.

x 2 ? 2x ? a ,x∈ 典例4已知函数f(x)= x
(1)当a=4时,求f(x)的最小值;

?1. ? ??

1 (2)当a= 时,求f(x)的最小值; 2
(3)若a为正常数,求f(x)的最小值.

[分析] 在解决该类型函数的最值时,首先考虑到应用均值不 等式求解,但须逐一验证应用均值不等式所具备的条件.若条 件不具备,应从函数单调性的角度考虑.

4 ?解? ?1? 当a ? 4时, f ( x) ? x ? ? 2, 易知,f ? x ? ? ? x 在 ?1,2? 上是减函数,在 ? 2, ? ? 上是增函数. ? ? f ? x ?min ? f ? 2 ? ? 6. 1 1 ? 2 ?当a ? 时,f ? x ? ? x ? ? 2, 易知, 2 2x f ? x ? 在 ?1, ? ? 上为增函数. ? ? f ? x ?min 7 ? f ?1? ? 2

a ? 3?函数f ? x ? ? x ? ? 2在 0,a ? 上是减函数, ? x 在 ? a , ?? 上是增函数. ?

?

?

若 a ? 1, 即a ? 1, f ? x ? 在区间?1, ?? ? 上减后增, f ? x ?min ? f

? a? ? 2

a ? 2;

若 a ? 1, 即0 ? a ? 1时,f ? x ? 在区间?1, ? ? ? 上是增函数. ? f ? x ?min ? f ?1? ? a ? 3

[探究2]

??? ? 交于A?B, AB =2i+2j(i?j分别是与x?y轴正半轴同方向
的单位向量),函数g(x)=x2-x-6. (1)求k?b的值; (2)当x满足f(x)>g(x)时,求函数 g ? x ? ? 1 的最小值. f ( x)

已知函数f(x)=kx+b的图象与x?y轴分别相

b ?解? ?1?由已知得A(- ,0),B(0,b). ? ? k ??? ? b b 则 AB ? ( , b), 于是 ? 2, b ? 2,? k ? 1, b ? 2. k k ? 2 ?由f ? x ? ? g ? x ? , 得x+2>x2 -x-6, 即 ? x ? 2 ?? x ? 4 ? ? 0, 得 ? 2 ? x ? 4. g ( x) ? 1 x 2 ? x ? 5 1 ? ? x?2 + ? 5. f ? x? x?2 x?2 由于x+2>0,则 g ? x? ?1 f ? x? ? ?3,

其中等号当且仅当x ? 2 ? 1, 即x ? ?1时成立. ? g ? x? ?1 f ? x? 的最小值是 ? 3.

笑对高考第三关 成熟关
名师纠错
误区一:应用题中函数的定义域不考虑实际意义 典例1如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在AD上移 动,BQ⊥CQ,Q为垂足,设BP=x,CQ=y,试求y关于x的函数关系式.

【错解】由题意得? CQB∽? BAP, CQ CB y 4 所以 ? ,即 ? , BA BP 3 x
【剖析】错解中对函数的定义域只考虑了函数式本身的要求,没 有考虑x的实际意义. 由题意得? CQB∽? BAP, CQ CB y 4 所以 ? ,即 ? , BA BP 3 x 12 所以y ? .因为BA ? BP ? BD, x 而BD ? 5, 故3 ? x ? 5, 所以y关于x 12 函数关系式为y ? ( 3 ? x ? 5). x

12 所以y关于x的函数关系式为y ? (x ? 0). x

误区二:求函数值域不考虑定义域

x 2 ? 1 的值域. 典例2求函数f(x)= x ?1

x ? 1 ? x ? 1?? x ? 1? ? ? x ? 1, ?错解? 因为f ? x ? ? ? ? x ?1 x ?1 所以函数的值域为R.
2

【剖析】错解在求解时没有考虑函数的定义域且化简过程不等价,所以出

现错误.

?正解? 函数的定义域为{x | x ? R, 且x ? ?1}, ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1?? x ? 1? f ?x? ? ? ? x ? 1, x ?1 x ?1 因为x ? ?1, 所以f (x) ? ?2.故函数的值域 为{y | y ? R且y ? ?2}.
【评析】处理函数问题时,必须树立定义域优先考虑的意识.

典例:f(x)是定义在R上的奇函数,且满足下列条
件:(1)?x,y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y); (2)当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2. 求函数f(x)在 ? ?3, 3? 上的最大?最小值.
[解题插入点] f(x)是奇函数,已知x>0,f(x)<0时,故当x<0时 应有f(x)>0,于是f(x)是减函数,要由题设证明它是减函数. 【分析思维过程】 f(x)是奇函数,若能证明它是减函数,由f(1)求

快速解题

出f(3),就可求出f(x)的最值.证其增减性.只有利用单调性的定义,
由x1<x2推知f(x1)>f(x2).需用条件x>0时,f(x)<0,而x2-x1>0,故f(x2x1)<0.

【解】 由(1)知,f(x2)=f ?? x ? x ? ? x ? =f(x2-x1)+f(x1). 1? ? 2 1 即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1). 若0≤x1<x2,则x2-x1>0,由(2)知f(x2-x1)<0. 上是减函数. 又因为f(x2)是R上面的奇函数,故f(x)在 函数∴ f(x)是R上的减函数. f(x)max=f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-f(2)-f(1) 故f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),从而函数f(x)在区间 ?0,???

? ??, 0? 上也是减

=-f(1+1)-f(1)=-f(1)-f(1)-f(1)
? ??, 0?

=-3f(1) =-3×(-2)=6. ∴f(x)在区间

? ?3,3?

f(x)min=f(3)=-6. 上的最大值为6,最小值为-6.

作为高考题,就此题的难度而言,一般不会以解答题的形式出现,

若为选择题或填空题,解法则特别简单.
【快解】 f(x)=-2x满足题设条件,故f(x)max=f(-3)=6,f(x)min=f(3)=-

6.
【方法与技巧】 证明f(x)是减函数时,用到了x2=x2-x1+x1,则出现了f(x2)?f(x1)? f(x2-x1),由f(x2-x1)<0可知f(x2)-f(x1)<0,得证.在求f(3)时,注意运用条件f(x+y)=f(x)+f(y). 抽象函数可以找到基本初等函数模型,求解就容易多了.本题函数f(x)显然是正比例函数 y=-2x.作为选择题或填空题,找到模型后直接代入即可.

解题策略
1.求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算可以施行 为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集,其准则一

般是:
①分式中,分母不为零; ②偶次方根中,被开方数非负; ③对于y=x0,要求x≠0; ④对数式中,真数大于0,底数大于0且不等于1;

⑤由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束.如果
已知函数是由两个以上数学式子的和?差?积?商的形式构成时, 定义域是使各部分有意义的公共部分的集合.

(1)所谓抽象函数是指用f(x),g(x)或F(x),G(x)等表示的函数,而 没有具体解析式的函数类型. (2)已知函数f(x)的定义域为

? a, b ?

,则函数f ? g ? x ? ? 的定 ? ?

义域是指满足不等式a≤g(x)≤b的x的取值范围;一般地,若函数

f

? g ? x ?? 的定义域是 ? ?

? a , b ,指的是x∈ ?

,要 ? a, b ?

求f(x)的定义域就是求x∈

? a, b ? 时g(x)的值域.

2. 求函数值域(最值)的常用方法: (1)基本函数法

对于基本函数的值域可通过它的图象性质直接求解.
(2)配方法 对于形如y=ax2+bx+c(a≠0)或F(x)=

a ? f 2 ? x ? ? bf ? x ? ? c ? ? ?

(a≠0)类的函数的值域问题,均可用配方法求解. (3)换元法 利用代数或三角换元,将所给函数转化成易求值域的函数, 形

如y=ax+b± cx ? d (a,b,c,d均为常数,ac≠0)的函数,令 cx ? d =t;形如含 的结构的函数,可利用三角代换,令 2 2

a ?x x=acosθ,θ∈ ? 0, ? ?或令x=asinθ,θ∈

? ? .? ? ?? 2 , 2 ? ? ?

(4)不等式法 利用基本不等式:a+b≥2
ab

,用此法求函数值域时,要注意条

件“一正?二定?三相等”.如利用a+b≥2 取等号条件a=b.三个条件缺一不可. (5)函数的单调性法 (对勾函数型)

ab

求某些函数值域

(或最值)时应满足三个条件:①a>0,b>0;②a+b(或ab)为定值;③

确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数

b 的值域,例如,f(x)=ax+ x

(a>0,b>0).当利用不等式法等号不能

成立时,可考虑用函数的单调性.

(6)数形结合法 如果所给函数有较明显的几何意义,可借助几何法求函数的值域, 形如:
y 2 ? y1 x 2 ? x1

可联想两点(x1,y1)与(x2,y2)连线的斜率.

(7)函数的有界性法
sinx 形如y= 1 ? sinx

,可用y表示出sinx,再根据-1<sinx≤1,解关

于y的不等式,可求y的值的范围.

(8)导数法 设y=f(x)的导数为f′(x),由f′(x)=0求得极值点坐标,若函数定义

域为

? a, b ? ,则最值必定为极值和区间端点中函数值的最

大值和最小值.


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