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吉林省东北师范大学附属中学2015高中数学总复习(3)文(含解析)新人教版必修5


吉林省东北师范大学附属中学 2015 高中数学总复习 (3 ) 文 (含解析) 新人教版必修 5
3.设等差数列 {an } 的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn . (1)若 a11 ? 0 ,S14 ? 98 ,求数列 {an } 的通项公式; (2)若 a1 ≥ 6,a11 ? 0,S14 ≤ 77 ,求所有可能的数列 {an } 的通项公式. 【解析】:(1)由 ? 解得

? S14 ? 98, ?2a1 ? 13d ? 14, ,即 ? , ?a1 ? 10d ? 0, ?a11 ? 0,

d ? ?2,a1 ? 20 .

因此, {an } 的通项公式是 an ? 22 ? 2n ,n ? 1 , 2, 3 , ?;

? S14 ≤ 77, ? (2)由 ? a11 ? 0, ,得 ? a ≥ 6, ? 1 , ?2a1 ? 13d ≤ 11 ? 即 ? ?2a1 ? 20d ? 0, ??2a ≤ ?12. 1 ?
由①+②,得

, ?2a1 ? 13d ≤ 11 ? ?a1 ? 10d ? 0, , ?a ≥ 6, ? 1 (1) (2) (3)

11 . 7 1 由①+③,得 13d ≤ ?1 ,即 d ≤ ? . 13 11 1 所以 ? ? d ≤ ? . 7 13 又 d ? Z ,故 d ? ?1 .

?7 d ? 11 ,即 d ? ?

将 d ? ?1 代入①、②,得

10 ? a1 ≤12 .

又 a1 ? Z ,故 a1 ? 11 或 a1 ? 12 . 所以,数列 {an } 的通项公式是 an ? 12 ? n 或 an ? 13 ? n ,n ? 1 , 2, 3 , ?. 品:利用等差(比)数列的定义构造方程(组)或不等式(组)是常用的解题方法. 4.设数列 {an }{ , bn }{ , cn } 满足 bn ? an ? an?2,cn ? an ? 2an?1 ? 3an?2

(n ? 1 , 2, 3, ?) , 证 明 {an } 为 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 {cn } 为 等 差 数 列 且

bn ≤ bn?1 (n ? 1 , 2, 3 ,…) .
1

【解析】:必要性:设 {an } 是公差为 d1 的等差数列, 则 bn?1 ? bn ? (an?1 ? an?3 ) ? (an ? an?2 )

? (an?1 ? an ) ? (an?3 ? an?2 ) ? d1 ? d1 ? 0 .
易知 bn ≤ bn?1 (n ? 1 , 2, 3, ?) 成立. 由递推关系 cn?1 ? cn ? (an?1 ? an ) ? 2(an?2 ? an?1 ) ? 3(an?3 ? an?2 ) ? d1 ? 2d1 ? 3d1 ? 6d1 (常数)(n=1,2,3,…). 所以数列 {cn } 为等差数列. 充分性:设数列 {cn } 是公差为 d2 的等差数列,且 bn ≤ bn?1 (n ? 1 , 2, 3 , ?) , ∵ cn ? an ? 2an?1 ? 3an?2 , ∴ cn?2 ? an?2 ? 2an?3 ? 3an?4 , 由① ? ②,得 ① ②

cn ? cn?2 ? (an ? an?2 ) ? 2(an?1 ? an?3 ) ? 3(an?2 ? an?4 ) ? bn ? 2bn?1 ? 3bn?2 .

∵ cn ? cn?2 ? ?2d2 , ∴ bn ? 2bn?1 ? 3bn?2 ? ?2d2 , 从而有 bn?1 ? 2bn?2 ? 3bn?3 ? ?2d2 , ③ ④ ⑤

④ ? ③,得 (bn?1 ? bn ) ? 2(bn?2 ? bn?1 ) ? 3(bn?3 ? bn?2 ) ? 0 , ∵ bn?1 ? bn ≥ 0 ,bn?2 ? bn?1 ≥ 0,bn?3 ? bn?2 ≥ 0 , ∴由⑤得 bn?1 ? bn ? 0(n ? 1 , 2, 3, ?) , 由此不妨设 bn ? d3 (n ? 1 , 2, 3 , ?) , 则 an ? an?2 ? d3 (常数). 由此 cn ? an ? 2an ?1 ? 3an ?2 ? 4an ? 2an ?1 ? 3d 3 .

从而 cn?1 ? 4an?1 ? 2an?2 ? 3d3 ,两式相减得 cn?1 ? cn ? 2(an?1 ? an ) ? 2d3 . 因此 an ?1 ? an ? 为等差数列.
2

1 1 (cn ?1 ? cn ) ? d3 ? d2 ? d3 (常数)(n=1,2,3,…),即数列 {an } 2 2

品:利用递推关系式是解决数列问题的重要方法,要熟练掌握等差数列的定义、通项公 式. 5.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an?1 ? 2an ? 1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 4k1 ?1 ? 4k2 ?1 ? ?? 4kn ?1 ? (an ?1)kn,bn ? kn ,证明 {bn } 是等差数列. 【解析】:(1)∵ an?1 ? 2an ? 1(n ? N? ) ,∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) . ∴ {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ? 1 ; (2)∵ 4k1 ?1 ? 4k2 ?1…4kn ?1 ? (an ?1)k , 利用 {an } 的通项公式,有 4
( k1 ? k2 ??? kn ) ? n

? 2nkn .

∴ 2[(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n] ? nbn .① 构建递推关系

2[(b1 ? b2 ? ? ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1 , ②
②-①,得

(n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0 ,③
从而有 nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0 ,④ ③ ? ④,得

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0 ,即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 .

故 {bn } 是等差数列. [方法:]由递推式求数列的通项,常常构造新的辅助数列为等差或等比数列,用迭代法、累 加法或累乘法求其通项.

3


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