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数学必修1 第二章基本初等函数


课题:§2.1.1 指数
教学目的: (1)掌握根式的概念; (2)规定分数指数幂的意义; (3)学会根式与分数指数幂之间的相互转化; (4)理解有理指数幂的含义及其运算性质; (5)了解无理数指数幂的意义 教学重点:分数指数幂的意义,根式与分数指数幂之间的相互转化,有理指数幂的运算性质 教学难点:根式的概念,根式与分数指数幂之间的相互转化,了解无理数指数幂. 教学过程

: 一、引入课题 1. 以折纸问题引入,激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性 2. 由实例引入,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数的必要性; 3. 复习初中整数指数幂的运算性质;

a m ? a n ? a m?n ( a m ) n ? a mn ( ab) n ? a n b n
4. 初中根式的概念; 如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a 的平方根,如果一个数的立方等于 a, 那么这个数叫做 a 的立方根; 二、新课教学 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 th root) 其中 n >1, n ∈ N . (n , 且
n
*

当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数.此时, a 的

n 次方根用符号 n a 表示.
式子 n a 叫做根式(radical) ,这里 n 叫做根指数(radical exponent) a 叫做被开方数 , (radicand) . 当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号- n a 表示.正的 n 次方根与负的 n 次方根可 以合并成± n a ( a >0) . 由此可得:负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 . 思考: (课本 P58 探究问题) n a n = a 一定成立吗?. (学生活动) 结论:当 n 是奇数时, n a n ? a

当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 例 1. (教材 P58 例 1) . 解: (略) 巩固练习: (教材 P58 例 1) 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义 规定:

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那 么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r r ?s

(a ? 0, r , s ? Q) ; (a ? 0, r , s ? Q) ; (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .

(2) (a r ) s ? a rs (3) (ab) r ? a r a s

引导学生解决本课开头实例问题 例 2. (教材 P60 例 2、例 3、例 4、例 5) 说明:让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用. 巩固练习: (教材 P63 练习 1-3) 4. 无理指数幂 结合教材 P62 实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义. 指出:一般地,无理数指数幂 a (a ? 0, ?是无理数 是一个确定的实数.有理数指数 ) 幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 思考: (教材 P63 练习 4) 巩固练习思考:(教材 P62 思考题) : 例 3. (新题讲解)从盛满 1 升纯酒精的容器中倒出
?

1 1 升,然后用水填满,再倒出 升, 3 3

又用水填满,这样进行 5 次,则容器中剩下的纯酒精的升数为多少? 解: (略) 点评:本题还可以进一步推广,说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题. 三、归纳小结,强化思想 本节主要学习了根式与分数指数幂以及指数幂的运算, 分数指数幂是根式的另一种表示 形式, 根式与分数指数幂可以进行互化. 在进行指数幂的运算时, 一般地, 化指数为正指数, 化根式为分数指数幂,化小数为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,以达到化

繁为简的目的,对含有指数式或根式的乘除运算,还要善于利用幂的运算法则. 四、作业布置 1. 必做题:教材 P69 习题 2.1(A 组) 第 1-4 题. 2. 选做题:教材 P70 习题 2.1(B 组) 第 2 题.

课题:§2.1.2 指数函数及其性质
教学任务: (1)使学生了解指数函数模型的实际背景,认识数学与现实生活及其他学科的联 系; (2)理解指数函数的的概念和意义,能画出具体指数函数的图象,探索并理解指 数函数的单调性和特殊点; (3) 在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法, 如具体到一般的 过程、数形结合的方法等. 教学重点:指数函数的的概念和性质. 教学难点:用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质. 教学过程: 五、引入课题 (备选引例) 5. (合作讨论)人口问题是全球性问题,由于全球人口迅猛增加,已引起全世界关 注.世界人口 2000 年大约是 60 亿,而且以每年 1.3%的增长率增长,按照这种增长 速度,到 2050 年世界人口将达到 100 多亿,大有“人口爆炸”的趋势.为此,全 球范围内敲起了人口警钟,并把每年的 7 月 11 日定为“世界人口日” ,呼吁各国要 控制人口增长.为了控制人口过快增长,许多国家都实行了计划生育. 我国人口问题更为突出,在耕地面积只占世界 7%的国土上,却养育着 22%的 世界人口.因此,中国的人口问题是公认的社会问题.2000 年第五次人口普查, 中国人口已达到 13 亿,年增长率约为 1%.为了有效地控制人口过快增长,实行 计划生育成为我国一项基本国策. 1 ○ 按照上述材料中的 1%的增长率,从 2000 年起,x 年后我国的人口将达到 2000 年的多少倍? 2 ○ 到 2050 年我国的人口将达到多少? 3 ○ 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响? 6. 上一节中 GDP 问题中时间 x 与 GDP 值 y 的对应关系 y=1.073x(x∈N*,x≤20)能 否构成函数? 7. 一种放射性物质不断变化成其他物质,每经过一年的残留量是原来的 84%,那么以 时间 x 年为自变量,残留量 y 的函数关系式是什么? 8. 上面的几个函数有什么共同特征? 六、新课教学 (一)指数函数的概念 一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数(exponential function) ,其中 x 是自
x

变量,函数的定义域为 R. 1 注意:○ 指数函数的定义是一个形式定义,要引导学生辨析; 2 ○ 注意指数函数的底数的取值范围,引导学生分析底数为什么不能是负数、零 和 1. 巩固练习:利用指数函数的定义解决(教材 P68 例 2、3)

(二)指数函数的图象和性质 问题: 你能类比前面讨论函数性质时的思路, 提出研究指数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象:

1 x 3 1 x (2) y ? ( ) 2
(1) y ? ( ) (3) y ? 2 x (4) y ? 3x (5) y ? 5 x
x 2. 从画出的图象中你能发现函数 y ? 2 的图象和函数 y ? ( ) 的图象有什么关系?可
x

1 2

x 否利用 y ? 2 的图象画出 y ? ( ) 的图象?
x

1 2

3.从画出的图象( y ? 2 x 、 y ? 3x 和 y ? 5 x )中,你能发现函数的图象与其底数之间 有什么样的规律? 4.你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗? 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图 象纵坐标都大于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越 来越陡 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的图 象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越 来越缓

函数的定义域为 R 函数的值域为 R+

a0 ? 1
增函数 减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极 快,到了某一值后 减小速度较慢;

9. 利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; (4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f (x 2 ) ; (三)典型例题 例 1. (教材 P66 例 6) . 解: (略) 问题:你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗? 例 2. (教材 P66 例 7) 解: (略) 问题:你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小? 说明:规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式. 巩固练习: (教材 P69 习题 A 组第 7 题) 七、归纳小结,强化思想 本节主要学习了指数函数的图象,及利用图象研究函数性质的方法. 八、作业布置 3. 必做题:教材 P69 习题 2.1(A 组) 第 5、6、8、12 题. 4. 选做题:教材 P70 习题 2.1(B 组) 第 1 题.

课题:§2.2.1 对数
教学目的: (1)理解对数的概念; (2)能够说明对数与指数的关系; (3)掌握对数式与指数式的相互转化. 教学重点:对数的概念,对数式与指数式的相互转化 教学难点:对数概念的理解. 教学过程: 九、引入课题 10. (对数的起源) 价绍对数产生的历史背景与概念的形成过程, 体会引入对数的 必要性; 设计意图:激发学生学习对数的兴趣,培养对数学习的科学研究精神. 11. 尝试解决本小节开始提出的问题. 十、新课教学 1.对数的概念 一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(Logarithm) , . ..
x

记作:

x ? loga N

a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式
1 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○ a ? N ? loga N ? x ;

x

loga N

3 ○ 注意对数的书写格式. 1 思考:○ 为什么对数的定义中要求底数 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 ○ 是否是所有的实数都有对数呢? 设计意图:正确理解对数定义中底数的限制,为以后对数型函数定义域的确定作准备. 两个重要对数: 1 ○ 常用对数(common logarithm) :以 10 为底的对数 lg N ; 2 ○ 自然对数(natural logarithm) :以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . 2. 对数式与指数式的互化

loga N ? x

?

ax ? N

对数式 指数式 ? 对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数 ← N → 幂 例 1. (教材 P73 例 1) 巩固练习: (教材 P74 练习 1、2) 设计意图:熟练对数式与指数式的相互转化,加深理解对数概念. 说明: 本例题和练习均让学生独立阅读思考完成, 并指出对数式与指数式的互化中应注 意哪些问题. 3. 对数的性质 (学生活动) 1 ○ 阅读教材 P73 例 2,指出其中求 x 的依据; 2 ○ 独立思考完成教材 P74 练习 3、4,指出其中蕴含的结论 对数的性质 (1)负数和零没有对数; (2)1 的对数是零: loga 1 ? 0 ; (3)底数的对数是 1: loga a ? 1 ; (4)对数恒等式: a (5) loga a n ? n . 十一、 归纳小结,强化思想 1 ○ 引入对数的必要性; 2 ○ 指数与对数的关系; 3 ○ 对数的基本性质. 十二、 作业布置 教材 P86 习题 2.2(A 组) 第 1、2 题, 组) 第 1 题. (B
loga N

?N;

课题:§2.2.2 对数函数(一)
教学任务: (1)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函

数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型; (2) 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象, 探索并了解对数函数的单 调性与特殊点; (3)通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对数函 数的性质,培养学生数形结合的思想方法,学会研究函数性质的方法. 教学重点:掌握对数函数的图象和性质. 教学难点:对数函数的定义,对数函数的图象和性质及应用. 教学过程: 十三、 引入课题 1. (知识方法准备) 1 ○ 学习指数函数时,对其性质研究了哪些内容,采取怎样的方法? 设计意图:结合指数函数,让学生熟知对于函数性质的研究内容,熟练研究函数性质的 方法——借助图象研究性质. 2 ○ 对数的定义及其对底数的限制. 设计意图:为讲解对数函数时对底数的限制做准备. 2. (引例) 教材 P81 引例 处理建议:在教学时,可以让学生利用计算器填写下表: 碳 14 的含量 P 生物死亡年数 t 然后引导学生观察上表,体会“对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关 系 t ? log
5730 1 2

0.5

0.3

0.1

0.01

0.001

P, 生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应, 从而 t 是 P 的函数” . (进

而引入对数函数的概念) 十四、 新课教学 (一)对数函数的概念 1.定义:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数(logarithmic function) 其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似, ○ 都是形式定义, 注意辨别. y ? 2 log2 x , 如:

y ? log 5

x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 5
2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) .

巩固练习: (教材 P68 例 2、3) (二)对数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法 吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: 1 ○ 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; (可用描点法, 也可借助科学计算器 或计算机)

(1) y ? log2 x (2) y ? log 1 x
2

(3) y ? log3 x (4) y ? log1 x
3
2 ○

类比指数函数图象和性质的研究,研究对数函数的性质并填写如下表格: 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数 函数的值域为 R

函数图象都在 y 轴右侧 图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0 自左向右看, 图象逐渐下降 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0

函数的定义域为(0,+∞)

1? ? 1
增函数 减函数

x ? 1, loga x ? 0
0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0
x ? 1, loga x ? 0

3 ○ 思考底数 a 是如何影响函数 y ? loga x 的. (学生独立思考,师生共同总结)

规律:在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. (三)典型例题 例 1. (教材 P83 例 7) . 解: (略) 说明: 本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制, 加深对对数函数的理 解. 巩固练习: (教材 P85 练习 2) . 例 2. (教材 P83 例 8) 解: (略) 说明:本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法,熟悉对 数函数的性质,渗透应用函数的观点解决问题的思想方法. 注意: 本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法, 规范解题 格式. 巩固练习: (教材 P85 练习 3) . 例 2. (教材 P83 例 9) 解: (略) 说明:本例主要考察学生对实际问题题意的理解,把具体的实际问题化归为数学问题. 注意:本例在教学中,还应特别启发学生用所获得的结果去解释实际现象. 巩固练习: (教材 P86 习题 2.2 A 组第 6 题) . 十五、 归纳小结,强化思想 本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、 图象和性质. 在理解对数函数的定义的基础

上,掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点. 十六、 作业布置 5. 必做题:教材 P86 习题 2.2(A 组) 第 7、8、9、12 题. 6. 选做题:教材 P86 习题 2.2(B 组) 第 5 题.

课题:§2.2.2 对数函数(二)
教学任务: (1)进一步理解对数函数的图象和性质; (2)熟练应用对数函数的图象和性质,解决一些综合问题; (3)通过例题和练习的讲解与演练,培养学生分析问题和解决问题的能力. 教学重点:对数函数的图象和性质. 教学难点:对对数函数的性质的综合运用. 教学过程: 十七、 回顾与总结 1. 函 数 y ? log2 x, y ? log5 x, y ? lg x 的图象如图所示,回答下列问题. (1)说明哪个函数对应于哪个图象, 释为什么? (2)函数 y ? loga x 与 y ? log1 x
a
2 ○ 3 ○ 1 ○

并解

(a ? 0, 且 a ? 0) 有 什么 关系? 图象之间
又有什么特殊的关系? ( 3 ) 以 y ? log2 x, y ? log5 x, y ? lg x 的 图 象 为 基 础 ,在 同 一 坐 标 系 中 画 出

y ? log1 x, y ? log1 x, y ? log 1 x 的图象.
2 5 10

(4)已知函数 y ? loga1 x, y ? loga2 x, y ? loga3 x, y ? loga4 x 的图象,则底数之 间的关系: . 教

y ? loga 1 x y ? loga 2 x

y ? loga 3 x y ? loga 4 x

2. 完成下表(对数函数 y ? loga x (a ? 0, 且 a ? 0) 的图象和性质)

0 ? a ?1

a ?1

图 象

定义域 值域 性 质

3. 根据对数函数的图象和性质填空.
1 ○ 已 知 函 数 y ? log2 x , 则 当 x ? 0 时 , y ?

;当 x ?1 时, .

y?

;当 0 ? x ? 1 时, y ?

;当 x ? 4 时, y ?

1 ○ 已 知 函 数 y ? lo g1 x , 则 当 0 ? x ? 1 时 , y ?

;当 x ? 1 时, ;

3

y?

;当 x ? 5 时, y ? .

;当 0 ? x ? 2 时, y ?

当 y ? 2 时, x ? 十八、 应用举例

1 例1. 比较大小:○ loga ? , loga e (a ? 0, 且 a ? 0) ;

2 ○ log 2

1 2 , log2 (a ? a ? 1) (a ? R) . 2

解: (略) 例 2.已知 loga (3a ? 1) 恒为正数,求 a 的取值范围. 解: (略) [总结点评]: (由学生独立思考,师生共同归纳概括) . . 例 3.求函数 f ( x) ? lg(? x ? 8x ? 7) 的定义域及值域.
2

解: (略)

注意:函数值域的求法. 例 4. (1)函数 y ? loga x 在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求 a 的值; (2)求函数 y ? log3 ( x 2 ? 6x ? 10) 的最小值. 解: (略) 注意:利用函数单调性求函数最值的方法,复合函数最值的求法. 例 5. (2003 年上海高考题)已知函数 f ( x ) ? 并讨论它的奇偶性和单调性. 解: (略) 注意:判断函数奇偶性和单调性的方法,规范判断函数奇偶性和单调性的步骤. 例 6.求函数 f ( x) y ? log0.2 (? x 2 ? 4x ? 5) 的单调区间. 解: (略) 注意:复合函数单调性的求法及规律: “同增异减” . 练习:求函数 y ? log1 (3 ? 2 x ? x 2 ) 的单调区间.
2

1 1? x ? log 2 ,求函数 f (x) 的定义域, x 1? x

十九、 作业布置 考试卷一套

课题:§2.2.2 对数函数(三)
教学目标: 知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系, 了解反函数的概念, 加深对函数的 模型化思想的理解. 过程与方法 通过作图,体会两种函数的单调性的异同. 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一. 教学重点: 重点 难两种函数的内在联系,反函数的概念. 难点 反函数的概念. 教学程序与环节设计: 创设情境 由函数的观点分析例题,引出反函数的概念.

组织探究

两种函数的内在联系,图象关系.

尝试练习

简单的反函数问题,单调性问题.

教学过程与操作设计: 环节 材料一: 当生物死亡后, 它机体内原有的碳 14 会按确定 的规律衰减, 大约每经过 5730 年衰减为原来的一半, 师:引导学生分析归 纳,总结概括得出结 这个时间称为“半衰期” .根据些规律,人们获得了 论: P 生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系. 回 (1) 和 t 之间的对应 关系是一一对应; 答下列问题: (2) 关于 t 是指数函 P (1) 求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 设 P, 并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系, 指出 是我们所学过的何种函数? 情 (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求 该生物死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 境 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数? (3)这两个函数有什么特殊的关系? (4)用映射的观点来解释 P 和 t 之间的对应关 系是何种对应关系? (5)由此你能获得怎样的启示? 数 P ? (5730 呈现教学材料 师生互动设计 生:独立思考完成,讨 论展示并分析自己的 结果.



1 x ) ; 2

t 关于 P 是对数函数

t ? log
5730

1 2

x ,它们的

底数相同, 所描述的都 是碳 14 的衰变过程中, 碳 14 含量 P 与死亡年 数 t 之间的对应关系; (3)本问题中的同底 数的指数函数和对数 函数, 是描述同一种关 系(碳 14 含量 P 与死 亡年数 t 之间的对应关 系)的不同数学模型.

材料二: 由对数函数的定义可知,对数函数 y ? log2 x 是把指数函数 y ? 2 x 中的自变量与因变量对调位置 而得出的,在列表画 y ? log2 x 的图象时,也是把 指数函数 y ? 2 x 的对应值表里的 x 和 y 的数值对 换,而得到对数函数 y ? log2 x 的对应值表,如下:

表一

y ? 2x .

环节

呈现教学材料

师生互动设计 生:仿照材料一分析: 1 2 2 4 3 8 ? ?

x
y

? ?

-3

-2

-1

0 1

1 8

1 4

1 2

y ? 2 x 与 y ? log2 x
的关系.

表二

y ? log2 x .
? ? -3 -2 -1 0 1 1 2 2 4 3 8 ? ? 师:引导学生分析,讲 评得出结论, 进而引出 反函数的概念.

x
y

1 8

1 4

1 2

在同一坐标系中,用描点法画出图象. 材料一:反函数的概念: 当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的 因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数 的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函 数互为反函数. 由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对 数函数互为反函数. 材料二:以 y ? 2 与 y ? log2 x 为例研究互为
x

组织 探究

反函数的两个函数的图象和性质有什么特殊的联 系?

师:说明: (1)互为反函数的两 个函数是定义域、 值域 相互交换, 对应法则互 逆的两个函数; (2)由反函数的概念 可知 “单调函数一定有 反函数” ; (3)互为反函数的两 个函数是描述同一变 化过程中两个变量关 系的不同数学模型.

师: 引导学生探索研究 材料二. 生:分组讨论材料二, 选出代表阐述各自的 结论, 师生共同评析归 纳. 尝试 练习 巩固 反思 作业 反馈 环节 求下列函数的反函数: (1) y ? 3 x ; (2) y ? log6 x 生:独立完成.

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数 函数的定义、图象、性质作一小结. 1. 求下列函数的反函数:

x
y

1 3

2 5

3 7

4 9 师生互动设计 3 7 4 9 答案: 1.互换 x 、 y 的数值.

呈现教学材料

x
y

1 3

2 5

2. (1)试着举几个满足“对定义域内任意实数 a、b,都有 f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) . ”的函数实例, 2.略. 你能说出这些函数具有哪些共同性质吗? (2) 试着举几个满足 “对定义域内任意实数 a、 b,都有 f (a + b) = f ( a )·f ( b ) . ”的函数实例,你 能说出这些函数具有哪些共同性质吗? 我们知道, 指数函数 y ? a (a ? 0 , a ? 1) 与 且
x

对数函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 互为反函数, 那么,它们的图象有什么关系呢?运用所学的数学 知识,探索下面几个问题,亲自发现其中的奥秘吧! 问题 1 在同一平面直角坐标系中,画出指数 课外 活动 函数 y ? 2 及其反函数 y ? log2 x 的图象,你能发
x

现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗? 问题 2 取 y ? 2 图象上的几个点,说出它们
x

结论: 互为反函数的两 个函数的图象关于直 线 y ? x 对称.

关于直线 y ? x 的对称点的坐标,并判断它们是否 在 y ? log2 x 的图象上,为什么? 问题 3 如果 P0(x0,y0)在函数 y ? 2 的图
x

象 上,那 么 P0 关于 直线 y ? x 的 对称 点在 函数

y ? log2 x 的图象上吗,为什么?
问题 4 由上述探究过程可以得到什么结论? 问题 5 上述结论对于指数函数 y ? a x

(a ? 0 , 且 a ? 1) 及 其 反 函 数

y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 也成立吗?为什么?

课题:§2.3 幂函数
教学目标: 知识与技能 通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行简单的应用. 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法,来研究幂函 数的图象和性质. 情感、态度、价值观 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 教学重点: 重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 难点 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律. 教学程序与环节设计: 创设情境 问题引入.

组织探究

幂函数的图象和性质.

尝试练习

幂函数性质的初步应用.

巩固反思

复述幂函数的图象规律及性质.

作业回馈

幂函数性质的初步应用.

课外活动

利用图形计算器或计算机探索一 般幂函数的图象规律.

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 阅读教材 P90 的具体实例(1)~(5) ,思考下列 问题: 创 设 (答案) 情 境 1. (1)乘以 1; (2)求平方; (3)求立方; (4) 师生: 共同辨析这种新 函数与指数函数的异 开方; (5)取倒数(或求-1 次方) . 同. ? 2.上述问题中涉及到的函数,都是形如 y ? x 的函数,其中 x 是自变量,是 ? 常数. 材料一:幂函数定义及其图象. 一般地,形如 师:说明: 幂 函 数 的 定义 来 自于实践, 它同指数函 数、对数函数一样,也 是基本初等函数, 同样 也是一种“形式定义” 的函数, 引导学生注意 辨析. 生: 利用所学知识和方 法尝试作出五个具体 幂函数的图象, 观察所 图象, 体会幂函数的变 化规律. 1.它们的对应法则分别是什么? 2.以上问题中的函数有什么共同特征? 师: 引导学生分析归纳 概括得出结论. 师生双边互动 生:独立思考完成引 例.

y ? x ? ( a ? R)
的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 下面我们举例学习这类函数的一些性质. 作出下列函数的图象: 组 (1) y ? x ; (2) y ? x ; (3) y ? x 2 ; (4) y ? x ?1 ; (5) y ? x 3 . 织
1 [解] ○ 列表(略) 2 ○ 图象

1 2





师: 引导学生应用画函 数的性质画图象,如: 定义域、奇偶性.

师生共同分析, 强调画 图象易犯的错误.

环节

教学内容设计

师生双边互动

材料二:幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并 且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且 在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时, 幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象 上凸;

师:引导学生观察图 象, 归纳概括幂函数的 的性质及图象变化规 律.

生:观察图象,分组讨 论, 探究幂函数的性质 和图象的变化规律, 并 ? (3) ? 0 时, 幂函数的图象在区间 (0,??) 上 展示各自的结论进行 是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时, 交流评析,并填表. 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于

? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.
材料三:观察与思考 组 观察图象,总结填写下表:
1

织 定义域 探 值域 奇偶性 单调性 究 定点

y?x

y ? x2

y ? x3

y ? x2

y ? x ?1

材料五:例题 [例 1] (教材 P92 例题) [例 2] 比较下列两个代数值的大小: (1) (a ? 1) , a
1.5
1 .5

师: 引导学生回顾讨论 函数性质的方法, 规范 解题格式与步骤. 并指出函数单调 性是判别大小的重要 工具, 幂函数的图象可 以在单调性、 奇偶性基 础上较快描出.

(2) (2 ? a 2 )

?

2 3

,2

?

2 3

2

[例 3] 讨论函数 y ? x 3 的定义域、奇偶性,作 出它的图象,并根据图象说明函数的单调性.

生:独立思考,给出解 答,共同讨论、评析.

环节

呈现教学材料

师生互动设计

1.利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂 的值的大小: (1) 2.3 , 2.4 ;
6
6

3 4

3 4

(2) 0.315 , 0.355 ; (3) ( 2 )
? 1

?

3 2

尝 试 练 习

, ( 3)
? 1 2

?

3 2



(4) 1.1 2 , 0.9



2.作出函数 y ? x 的图象,根据图象讨论这 个函数有哪些性质,并给出证明. 3.作出函数 y ? x ?2 和函数 y ? ( x ? 3) ?2 的图 象,求这两个函数的定义域和单调区间. 4.用图象法解方程: (1) x ? x ? 1 ; (2) x ? x ? 3 .
3 2

3 2

规律 1:在第一象限, 1.如图所示,曲线是幂 函数 y ? x ? 在第一象限内的 图 象 , 已 知 探 究 与 发 现 作直线 x ? a(a ? 1) , 它同各幂函数图象相 交, 按交点从下到上的 顺序, 幂指数按从小到 大的顺序排列. 2.在同一坐标系内,作出下列函数的图象,你 能发现什么规律? (1) y ? x
?3

? 分别取

1 ? 1,1, ,2 四个值,则相应图 2
象依次为: .

和y?x

?

1 3



规律 2:幂指数互为倒 数的幂函数在第一象 限内的图象关于直线

5

4

(2) y ? x 4 和 y ? x 5 .

y ? x 对称.
1.在函数 y ? 作业 回馈

1 , y ? 2 x 2 , y ? x 2 ? x, y ? 1 2 x
C.2 D.3 师生互动设计

中,幂函数的个数为: A.0 B.1

环节

呈现教学材料

2.已知幂函数 y ? f (x) 的图象过点 (2, 2 ) , 试求出这个函数的解析式. 3.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体 通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四 次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道中,流量速 率为 400cm3/s,求该气体通过半径为 r 的管道时, 其流量速率 R 的表达式; (3) (2) 已知 中的气体通过的管道半径为 5cm, 计算该气体的流量速率. 4.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口 的平均增长率为 x%, 2008 年底世界人口数为 (亿) y , 写出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界 人口数; (2)2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解 析式. 课 外 活 动 收 获 与 体 会 利用图形计算器探索一般幂函数 y ? x ? 的图 象随 ? 的变化规律. 1. 谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数 的奇偶性、单调性之间的关系? 2. 幂函数与指数函数的不同点主要表现在哪些 方面?


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