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1。1.1角的概念推广


1.1.1 角的概念的推广 一、学习目标: 1.掌握用“旋转”定义角的概念, 理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同 的角”的含义。 2.掌握所有与 α 角终边相同的角(包括 α 角)的表示方法。 3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程, 培养学生用运动变化观点审视事物, 从 而深刻理解推广后的角的概念。 二、教学重点、难点 重点:理解并掌握正角负角零角的定义,掌握终

边相同的角的表示方法. 难点:终边相同的角的表示. 三、教学过程: (一)、复习引入 初中是如何定义角的? 角的定义: 角的范围是: 这种定义称为静态定义,其弊端在于“狭隘” 问题(1):体操运动员转体 720?,跳水运动员向内、向外转体 1080?;经过 1 小时时针、 分针、秒针转了多少度?这些生活中很多实例中涉及的角在 [00 ,3600 ] 吗?方向 和初中定义的角的方向有何不同? 问题(2):从实例出发,发现很多问题中角的范围发生了变化这些例子不仅不在范围

[00 ,3600 ] ,而且,有必要将角的概念推广到任意角,想想用什么办法才能推广
到任意角? (二)新课讲授: 1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角

B O

α

A

一条射线由原来的位置 OA, 绕着它的端点 O 按 成角α .旋转开始时的射线 OA 叫做角α 的 的 ,射线的端点 O 叫做角α 的 ⑵.“正角”与“负角”“0 角” 我们把按 负角。 方向旋转所形成的角叫做正角,把按 .



旋转到另一位置 OB, 就形

,旋转终止的射线 OB 叫做角α

方向旋转所形成的角叫做

如图,以 OA 为始边的角α =210?,β =-150?,γ =660?,

2100

6600

-1500

问题(1):正角与负角有何本质区别? 问题(2):正角与负角的实际意义有何不同? 问题(3):角的概念推广以后应该包括哪些角? 特别地,当一条射线没有作任何旋转时,我们也认为这时形成了一个角,并把这个角叫 做 ⑶意义 用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了 1? 角有正负之分 3? 还有零角 如:?=210? ?=?150?
王新敞
奎屯 新疆

.记法:角 ? 或 ??

可以简记成 ?

王新敞
奎屯

新疆

?=660?

2? 角可以任意大 实例:体操动作:旋转 2 周(360?×2=720?) 3 周(360?×3=1080?) 一条射线,没有旋转 角、 角和 角.

角的概念推广以后,它包括任意大小的

注意:正角和负角是表示具有相反意义的旋转量,它的正负规定纯系习惯,就好象与正 数、负数的规定一样,零角无正负,就好象数零无正负一样. 2.“象限角” 为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点,角的始边合于 x 轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限, 我们就说这个角是 角(角的终边落在 ,则此角不属于任何一个象限) 问题(1):在坐标系中表示角时,对角的顶点与角的始边有什么要求? 问题(2):你对“角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限”这句话是怎么 理解的? 问题(3):分别举出几个第一、二、三、四象限角的例子。 问题(4):30?、390?、?330?、300?、?60?、585?、1180?、?2000?是第几象限角? 3.终边相同的角 问题(1):390?、?330?、1470?、 ?1770?角,它们的终边都与 30?角的终边有和关系? 390?=30?+( )×360? ?330?=30?+( ?1770?=30?+( 30?=30?+( )360?

1470?=30?+( )×360? )×360? )×360?

问题(2):试表示出与 30?终边相同的角。

问题(3):终边相同的角有何特点? 结论:用集合表示所有与?终边相同的角

S ? ? | ? ? ? ? k ? 360? , k ? Z 即:任何一个与角?终边相同的角,都可以表示成角?
与整数个周角的和
王新敞
奎屯 新疆

?

?

注意: ①k ?Z ; ②?是任意角; ③终边相同的角不一定相等,但是相等的一定终边相同,终边相同的角有无数多个,它们 相差 360?的整数倍。 (三)讲解范例: 例 1 在 0?到 360?范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它是哪个象限的角

(1) ? 120?(2)640? (3) ? 950?12 '

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奎屯

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例 2 写出与下列各角终边相同的角的集合 S, 并把 S 中在 ? 360 ? ~ 720 ? 间的角写出来:

⑴60?

⑵ ? 21 ?

⑶ 363 ?14 ?

王新敞
奎屯

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(四)课堂练习:1.锐角是第几象限的角?第一象限的角是否都是锐角?小于 90?的角 是锐角吗?0?~90?的角是锐角吗?

总结有关角的集合表示. 锐角:{θ |0?<θ <90?}, 0?~90?的角:{θ |0?≤θ ≤90?}; 小于 90?角:{θ |θ <90?}.

2.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的正半轴上,作出下列各角,并指 出它们是哪个象限的角? (1)420?,(2)-75?,(3)855?,(4)-510?.

4200
-750
8550

-5100

(五)巩固提高: 1.下列命题中正确的是( ) A.终边在 y 轴非负半轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角 C.第四象限角一定是负角 D.若β =α +k·360?(k∈Z) ,则α 与β 终边相同 2.与 120?角终边相同的角是( ) A.-600?+k·360?,k∈Z B.-120?+k·360?,k∈Z C.120?+(2k+1) ·180?,k∈Z D.660?+k·360?,k∈Z 3.若角α 与β 终边相同,则一定有( ) A.α +β =180? B.α +β =0? C.α -β =k·360?,k∈Z D.α +β =k·360?,k∈Z 4.与 1840?终边相同的最小正角为 ,与-1840?终边相同的最小正角 是 . 5.今天是星期一, 100 天后的那一天是星期 , 100 天前的那一天是星期 . 6.钟表经过 4 小时,时针与分针各转了 (填度). 7.在直角坐标系中,作出下列各角 (1)360? (2)720? (3)1080? (4)1440? 8.已知A={锐角} B={0?到 90?的角} C={第一象限角} , , ,D={小于 90?的角} . 求A∩B,A∪C,C∩D,A∪D. 9.将下列各角表示为α +k·360?(k∈Ζ ,0?≤α <360?)的形式,并判断角在第 几象限. (1)560?24′ (2)-560?24′ (3)2903?15′ (4)-2903?15′ (5)3900? (6)-3900? (六)归纳小结: 1、正角、负角和零角的概念,象限角的概念, 2、“象限角”和“区间角,要注意如果角的终边在坐标轴上, 3、终边相同的角的表示法.


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