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重点高中高二下学期数学竞赛(文科)


2012-2013 高二下学期竞赛——数学(文科)
2013-5-17

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 )
1、下列命题正确的是( )

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个

相交平面,则这条 直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 1 3 2.已知( x+ )n 展开式中的第五项是常数,则展开式中系数最大的项是( x A.第 10 项和第 11 项 B.第 9 项 C.第 8 项 )

D.第 8 项或第 9 项

3 .掷一个骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现” ,事件 B 表示“小于 5 的点数出现” ,

则一次试验中,事件 A ? B 发生概率为 ( A.



1 3
)

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

4.正四棱锥 PABCD 的底面边长为 2,侧棱长为 6,且它的五个顶点都在同一个球面上,则此球的 半径为( A.1

B.2

3 C. 2

D.3

5. 某班级英语兴趣小组有 5 名男生和 5 名女生, 现要从中选 4 名学生参加英语演讲比赛, 要求男生、 女生都有,则不同的选法有( A.210 种 B.200 种 ) C.120 种 D.100 种

6.箱子里有 5 个黑球,4 个白球,每次随机取出一个球,若取出黑球,则放回箱中,重新取球;若 取出白球,则停止取球,那么在第 4 次取球之后停止的概率为( )

C 3 ? C1 A. 5 4 4 C5

? 5? 4 B. ? ? ? ? 9? 9

3

C.

3 1 ? 5 4

?5? 4 D. C ? ? ? ? ?9? 9
1 4

3

7.如图所示,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的顶点均在同一个球面上,
B

A D C A1 C1 D1

AB ? AA1 ? 1 ,BC ? 2 , A ,B 两点间的球面距离为 则 (
1


B1

A、

? 4

B、

? 3

C、 ?

D、

? 6

8.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 AD 的中点,则异面直线 C1 E 与 BC 所成的角的余弦值 ( )

A.

10 5

B.

10 10

C.

1 3

D.

2 2 3


9、已知射线 OP、OA、OB 两两成

? 的角,则 OP 与平面 AOB 所成的角等于( 3
C、

A、

? 3

B、 arccos

3 3

? 4

D、

? 6

1 1 10.从甲袋中摸出一个红球的概率是 ,从乙袋中摸出一个红球的概率是 ,从两袋中各摸出 1 个球, 3 2 2 则 等于( 3 ) B.2 个球都是红球的概率 D.2 个球中恰好有 1 个红球的概率

A.2 个球都不是红球的概率 C.至少有 1 个红球的概率

11.受世界金融危机的影响,某出口企业为打开国内市场,计划在 5 个候选城市中建 4 个直销店, 且在同一个城市建直销店的个数不超过 2 个,则该企业建直销店的方案种数为( ) A. 45 B. 55 C. 85 D. 500 12.如右图所示,正五边形 ABCDE,若把顶点 A、B、C、D、E 染上 红、黄、绿、三种颜色中的一种,使得相邻顶点所染颜色不相同, 则不同的染色方法共有( ) A. 30 种 B. 27 种 C. 24 种 D. 21 种

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
13、 a 14、若(x- )9 的展开式中 x3 的系数是-84,则 a=__________. x 15、已知 P、A、B、C 是球 O 的表面上的四个点,PA=PB=PC=1,且 PA、PB、PC 两两互相垂直, 球 O 的体积为 16. 若 正 三 棱 柱 A B C? A B C 棱 长 均 相 等 , 则 AB1 与 侧 面 ACC1 A1 所 成 角 的 正 切 值 1 1 1的 为 .
2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分)
17.(本题满分 10 分)

18、

19.(本题满分 12 分)某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续 参加科目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会, 两个科目成绩均合格方可获得证书.现某 人参加这项考试, 科目 A 每次考试成绩合格的概率均为 假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (1)求他不需要补考就可获得证书的概率; (2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,求他考了三次试获得证书的概率.

2 1 , 科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 . 3 2

20、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且与底面 ABCD 垂直,底面 ABCD 是 边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , N 是 PB 中点,截面 DAN 交 PC 于 M . (1)求 PB 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)求证:平面 PBC ⊥平面 ADMN ; (3)求二面角 P ? AD ? N 的大小.

3

21、质检部门将对 12 个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检,若被抽检厂家的奶粉经检验合格,则 该厂家的奶粉即可投放市场;若检验不合格,则该厂家的奶粉 将不能投放市场且作废品处理。假定 这 12 个厂家中只有 2 个厂家的奶粉存在质量问题(即检验不能合格) ,但不知道是哪两个厂家的奶 粉。 (I)从中任意选取 3 个厂家的奶粉进行检验,求至少有 2 个厂家的奶粉检验合格的概率; (Ⅱ)每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验(抽检不重复) ,记首次抽检到合格奶粉时已经检 验出奶粉存在质量问题的厂家个数为随即变量 ? ,求 ? 的分布列及数学期望。

4


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