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空间几何之 高考之 山东历年计算题之 理


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空间几何之 高考之 山东历年计算题之 理
2013.18、 (本小题满分 12 分)如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别 是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH。 (Ⅰ)求证:AB//G

H; (Ⅱ)求二面角 D-GH-E 的余弦值
P

F E G B A C D Q H

2012. (18) (本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°, FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF。 (Ⅰ)求证:BD⊥平面 AED; (Ⅱ)求二面角 F-BD-C 的余弦值。

2011. 19、 (本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平行四边形, ?ACB ? 90 , EA ? 平面
0

ABCD , EF / / AB , FG / / BC , EG / / AC , AB ? 2 EF .
(Ⅰ)若 M 是线段 AD 的中点,求证: GM / / 平面 ABFE ; (Ⅱ)若 AC ? BC ? 2 AE ,求二面角 A ? BF ? C 的大小.

E F G A M D

B

C

2010. (19) (本小题满分 12 分)如图,在五棱锥 P—ABCDE 中,PA ? 平面 ABCDE, AB//CD, AC//ED, AE//BC,

?ABC ? 45?, AB ? 2 2, BC ? 2 AE ? 4 ,三角形 PAB 是等腰三角形。
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(Ⅰ)求证:平面 PCD ? 平面 PAC; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; (Ⅲ)求四棱锥 P—ACDE 的体积。

2009. (18) (本小题满分 12 分) 如图, 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 、F 分别是棱 AD、AA 1 、AB 的中点。 1.证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 ;2.求二面角 B-FC 1 -C 的余弦值。

2008.(20)(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA⊥平面 ABCD, ?ABC ? 60? ,E, F 分别是 BC, PC 的中点. (Ⅰ)证明:AE⊥PD; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为

6 ,求二面角 E—AF—C 的余弦值. 2

2007. 19(本小题满分 12 分)如图,在直四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,已知
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DC ? DD1 ? 2 AD ? 2 AB , AD ? DC , AB ? DC .
(I)设 E 是 DC 的中点,求证: D1E ? 平面A 1BD ; (II)求二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值.

D1

C1

A1

B1

D

E C

A

B

本类题的特征是:__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________ 本类题的做法是:__________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________________________

答案
2013.18、 (Ⅰ)证明:由已知得 EF, DC 分别为 ? PAB 和 ? QAB 的中位线 所以 EF//AB, DC//AB ,则 EF//DC 又 EF ? 平面 PDC, DC ? 平面 PDC 所以 EF//平面 PDC 又 EF ? 平面 QEF 且平面 QEF ? 平面 PDC=GH 所以 EF//GH 又因为 EF//AB 所以 AB//GH (Ⅱ)解:因为 AQ=2BD 且 D 为 AQ 中点 所以 ? ABQ 为直角三角形,AB ? BQ 又 PB ? 平面 ABC, 则 PB ? AB PB ? BQ=B 且 PB ? 平面 PBQ,BQ 平面 PBQ, 所以 AB ? 平面 PBQ 由(Ⅰ)知 AB//GH 所以 GH ? 平面 PBQ 则 GH ? FH, GH ? HC
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所以 ? FHC 即为二面角 D-GH-E 的平面角 由条件易知 ? PBC+ ? BFQ+ ? PCB+ ? FHC=2 ? 且 ? BFQ= ? PCB,tan ? BFQ=2 所以 cos ? FHC=cos(

3? 4 —2 ? BFQ)=—2sin ? BFQcos ? BFQ= 2 5

2012. 18.解析: (Ⅰ)在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠DAB=60°,CB=CD, 由余弦定理可知 BD2 ? CD 2 ? CB 2 ? 2CD ? CB ? cos( 1800 ? ?DAB) ? 3CD 2 , 即 BD ? 3CD ? 3 AD ,在 ?ABD 中,∠DAB=60°, BD ? 3 AD ,则 ?ABD 为直角三角形,且 AD ? DB 。 又 AE⊥BD, AD ? 平面 AED, AE ? 平面 AED,且 AD ? AE ? A ,故 BD⊥平面 AED; ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 可 知 AC ? CB , 设 CB ? 1 , 则 CA ? BD ? 3 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 ,

F (0,01), B(0,1,0), D(

3 1 ,? ,0) ,向量 n ? (0,0,1) 为平面 BDC 的一个法向量. 2 2

设向量 m ? ( x, y, z) 为平面 BDF 的法向量,

? 3 3 ? ? m ?BD ? 0 ? 则? ,即 ? 2 x ? 2 y ? 0 , ? ?m ? FB ? 0 ? ? y?z ?0
取 y ? 1 ,则 x ? 3, z ? 1 ,则 m ? ( 3,1,1) 为平面 BDF 的一个法向量.

cos ? m, n ??

m ?n mn

?

1 5

?

5 ,而二面角 F-BD-C 的平面角为锐角,则 5

二面角 F-BD-C 的余弦值为 2011. 19、几何法:

5 。 5

证明: (Ⅰ) EF / / AB , AB ? 2 EF 可知延长 BF 交 AE 于点 P ,而 FG / / BC , EG / / AC ,

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则 P ? BF ? 平面 BFGC , P ? AE ? 平面 AEGC ,即 P ? 平面 BFGC ? 平面 AEGC ? GC , 于是 BF , CG, AE 三线共点, FG / /

1 BC ,若 M 是线段 AD 的中点,而 AD/ /BC , 2

则 FG/ / AM ,四边形 AMGF 为平行四边形,则 GM / / AF ,又 GM ? 平面 ABFE , 所以 GM / / 平面 ABFE ; (Ⅱ)由 EA ? 平面 ABCD ,作 CH ? AB ,则 CH ? 平面 ABFE ,作 HT ? BF ,连接 CT ,则 CT ? BF ,于 是 ?CTH 为二面角 A ? BF ? C 的平面角。 若 AC ? BC ? 2 AE , 设 AE ? 1 , 则 A C?

B? C2 , AB ? 2 2, CH ? 2 , H 为 AB 的 中 点 ,

tan ?FBA ?

AE 2 AE 2 2 3 , sin ?FBA ? , ? ? ? 3 AB ? EF AB 2 2 2
CH 3 6 ? 3, ,在 Rt ?CHT 中 tan ?CTH ? ? HT 3 3

HT ? BH sin ?ABF ? 2 ?

? ? 则 ?CTH ? 60 ,即二面角 A ? BF ? C 的大小为 60 。

坐标法:
0 (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为平行四边形, ?ACB ? 90 , EA ? 平面 ABCD ,可得以点 A 为坐标原点,

AC , AD, AE 所在直线分别为 x, y, z 建立直角坐标系,
设 AC =a, AD ? b, AE ? c ,则 A(0, 0, 0) , C (a, 0, 0), D(0, b, 0), M (0, b, 0), B(a, ?b, 0) .

1 2 ???? ? ???? ??? ? ???? ? ???? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? ??? ? ??? ? ???? 由 FG / / BC 可得 FG ? ? BC ? ? AD(? ? R) , GM ? GF ? FA ? AM ? ? ? AD ? BA ? EA ? AD 2 2 ? 1 ??? ? ??? ? 1 1 ???? ? (? a, (1 ? ? )b, ?c) ,则 ? ? ? ? , GM ? BA ? EA ,而 GM ? 平面 ABFE , 2 2 2
由 EG / / AC 可得 EG ? ? AC(? ? R) , GM ? GE ? EA ? AM ? (?? a, b, ?c ) 所以 GM / / 平面 ABFE ; (Ⅱ) (Ⅱ)若 AC ? BC ? 2 AE ,设 AE ? 1 ,则 AC ? BC ? 2 ,

??? ?

??? ?

???? ?

??? ? ??? ? ???? ?

1 2

??? ? ???? ??? ? C (2, 0, 0), E(0, 0,1), B(2, ?2, 0), F (1, ?1,1) ,则 BC ? AD ? (0, 2,0) , BF ? (?1,1,1) ,
??? ? AB ? (2, ?2,0) ,设 n1 = ( x1, y1, z1 ), n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 分别为平面 ABF 与平面 CBF 的法向量。
则?

? 2 x1 ? 2 y1 ? 0 ,令 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1, z1 ? 0 , n1 = (1,1,0) ; ?? x1 ? y1 ? z1 ? 0

? 2 y2 ? 0 ,令 x2 ? 1 ,则 y2 ? 0, z2 ? 1, n2 ? (1,0,1) 。 ? ? ? x2 ? y 2 ? z 2 ? 0
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于是 cos ? n1 ,n2 ??

n1 ? n2 1 ? ,则 ? n1 ,n2 ?? 60? , n1 ? n2 2

即二面角 A ? BF ? C 的大小为 60? 。 2010. (19) 本小题主要考查空间中的基本关系, 考查线面垂直、 面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算, 考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力,满分 12 分。 (Ⅰ)证明:在 ?ABC 中,因为 ?ABC ? 45 °,BC=4, AB ? 2 2
2 2 2 ? 所以 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC ? cos 45 ? 8

因此 AC ? 2 2
2 2 2 故 BC ? AC ? AB 0 所以 ?BAC ? 90

又 PA ? 平面 ABCDE,AB//CD, 所以 CD ? PA, CD ? AC 又 PA,AC ? 平面 PAC,且 PA∩AC=A, 所以 CD ? 平面 PAC,又 CD ? 平面 PCD, 所以平面 PCD ? 平面 PAC。 (Ⅱ)解法一: 因为 ?APB 是等腰三角形, 所以 PA ? AB ? 2 2 因此 PB ?

PA2 ? AB2 ? 4

又 AB//CD, 所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离。 由于 CD ? 平面 PAC,在 Rt ?PAC 中,

PA ? 2 2, AC ? 2 2
所以 PC=4 故 PC 边上的高为 2,此即为点 A 到平面 PCD 的距离, 所以 B 到平面 PCD 的距离为 h ? 2. 设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 ? ,

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sin ? ?


h 2 1 ? ? PB 4 2 ,

? ? ? [, 0 ]


2

??
所以

?
6

.

解法二: 由(Ⅰ)知 AB,AC,AP 两两相互垂直,分别以 AB,AC,AP 为 x 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由于 ?PAB 是等腰三角形, 所以 PA ? AB ? 2 2 又 AC ? 2 2 , 因此 A(0,0,0), B(2 2,0,0), C(0, 2 2,0), P(0,0, 2 2) 因为 AC//DE, CD ? AC , 所以四边形 ACDE 是直角梯形, 因为 AE ? 2, ?ABC ? 45 , AE / / BC
0
0 所以 ?BAE ? 135 0 因此 ?CAE ? 45

CD ? AE ? sin 450 ? 2 ?
故 所以 D(? 2, 2 2,0)

2 ? 2 2

??? ? ??? ? CP ? (0, ? 2 2, 2 2), CD ? (? 2,0,0) 因此
设 m ? ( x, y, z ) 是平面 PCD 的一个法向量,

??? ? ??? ? m ? CP ? 0, m ? CD ?0 则
解得 x ? 0, y ? z 取 y ? 1, 得m ? (0,1,1)

??? ? BP ? (?2 2,0, 2 2) 又
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设 ? 表示向量 BP 与平面 PCD 的法向量 m 所成的角,

??? ?

??? ? m ? BP 1 ??? ? ? cos? ? | m || BP | 2 则

??
所以

?
3

? . 因此直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 6
(Ⅲ)因为 AC//ED, CD ? AC 所以四边形 ACDE 是直角梯形 因为 AE ? 2, ?ABC ? 45 , AE / / BC ,
0
0 所以 ?BAE ? 135 0 因此 ?CAE ? 45

CD ? AE ? sin 450 ? 2 ?


2 ? 2 2
2 ? 2 2

ED ? AC ? AE ? cos 450 ? 2 2 ? 2 ?

所以

S四边形ACDE ?

2?2 2 ? 2 ? 3. 2

又 PA ? 平面 ABCDE,

1 VP ?CDE ? ? 3 ? 2 2 ? 2 2 3 所以
2009. (18) 解法一: (1)在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,取 A1B1 的中点 F1,连接 A1D,C1F1,CF1, 因为 AB=4, CD=2,且 AB//CD, // 所以 CD=A1F1,A1F1CD 为平行四边形, 所以 CF1//A1D, 又因为 E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点, 所以 EE1//A1D, 所以 CF1//EE1,
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又因为

EE1 ? 平面 FCC 1 , CF1 ? 平面 FCC 1 ,

所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 . (2)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 取 CF 的中点 O,则 OB⊥CF, 又因为直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,CC1⊥平面 ABCD, 所以 CC1⊥BO, 所以 OB⊥平面 CC1F, 过 O 在平面 CC1F 内作 OP⊥C1F,垂足为 P,连接 BP, 则∠OPB 为二面角 B-FC 1 -C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中, OB ? 3 , 在 Rt△CC1F 中, △OPF∽△CC1F,

OP OF ? CC1 C1 F ∵

OP ?


1 2 ?2
2 2

?2 ?

2 2 ,

BP ? OP 2 ? OB 2 ?
在 Rt△OPF 中,

1 14 ?3 ? 2 2 ,

2 OP 7 cos ?OPB ? ? 2 ? BP 7 14 2 ,

7 所以二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为 7 .
解法二: (1)因为 AB=4, BC=CD=2, F 是棱 AB 的中点, 所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为 ABCD 为等腰梯形, 所以∠BAC=∠ABC=60°, 取 AF 的中点 M,连接 DM,则 DM⊥AB, 所以 DM⊥CD, 以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系,

3 1 ? 则 D(0,0,0),A( 3 ,-1,0),F( 3 ,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E( 2 , 2 ,0),E1( 3 ,-1,1),
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???? 3 1 ???? ? ???? ? ? EE1 ? ( , ? ,1) ??? CC ? (0,0, 2) FC CF ? ( 3, ? 1,0) 2 2 , 1 1 ? (? 3,1,2) 所以 ,

? n 设平面 CC1F 的法向量为 ? ( x, y, z) ? ??? ? ? n ? CF ? 0 ? ? ? ? ???? n ? CC ? 1 ?0 则?
? 3x ? y ? 0 ? ? ? z?0 所以 ? ? n 取 ? (1, 3,0) ,

? ???? 3 1 n ? EE1 ? ?1 ? ? 3 ? 1? 0 ? 0 2 2 则 , ? ???? n ? EE1 , 所以
所以直线 EE 1 //平面 FCC 1 .

?? ??? ? n ? ( x1, y1, z1 ) , FB ? (0, 2,0) (2) ,设平面 BFC1 的法向量为 1 ?? ??? ? ? ? n1 ? FB ? 0 ? ? ?? ???? n1 ? FC1 ? 0 ? ? 则
y1 ? 0 ? ? ? ?? 3 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 , 所以 ? ?? n ? (2,0, 3) , 取 1

? ?? n ? n1 ? 2 ?1? 3 ? 0 ? 0 ? 3 ? 2 , 则
? ?? | n |? 1 ? ( 3) 2 ? 2 | n1 |? 22 ? 0 ? ( 3) 2 ? 7
, ,

? ?? ? ?? n ? n1 2 7 cos? n, n1 ? ? ? ??? ? ? 7 | n || n1 | 2 ? 7 所以 ,

7 由图可知二面角 B-FC 1 -C 为锐角,所以二面角 B-FC 1 -C 的余弦值为 7 .
【命题立意】:本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能 力,以及应用向量知识解答问题的能力. 2008.(Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE⊥BC. 又 BC∥AD,因此 AE⊥AD. 因为 PA⊥平面 ABCD,AE ? 平面 ABCD,所以 PA⊥AE.
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而 PA ? 平面 PAD,AD ? 平面 PAD 且 PA∩AD=A, 所以 AE⊥平面 PAD,又 PD ? 平面 PAD. 所以 AE⊥PD. (Ⅱ)解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH, 由(Ⅰ)知 AE⊥平面 PAD, 则∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中,AE= 3 , 所以 当 AH 最短时,∠EHA 最大, 即 当 AH⊥PD 时,∠EHA 最大. 此时 tan∠EHA= EH.

AE 3 6 ? ? , AH AH 2

因此

AH= 2 .又 AD=2,所以∠ADH=45°,

所以 PA=2. 解法一:因为 PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 PAC, 所以 平面 PAC⊥平面 ABCD. 过 E 作 EO⊥AC 于 O,则 EO⊥平面 PAC, 过 O 作 OS⊥AF 于 S,连接 ES,则∠ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角, 在 Rt△AOE 中,EO=AE·sin30°=

3 3 ,AO=AE·cos30°= , 2 2

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ASO 中,SO=AO·sin45°=

3 2 , 4



SE ? EO2 ? SO2 ?

3 8 30 ? ? , 4 9 4
3 2 4 ? 15 , 5 30 4

SO ? 在 Rt△ESO 中,cos∠ESO= SE

即所求二面角的余弦值为

15 . 5
A 为坐标 为 BC 、

解法二:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又 E、F 分别 PC 的中点,所以 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以

A(0,0,0) ,B( 3 ,-1,0) ,C(C,1,0) ,

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D(0,2,0) ,P(0,0,2) ,E( 3 ,0,0) ,F(

3 1 , , ,1 ) 2 2

所以

??? ? ??? ? 3 1 AE ? ( 3,0,0), AF ? ( , ,1). 2 2

设平面 AEF 的一法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ),

??? ? ? m ? AE ? 0, ? 则 ? ??? ? ? ?m?AF ? 0,
? 3x1 ? 0, ? 因此 ? 3 1 x1 ? y1 ? z1 ? 0. ? ? 2 2


z1 ? ?1, 则m ? (0, 2, ?1),

因为 BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A, 所以 BD⊥平面 AFC, 故 又

??? ? BD 为平面 AFC 的一法向量. ??? ? BD =(- 3,3, 0 ) ,

??? ? ??? ? m?BD 2?3 15 ??? ? ? 所以 cos<m, BD >= ? . 5 | m |? | BD | 5 ? 12
因为 二面角 E-AF-C 为锐角,

所以所求二面角的余弦值为

15 . 5

2007.解::(I)连结 BE ,则四边形 DABE 为正方形,

? BE ? AD ? A1D1 ,且 BE ? AD ? A1D1 , ?四边形A1D1EB 为平行四边形, ? D1E ? A1B . ? D1E ? 平面A1BD,A1B ? 平面A1BD, ? D1E ? 平面A1BD.
(II) 以 D 为原点, DA, DC, DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系,不妨设 DA ? 1 ,则

D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C1 (0, 2, 2), A1(1,0, 2).
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???? ? ??? ? ? DA1 ? (1,0,2), DB ? (1,1,0).
设 n ? ( x, y, z) 为平面 A 1BD 的一个法向量, 由 n ? DA 1 , n ? DB 得 ?

?

?

???? ??

??? ?

?x ? 2 y ? 0 , ? x? y ?0

取 z ? 1 ,则 n ? (?2, ?2,1) . 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 C1BD 的一个法向量, 由 m ? DC, m ? DB 得 ? 取 z1 ? 1,则 m ? (1, ?1,1) .

?

??

??

???? ??
??

??? ?

?2 y1 ? 2 z1 ? 0 , ? x1 ? y1 ? 0

?? ? ?? ? m?n ?3 3 cos ? m, n ?? ?? ? ? ?? . 3 9? 3 m n
由于该二面角 A1 ? BD ? C1 为锐角, 所以所求的二面角 A1 ? BD ? C1 的余弦值为

3 . 3

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