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2014—2015学年高一数学第一学期寒假提升作业


2014—2015 学年高一数学第一学期寒假提升作业
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. 1. 对于任意的 ? ? R , sin 2? = A. 2sin ? 2.下列算式正确的是 A. log2 (3? ) ? log2 3 ? log2 ? C.
lg 6 ?2 lg 3

( C. 2 cos ? (

) D. cos2 ? ? sin 2 ? )

B. 2sin ? cos ?

B. 6 (?8) 2 ? 3 ?8 ? ?2 D. 5 2 ? 53? 2 ? 5 )
3

3.设集合 A, B 为全集 U 的子集,则右图中阴影部分表示的集合是( A. A ? B C. B ? ? UA B. A ? ? UB D. (痧 U A) ? ( U B)

4.已知 a 与 b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 | a ? b | 等于( A. 1 B. 2 C. 3 D. 2



5. 若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算, 参考数据如下表:
f (1) ? ?2 f (1.25) ? ?0.984 f (1.438) ? 0.165 f (1.5) ? 0.625 f (1.375) ? ?0.260 f (1.4065) ? ?0.052

那么方程 x3 ? x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1 )为( A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4

) D. 1.5 ( )

6.已知向量 a ,b ,且 AB ?a ? 2 b ,BC ? ?5a ? 6b ,CD ? 7a ? 2b ,则一定共线的三点是
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A. A, C, D

B. A, B, C

C. B, C, D

D. A, B, D )

7. 设方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , a ? 0 ,那么 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集是( A. {x | x ? x1} C. {x | x1 ? x ? x2} B. {x | x ? x2 } D. {x | x ? x1或x ? x2} ( )

8. 下列函数中,既是偶函数,又在 [0,1] 上单调递增的是 A. y ? cos x B. y ? ? x2

y ? sin x cos2 x C.

D. y ?| sin x |

9 .将函数 y ? sin 2x 的图象向左平移 ( ) A. y ? cos 2 x B. y ? 2cos2 x

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 4

? C. y ? sin(2 x ? ) 4

D. y ? 2sin 2 x

10.设函数 f ( x) ? loga ( x ? a ? 2) 在区间 (1, ??) 上恒为正值,则实数 a 的取值范围是( A. (1, 2] B. (1, 2) C. (0,1) ? (1, 2)
5 D. (1, ) 2



二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上. 11.若 cos ? ?
3 ,且 ? 的终边过点 P( x, 2) ,则 x ? 2

.

12. sin ? = 3cos ? ,则 tan ? =

.

13. 若函数 f ( x) 的图象与 y ? 2x 的图象关于________对称,则函数 f ( x) =_________. (注:填上你认为正确的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形) 14. 三个变量 y1 , y2 , y3 随 x 的变化情况如下表:

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x
y1 y2 y3

1.00 5 5 5.00

3.00 135 29 6.10

5.00 625 245 6.61

7.00 1715 2189 6.95

9.00 3645 19685 7.20

11.00 6655 177149 7.40

三个变量 y1 , y2 , y3 中, 变量_______随 x 呈对数函数型变化, 变量_______随 x 呈指数函数型变化, 变量_______随 x 呈幂函数变化. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 48 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 8 分) 已知集合 A ? {x | 3 ? x ? 7} , B ? {x | 0 ? x ? a} . (Ⅰ)若 a ? 5 ,求 A ? B 和 A ? B ; (Ⅱ)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围.

16.(本题满分 9 分) 已知向量 a ? (4, ?2) , b ? ( x,1) . (I) 若 a , b 共线,求 x 的值; (II)若 a ? b ,求 x 的值; (III)当 x ? 2 时,求 a 与 b 的夹角 ? 的余弦值.

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17.(本题满分 9 分) 已知 0 ? ? ?
? 4 , sin ? ? . 2 5

(I)求 cos? 的值;

? (II)求 tan(? ? ) 的值; 4
(III)求
sin(? ? ? ) cos( ?? ) tan( cos(? ? ? )

?
2

??)

的值.

18. (本题满分 8 分)

y

? 函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 的部分图象如右图所示. 3 y0
(I)写出 f ( x) 的最小正周期及图中 x0 , y0 的值; (II)求 f ( x) 在区间 [ ?

? ?
4 , 6

] 上的最大值和最小值.

O

x0

x

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19. (本题满分 7 分) (Ⅰ)证明:函数 f ( x) ? x ?
4 在 (0, 2] 上是减函数; x

(Ⅱ) 已知函数 f ( x) ? x ? 上是增函数.

a 有如下性质: 如果常数 a ? 0 , 那么该函数在 (0, a ] 上是减函数, 在 [ a , ??) x

设常数 a ? (1, 9) ,求函数 f ( x) ? x ?

a 在 x ? [1 ,3] 上的最大值和最小值. x

20. (本题满分 7 分) 对 于 函 数 f1 ( x), f2 ( x), h( x) , 如 果 存 在 实 数 a, b 使 得 h( x) ? a ? f1 ( x) ? b ? f 2 ( x) , 那 么 称 h( x) 为

f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数.
(Ⅰ)下面给出两组函数, h( x) 是否分别为 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数?并说明理由;

? 第一组: f1 ( x) ? sin x, f 2 ( x) ? cos x, h( x) ? sin( x ? ) ; 3
第二组: f1 ( x) ? x 2 ? x , f 2 ( x) ? x 2 ? x ? 1 , h( x) ? x 2 ? x ? 1 ; (Ⅱ)设 f1 ( x) ? log 2 x, f 2 ( x) ? log 1 x, a ? 2, b ? 1
2

,生成函数 h( x) .

若不等式 3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,求实数 t 的取值范围.

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参考答案 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 A 5 C 6 D 7 C 8 D 9 B 10 A

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分.

13(多种答案, 题号 11 12 请酌情给分) 答案 14

2 3

3

y轴

2? x

y3

y2

y1

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 48 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 8 分) 解: A ? {x | x2 ?10x ? 21 ? 0} ? {x | 3 ? x ? 7} (Ⅰ) a ? 5 ,? B ? {x | 0 ? x ? 5} …………2 分

? A ? B ? {x | 0 ? x ? 7} , A ? B ? {x | 3 ? x ? 5}
(Ⅱ)若 A ? B ? ? ,则 a ? 3 16.(本题满分 9 分) 解: (I) a , b 共线,? 4 ? 1 ? ?2 x ,? x ? ?2 ;

…………4 分 …………5 分 …………8 分

…………3 分

1 (II) a ? b ,? 4 x ? 2 ? 0 ,? x ? ; 2

…………6 分

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(III)当 x ? 2 时, a ? b ? 4 ? 2 ? 2 ?1 ? 6 , | a |? 2 5,| b |? 5 ,

? cos ? ?

a ?b 3 ? . | a || b | 5

…………9 分

17. (本题满分 9 分) 解: (I) 0 ? ? ?

? 4 3 , sin ? ? ,? cos ? ? ; 2 5 5

…………2 分

(II) tan ? ?

4 3

…………4 分

tan(? ?

?
4

) ? ?7

…………6 分

(III)

sin(? ? ? ) cos( ?? ) tan( cos(? ? ? )

?
2

??)

=

sin ? cos ? cot ? 3 = ? sin ? cot ? ? ? cos ? ? ? . ? cos ? 5

…………9 分

18. (本题满分 8 分) 解: (I) f ( x) 的最小正周期为 ? , x0 ?
5 ? , y0 ? 2 . 12

…………4 分

(II)因为 x ? [?

? ?
4 6 ,

] ,所以 2 x ?

?
3

? [?

5? , 0] . 6

于是,当 2 x ?

?
3

? 0 ,即 x ?

?
6

时, f ( x) 取得最大值 0 ;

当 2x ?

?
3

??

?
2

,即 x ? ?

?
12

时, f ( x) 取得最大值 ?2

…………8 分

19.(本题满分 7 分) (Ⅰ)证明:设 x1 , x2 是 (0, 2] 内的任意两个不相等的实数,且 x1 ? x2 ,则 ?x ? x2 ? x1 ? 0 ,
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?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? ? ( x2 ? x1 ) ?

4 4 4 4 ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? x1 ) ? ( ? ) x2 x1 x2 x1

4( x1 ? x2 ) ( x x ? 4) 4 ? ( x2 ? x1 )(1 ? ) ? ?x ? 1 2 x2 x1 x2 x1 x2 x1

0 ? x1 ? x2 ? 2 ,?0 ? x1 x2 ? 4 ,? x1 x2 ? 4 ? 0 ,

??y ? 0 .
因此,函数 f ( x) ? x ?
4 在 (0, 2] 是减函数. x

…………3 分

(Ⅱ) a ? (1,9) ,?1 ? a ? 3 所以,函数 f ( x) ? x ?
a 在 [1, a ] 上是减函数,在 [ a ,3] 上是增函数. x

…………4 分

?当x ? a 时,函数 f ( x) 有最小值 2 a ;
又 f (1) ? 1 ? a, f (3) ? 3 ?
a , 3

…………5 分

最大值进行如下分类讨论: (ⅰ)当 f (1) ? f (3) 时,即 3 ? a ? 9 时,当 x ? 1 时,函数 f ( x) 有最大值 1 ? a ;……6 分 (ⅱ)当 f (1) ? f (3) 时,即 1 ? a ? 3 时,当 x ? 3 时,函数 f ( x) 有最大值 3 ? 20. (本题满分 7 分)
a . ……7 分 3

? 1 3 解: (Ⅰ)① 设 a sin x ? b cos x ? sin( x ? ) ,即 a sin x ? b cos x ? sin x ? cos x , 3 2 2
1 3 取a ? , b ? ,所以 h( x) 是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. 2 2

…………2 分

② 设 a( x2 ? x) ? b( x2 ? x ? 1) ? x2 ? x ? 1,即 (a ? b) x2 ? (a ? b) x ? b ? x2 ? x ? 1,
?a ? b ? 1 ? 则 ? ? a ? b ? ?1,该方程组无解.所以 h( x) 不是 f1 ( x), f 2 ( x) 的生成函数. ?b ? 1 ?

…4 分

(Ⅱ) h( x) ? 2 f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 2log 2 x ? log 1 x ? log 2 x
2

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若不等式 3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 在 x ?[2, 4] 上有解,

3h2 ( x) ? 2h( x) ? t ? 0 ,即 t ? ?3h2 ( x) ? 2h( x) ? ?3log2 2 x ? 2log 2 x
2 设 s ? log2 x ,则 s ? [1, 2] , y ? ?3log2 2 x ? 2log2 x ? ?3s ? 2s ,

ymax ? ?5 ,故, t ? ?5 .

………7 分

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