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上海市普陀区2015届高三12月质量调研(一模)数学文试题 Word版含答案


2014 学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷
考 2014.12 1.答卷前, 考生务必在答题纸上将姓名、 考试号填写清楚, 并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 3.本试卷另附答题纸,每道题的解答必须写在答题纸的相 .........应位置,本卷上任何解答都不 ............. 作评分依据

. ..... 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的 空格中.每个空格填对得 4 分,填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. 若集合 A ? {x | lg x ? 1} , B ? { y | y ? sin x, x ? R} ,则 A ? B ? . 生 注 意 :

an ? 1 ,则常数 a ? . n?2 1 3. 若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? 的最小值为 x ?1
2. 若 lim
n ??

.

A1 B1
.

C1

4. 函数 y ? tan? x ?

? ?

??

? 的单调递增区间是 4?
.

5. 方程 lg x ? lg( x ? 1) ? lg 6 的解 x ?

A B
第6题

C

6. 如图,正三棱柱的底面边长为 1 ,体积为 3 ,则异面直线 A1 A 与 B1C 所成的角的大小为 7. 若方程 (结果用反三角函数值表示). .

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则实数 k 的取值范围是 | k | ?2 3 ? k

8. 函数 f ( x) ? 1 ?

x ? 1 ( x ? 2 )的反函数是
8

.

? 1 ? 5 ? 9. 在二项式 ? ?x? ? 的展开式中,含 x 项的系数为 x? ?
10 . 若 抛 物 线 y ?
2

(结果用数值表示).

4x m

( m ? 0 )的焦点在圆 x ? y ?1 外,则实数 m 的取值范围
2 2



.

C 的对边分别为 a 、 b、 c ? 2 ,A ? 120? , 11. 在 ?ABC 中, 三个内角 A 、B 、 若a ? 2 3, c,
则 S ?ABC ? .

-1-

12. 若无穷等比数列 {an } 的各项和等于公比 q ,则首项 a1 的取值范围是 13. 设 a 为大于 1 的常数, 函数 f ( x) ? ?

.

?loga x x ? 0 ?a
x

x?0

, 若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? b ? f ( x) ? 0 .

恰有三个不同的实数解,则实数 b 的取值范围是

14. 四面体的顶点和各棱中点共有 10 个点,在其中取四个不共面的点, 不同的取法共有 .
第 14 题

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个结论是正确的,必须把 正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得 5 分,不选、选错或选出的代号超过 一个(不论是否都写在空格内) ,或者没有填写在题号对应的空格内,一律得零分. 15 . 若

a?b?0











等 )

















是????????????????????(

( A) a 2 ? ab ? b 2 (C ) a 2 ? b 2 ? ab

( B ) a 2 ? ab ? b 2 ( D) a 2 ? b 2 ? ab

16. “ 点 M 在 曲 线 y 2 ? 4 x 上 ” 是 “ 点 M 的 坐 标 满 足 方 程 2 x ? y ? 0 ” 的??????????( )

( A) 充分非必要条件 (C ) 充要条件
17. 要 得 到 函 数 y ? cos? 2 x ? 像????????????(

( B ) 必要非充分条件 ( D) 既非充分也非必要条件

? ?

??


? 的 图 像 , 只 需 将 函 数 y ? sin 2 x A的 图 4?

? 个单位 8 ? (C ) 向左平移 个单位 4
( A) 向左平移

? 个单位 8 ? ( D) 向右平移 个单位 4
( B ) 向右平移
B P1 P2 P 3

Pk
第 18 题

Pn ?1C

18. 若在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 BC 上有 n ( n ?N*, n ? 2 )等分点, 沿 向 量

BC













P 1, P 2 ,?, P n?1





Tn ? AB ? AP 1 ? AP 1 ? AP 2 ? ? ? AP n ?1 ? AC ,
-2-

若给出四个数值:① ( )

232 29 197 91 ② ③ ④ ,则 Tn 的值不可能的共有??????? 4 18 10 33

( A) 1 个

( B) 2 个

(C ) 3 个

( D) 4 个

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内 写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 已知 P 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的一点,求 P 到 M (m,0) ( m ? 0 )的距离的最小值. 4 2

20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2 sin 2 x ? b sin x cos x 满足 f ( ) ? 2

?

6

(1)求实数 b 的值以及函数 f ( x) 的最小正周期; (2)记 g ( x) ? f ( x ? t ) ,若函数 g ( x) 是偶函数,求实数 t 的值.

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在两块钢板上打孔,用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图 1)穿在一起,在 没有帽的一端锤打出一个帽,使得与钉帽的大小相等,铆合的两块钢板,成为某种钢结构的 配件,其截面图如图 2.(单位:mm) (加工中不计损失). (1)若钉身长度是钉帽高度的 2 倍,求铆钉的表面积; (2)若每块钢板的厚度为 12 mm,求钉身的长度(结果精确到 1 mm).
20 38

12 20 12

19 -338 图1 图2

19

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分,第(3)小 题5分 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? an ? 4 , n ?N* (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)已知 cn ? 2n ? 3 ( n ?N*) ,记 d n ? cn ? logC an ( C ? 0 且 C ? 1 ),是否存在这样的常 数 C ,使得数列 {d n } 是常数列,若存在,求出 C 的值;若不存在,请说明理由. (3)若数列 {bn } ,对于任意的正整数 n ,均有

b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2

n?2 ?1? 成立,求证:数列 {bn } 是等差数列; ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ? 2?

n

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小 题8分 已知函数 y ? f ( x) ,若在定义域内存在 x0 ,使得 f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 成立,则称 x0 为函数

f ( x) 的局部
对称点.
2 (1)若 a ?R 且 a ? 0 ,证明:函数 f ( x) ? ax ? x ? a 必有局部对称点;

(2)若函数 f ( x) ? 2 ? b 在区间 [?1,2] 内有局部对称点,求实数 b 的取值范围;
x

(3)若函数 f ( x) ? 4 ? m ? 2
x

x ?1

? m2 ? 3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值范围.

2014 学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的 空格中.每个 空格填对得 4 分,填错或不填在正确的位置一律得零分.

-4-

1. (0, 1]

2.1

3.3

4. ? k? ? 8. f
?1

? ?

?
4

.k? ?

3? ? ?( k ? Z ) 4 ?

5.3

6. arctan

1 4

7. (?2, 2) ? (3,??)

( x) ? x 2 ? 2x ? 2 ( x ? 0)
13. 0 ? b ? 1 14. 141

9.28 10. 0 ? m ? 1

11. 3 12. ( ?2,0) ? (0, ]

1 4

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个结论是正确的,必须把 正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得 5 分,不选、选错或选出的代号超过 一个(不论是否都写在空格内) ,或者没有填写在题号对应的空格内,一律得零分. 题号 答案 15 B 16 B 17 A 18 D

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸规定的方框内 写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 【解】设 P( x, y ) ,其中 ? 2 ? x ? 2 ????????2 分 则 | PM | 2 ? ( x ? m) 2 ? y 2 = ( x ? m) ? 2 ?
2

1 2 1 2 x ? x ? 2mx ? m 2 ? 2 ??5 分 2 2

?

1 ( x ? 2m) 2 ? 2 ? m 2 ,对称轴 x ? 2m ? 0 ??7 分 2

(1) 若 0 ? 2m ? 2 ,即 0 ? m ? 1 ,此时当 x ? 2 m 时, | PM | min ? (2) 若 2 m ? 2 ,即 m ? 1 ,此时当 x ? 2 时,| PM | min ? 11 分 综上所述, | PM | min ? ?

2 ? m 2 ;??9 分

m 2 ? 4m ? 4 ?| m ? 2 | ;??

? ? 2 ? m 2 ,0 ? m ? 1 ????12 分 ? ?| m ? 2 |, m ? 1

20. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 【解】 (1)由 f ?


1 1 3 ?? ? ? 2 ??2 分,解得 b ? 2 3 ??3 分 ? ? 2 ,得 2 ? ? b ? ? 4 2 2 ?6?

b?2 3





f ( x) ? 2 s

2

xi ? 2 3n s x c i x on 得 s

f ( x) ? 2 sin 2 x ? 2 3 sin x cos x
所以

f ( x) ? 1 ? cos2 x ? 3 sin 2 x ??4 分
? 1 ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ????5 分 2? ? ? ????6 分 2

所以函数

f ( x) 的最小正周期 T ?

-5-



2







1







f ( x ? t ) ? 2 s i2( x n ? t[) ?

?
6

] ?1







?? ? g ( x) ? 2 s ? i 2 xn? 2t ? ? ? 1 ??8 分 6? ?
函数 g ( x) 是偶函数,则对于任意的实数 x ,均有 g (? x) ? g ( x) 成立。 所以 sin ?? 2t ?

?? ??

??

? ?? ? ?? ? ? 2 x? ? sin ?? 2t ? ? ? 2 x? ????10 分 6? 6? ? ?? ?

整理得, cos? 2t ?

? ?

??

? sin x ? 0 ??(﹡)??????12 分 6? ? ?

(﹡)式对于任意的实数 x 均成立,只有 cos? 2t ? 所以 t ?

??

? ? ? ? 0 ,解得 2t ? ? k? ? , 6 2 6?

k? ? ? , k ? Z ????14 分 2 3

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 【解】设钉身的高为 h ,钉身的底面半径为 r ,钉帽的底面半径为 R ,由题意可知:??1 分 (1) 圆柱的高 h ? 2 R ? 38 ??2 分 圆柱的侧面积 S1 ? 2?rh ? 760 ? ??3 分 半球的表面积 S 2 ?

1 ? 4?R 2 ? ?R 2 ? 1083? ??5 分 2

2 所以铆钉的表面积 S ? S1 ? S 2 ? 760? ? 1083? ? 1843? ( m m )??7 分

(2) V1 ? ?r ? h1 ? 100? 24? ? ? 2400 ? ??8 分
2

V2 ?

1 4 2 13718 ? ? ? ? ? R 3 ? ? 19 3 ? ? ? ??9 分 2 3 3 3

设钉身长度为 l ,则 V3 ? ?r 2 ? l ? 100?l ??10 分 由于 V3 ? V1 ? V2 ,所以 2400? ? 解得 l ? 70 mm??13 分

13718 ? ? 100?l ,??12 分 3

?m m ,钉身的长度约为 70 mm 。 答:钉身的表面积为 1843
2

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分,第(3)小 题5分 【解】 (1) a1 ? 4 ? a1 ,所以 a1 ? 2 ??????????1 分
-6-

由 S n ? an ? 4 得 n ? 2 时, S n?1 ? an?1 ? 4 ??2 分 两式相减得, 2an ? an?1 ,

an 1 ? ,??3 分 a n ?1 2
1 * 的等比数列,所以 an ? 22?n ( n ? N )??5 2

数列 {an } 是以 2 为首项,公比为 分 (2)由于数列 {d n } 是常数列

d n = cn ? logC an ? 2n ? 3 ? (2 ? n) logC 2 ??????6 分
?

2n ? 3 ? 2 logC 2 ? n logC 2

? (2 ? logC 2)n ? 3 ? 2 logC 2





数??????7 分 只有 2 ? logC 2 ? 0 ,??????8 分;解得 C ? 此时 d n ? 7 ??10 分 (3) b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2

2 ,??????9 分

n?2 ?1? ??① ? ? ? bn a1 ? ? ? ? 2 ? 2?

n

n ? 1 , b1 a1 ?

1 3 1 ? ? ?1 ,其中 a1 ? 2 ,所以 b1 ? ? ????11 分 2 2 2

当 n ? 2 时, b1an?1 ? b2 an?2

?1? ? b3 an?3 ? ? ? bn?1a1 ? ? ? ? 2?

n ?1

?

n ?1 ??②??12 分 2
n

1 n ?1 ?1? ②式两边同时乘以 得, b1an ? b2 an?1 ? b3 an?2 ? ? ? bn?1a2 ? ? ? ? ??③13 分 2 4 ? 2?
①式减去③得, bn a1 ?

?n?3 n 3 ,所以 bn ? ? ? ??14 分 4 8 8 1 且 bn ?1 ? bn ? ? ??15 分 8 1 1 所以数列 {bn } 是以 ? 为首项,公差为 ? 的等差数列。??16 分 8 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小 题8分 【解】 (1)由 f ( x) ? ax ? x ? a 得 f (? x) ? ax ? x ? a ??1 分
2 2 2 2 代入 f (? x) ? f ( x) ? 0 得, ax ? x ? a ? ax ? x ? a ? 0 ,
2 得到关于 x 的方程 ax ? a ? 0 ( a ? 0 ) ,??2 分

?

? ?

?

-7-

2 其中 ? ? 4a ,由于 a ? R 且 a ? 0 ,所以 ? ? 0 恒成立??3 分

所以函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? a ( a ? 0 )必有局部对称点。??4 分 (2)方程 2 ? 2
x ?x

? 2m ? 0 在区间 [?1,2] 上有解,于是 ? 2m ? 2 x ? 2 ? x ??5 分
1 ? t ? 4 ,??6 分 2 1 17 其中 2 ? t ? ? ??9 分 t 4

x 设t ? 2 ( ?1 ? x ? 2 ) ,

1 ? 2m ? t ? ??7 分 t 17 ? m ? ?1 ??10 分 所以 ? 8

(3) f (? x) ? 4 ? x ? m ? 2 ? x?1 ? m 2 ? 3 ,??11 分 由于 f (? x) ? f ( x) ? 0 , 所以 4 ? x ? m ? 2 ? x?1 ? m 2 ? 3 ? ?(4 x ? m ? 2 x?1 ? m 2 ? 3) ?? 13 分 于是 (4 x ? 4 ? x ) ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ? 2(m 2 ? 3) ? 0 ??(*)在 R 上有解??14 分 令2 ? 2
x ?x x ?x 2 ? t (t ? 2 ) ,则 4 ? 4 ? t ? 2 ,??15 分 2 2

所以方程(*)变为 t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在区间 [2,??) 内有解,需满足条件:

?? ? 4m 2 ? 8(m 2 ? 4) ? 0 ? ??16 分 ? 2m ? 4(8 ? m 2 ) ?2 ? 2 ?
即?

? ?? 2 2 ? m ? 2 2 ,化简得 1 ? 3 ? m ? 2 2 ??18 分 ? 1 ? 3 ? m ? 2 2 ?

-8-


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