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第5讲 函数的值域与最值


第5讲

函数的值域与最值

【学习目标】 理解函数的最大(小)值的概念及几何意义,熟练掌 握基本初等函数的值域, 掌握求函数的值域和最值的基 本方法.

【基础检测】 1.设函数 f(x)的定义域为 R,有下列三个命题: ①若存在常数 M,使得对任意 x∈R,有 f(x)≤M, 则 M 是函数 f(x)的最大值; ②若存在 x0∈R,使得对任意 x∈R,且 x≠x0,有 f(x)<f(x0),则 f(x0)是函数 f(x)的最大值; ③若存在 x0∈R, 使得对任意 x∈R, 有 f(x)≤f(x0), 则 f(x0)是函数 f(x)的最大值. 这些命题中,正确命题的个数是 ( C ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
【解析】根据最大值的定义,对于①M 可能是最 大值, 也可能是比最大值还大的数; ②③则显然与最大 值的定义是一致的,因此是正确的.

2.函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( A ) A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(1,+∞) D.[1,+∞)
【解析】 ∵3x + 1 > 1 , ∴f(x) = log2(3x + 1) > log21 =0.故选 A.

1 3.函数 f(x)= 的最大值是( D ) 1-x(1-x) 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3

【解析】

? 1?2 3 3 1-x(1-x)=?x-2? + ≥ , 4 4 ? ?

1 4 所以 0< ≤ .故选 D. 1-x(1-x) 3

4. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1 -x),且 f(x)在区间[3,5]上单调递增,则函数 f(x)在区 间[1,3]上的( A ) A.最大值是 f(1),最小值是 f(3) B.最大值是 f(3),最小值是 f(1) C.最大值是 f(1),最小值是 f(2) D.最大值是 f(2),最小值是 f(3)

【解析】依题意得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, f(x+1)=-f(x-1),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+ 2)=f(x), 即函数 f(x)是以 4 为周期的函数. 由 f(x)在[3, 5]上是增函数与 f(x)的图象关于直线 x=1 对称得,f(x) 在[-3,-1]上是减函数.又函数 f(x)是以 4 为周期的 函数,因此 f(x)在[1,3]上是减函数,f(x)在[1,3]上的 最大值是 f(1),最小值是 f(3).故选 A.

【知识要点】 1.函数的值域

函数值y 的集合,记为{y|y 函数 f(x)的值域是____________
=f(x),x∈A},其中 A 为 f(x)的定义域. 2.常见函数的值域

R (1)一次函数 y=kx+b(k≠0)的值域为________ .
(2)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0), 当 a>0 当 a<0
?4ac-b2 ? ? ? 时,值域为? ,+∞?; 4a ? ?
2? ? 4 ac - b ? 时,值域为? . -∞, ? 4a ? ? ?

k (3) 反 比 例 函 数 y = x (k≠0) 的 值 域 为

(-∞,0)∪(0,+∞) _______________________ .
(4) 指 数 函 数 y = ax(a > 0 且 a≠1) 的 值 域 为

(0,+∞) . ___________
(5)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的值域为____ ________ . R (6) 正、余弦函数 y = sin x , y = cos x 的值域为

[-1,1] ;正切函数 y=tan x 的值域为________ R ___________ .

3.函数的最值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实 数 M: (1)若?x∈I,f(x)≤M 且?x0∈I,f(x0)=M,则称

最大值 M 为 f(x)的____________ .
(2)若?x∈I,f(x)≥M 且?x0∈I,f(x0)=M,则称

最小值 M 为 f(x)的____________ .

一、函数值域的求法 例1求下列函数的值域: (1)y=2x+ 1-x; (2)y=2x+ 1-x2; x2-2x+5 (3)y= ; x- 1 (4)若 x,y 满足 3x2+2y2=6x,求函数 z=x2+y2 的值域.

【解析】(1)令 t= 1-x(t≥0),∴x=1-t2, ∴y=2(1-t )+t=-2t
2 2

? 1?2 17 +t+2=-2?t-4? + . 8 ? ?

? 17? 17 ∵t≥0,∴y≤ ,故函数的值域为?-∞, 8 ?. 8 ? ?

(2)令 x=cos t(0≤t≤π),∴y=2cos t+sin t= 5
? sin(t+φ)?其中cos ?

1 2? φ= ,sin φ= ?. 5 5? ∵ 0 ≤ t ≤ π , ∴φ≤t + φ≤ π + φ , ∴sin(π + φ)≤sin(t+φ)≤1. 故函数的值域为[-2, 5].

x2-2x+5 (x-1)2+4 (3)解法一:∵y= = = ( x- x-1 x-1 4 1)+ ,又∵x>1 时,x-1>0,x<1 时,x-1<0, x- 1 4 ∴当 x>1 时,y=(x-1)+ ≥2 4=4,当且仅当 x x-1 =3 时,等号成立; ? ? 4 ? ? 当 x<1 时, y=-?-(x-1)+-(x-1)?≤-4, ? ? 当且仅当 x=-1,等号成立. ∴函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). x2-2x+5 解法二:∵y= ,∴x2-(y+2)x+(y+5) x- 1 =0,

又∵函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞), ∴方程 x2-(y+2)x+(y+5)=0 有不等于 1 的实根. ∴Δ=(y+2)2-4(y+5)=y2-16≥0,解得 y≤-4 或 y≥4. 当 y=-4 时,x=-1;y=4 时,x=3.故所求函数 的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞). (4)∵3x2 + 2y2 = 6x , ∴2y2 = 6x - 3x2 ≥ 0 , 解 得 0≤x≤2. 3 2 1 2 1 2 2 2 z = x + y = x + 3x- x =- x +3x=- (x- 3)2 2 2 2 9 + .∵对称轴为 x=3>2, 2 即 z 在 x∈[0,2]上单调递增.∴当 x=0 时,z 有 最小值 0,当 x=2 时,z 有最大值 4,故所求函数的值 域为[0,4].

【点评】求函数值域的常用方法:①单调性法,② 配方法,③分离常数法,④数形结合法,⑤换元法(包 括代数换元与三角换元),⑥判别式法,⑦不等式法, ⑧导数法, 主要是针对在某区间内连续可导的函数;⑨ 图象法, 求分段函数的值域通常先作出函数的图象, 然 后由函数的图象写出函数的值域; 对于二元函数的值域 问题, 其解法要针对具体题目的条件而定. 求函数的值 域是个较复杂的问题,它比求函数的定义域难度要大, 而单调性法, 即根据函数在定义域内的单调性求函数的 值域是较为简单且常用的方法,应重点掌握.

二、函数的最值及应用 例2(1)在平面直角坐标系 xOy 中, 过坐标原点的一 2 条直线与函数 f(x)=x的图象交于 M,N 两点,求线段 MN 长的最小值; ?1 ? 1 1 (2)已知函数 f(x)= - (a>0, x>0). 若 x∈?2,2?时 a x ? ? 1 函数 f(x)取得最小值 ,最大值 2,求 a 的值; 2 (3)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小 值.设 f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),求 f(x)的最 大值.

【解析】(1)设过原点与 f(x)相交的直线方程为 y= 2 kx(k>0) , 该 直 线 与 函 数 f(x) = x 的 交 点 坐 标 为 ? ? ? ? 2 2 ? ?和?- ?,则线段 MN 的长|MN| , 2 k ,- 2 k k k ? ? ? ? 2 2 =2 +2k≥4,当且仅当 =2k 即 k=1 时上式取等 k k 号,即线段 MN 长的最小值为 4. ?1 1? 1 1 1 ? ? (2)因为 f(x)=a-x,所以 f′(x)= a-x ′= 2>0, x ? ? ?1 ? 所以 f(x)在(0,+∞)上为增函数.因为 x∈?2,2?时函 ? ? ?1 ? 1 数 f(x)取得最小值 ,最大值 2,又 f(x)在?2,2?上单调 2 ? ? ?1? 1 2 ? ? 递增,所以 f 2 = ,f(2)=2,故 a= . 5 ? ? 2

(3)如图所示,在同一坐标系中作出 y=x+2,y= 2x , y = 10- x(x≥0) 的图象.根据 f(x) 定义知, f(x) = min{2x,x+2,10-x)(x≥0)的图象(如图实线部分).

?2x,0≤x≤2, ? ∴f(x)=?x+2,2<x<4,令 x+2=10-x,得 x=4.当 x ?10-x,x≥4. ? =4 时,f(x)取最大值 f(4)=6.

【点评】函数最值的求法有:单调性法,基本不等 式法, 导数法, 化归为一元二次函数法, 数形结合法等.

三、含参变量的函数值域与最值问题 例3已知函数 f(x)的值域为[0,4](x∈[-2,2]),函 数 g(x)=ax-1,x∈[-2,2].若?x1∈[-2,2],总 ?x0∈[-2,2],使得 g(x0)=f(x1)成立,求实数 a 的取 值范围.

【解析】只需要函数 f(x)的值域是函数 g(x)值域的 子集即可. 当 a>0 时,g(x)=ax-1 单调递增.∵x∈[-2, 2] , ∴ - 2a - 1≤g(x)≤2a - 1 ,要使条件成立,只需
? ?-2a-1≤0, ? ? ?2a-1≥4,

1 ? ?a≥-2, 5 ? ∴ ∴a≥ . 2 5 ?a≥ , ? 2

当 a<0 时,g(x)=ax-1 单调递减.∵x∈[-2, 2],∴2a-1≤g(x)≤-2a-1,要使条件成立, 1 ? ? ?a≤2, ?2a-1≤0, 5 ? 只需 ∴? ∴a≤- . 2 ? 5 ?-2a-1≥4. ? a≤- , ? 2 ? ? 5? ?5 综上,a 的取值范围是?-∞,-2?∪?2,+∞?. ? ? ? ?

【点评】 含量词的命题常常可转化为最值问题分析 讨论.

例4若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在 区间[a,b]?D(其中 a<b),使得当 x∈[a,b]时,f(x) 的取值范围恰为[a, b], 则称函数 f(x)是 D 上的正函数, 区间[a,b]叫做等域区间. 1 (1)已知 f(x)=x2是[0,+∞)上的正函数,求 f(x) 的等域区间; (2)试探究是否存在实数 m,使得函数 g(x)=x2+m 是(-∞,0)上的正函数?若存在,请求出实数 m 的取 值范围;若不存在,请说明理由.

【解析】(1)∵f(x)= x是[0,+∞)上的正函数,且 f(x)= x在[0,+∞)上单调递增, ∴当 1]. (2)∵函数 g(x)=x2+m 是(-∞,0)上的减函数, ∴当
2 ? ?g(a)=b, ? ?a +m=b, x∈[a,b]时,? 即? 2 ? ?g(b)=a, ? ?b +m=a,

? ? ?f(a)=a, ? x∈[a,b]时,? 即? ? ? ?f(b)=b, ?

a=a, b=b,

解得 a=0, b=1, 故函数 f(x)的“等域区间”为[0,

两式相减得 a2-b2=b-a,即 b=-(a+1),

代入 a2+m=b,得出 φ(a)=a2+a+m+1=0,则 1 其函数 φ(a)的对称轴为 a=- .由 a<b<0,且 b=-(a 2 1 +1)<0,得-1<a<- , 2 故 关 于 a 的 方 程 a2 + a + m + 1 = 0 在 区 间 ? 1? ?-1,- ? 内有实数解,记 h(a) = a2 + a + m + 1 ,则 2? ? h(-1)>0, ? ? ? 3? ? ? 1? 解得 m∈?-1,-4?. ? ? ?- ?<0, h ? ? ? 2? ? 3? 故存在 m∈?-1,-4?,使得函数 g(x)=x2+m 是 ? ? (-∞,0)上的正函数.

x2+2x+a 〔备选题〕例5已知函数 f(x)= ,x∈[1, x +∞). 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求 实数 a 的取值范围.
1 1 【解析】(1)当 a= 时,f(x)=x+ +2, 2 2x ∵f(x)在区间[1,+∞)上为增函数, 7 ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为 f(1)= . 2

x2+2x+a (2)解法一:在区间[1,+∞)上,f(x)= >0 x 恒成立?x2+2x+a>0 恒成立. 设 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1 在[1,+∞)上递增, ∴当 x=1 时,ymin=3+a, 于是, 当且仅当 ymin=3+a>0 时, 函数 f(x)>0 恒成立, 故 a>-3. a 解法二:f(x)=x+ +2,x∈[1,+∞), x 当 a≥0 时,函数 f(x)的值恒为正, 当 a<0 时,函数 f(x)递增, 故当 x=1 时,f(x)min=3+a, 于是当且仅当 f(x)min=3+a>0 时, 函数 f(x)>0 恒成立, 故 a>-3.

x2+2x+a 解法三:在区间[1,+∞)上,f(x)= >0 x 恒成立. ?x2+2x+a>0 恒成立?a>-x2-2x 恒成立. ∴a 应大于 u=-x2-2x,x∈[1,+∞)的最大值, ∴a>-(x+1)2+1, 当 x=1 时 u 取最大值-3, ∴a >-3.

【点评】 求解含参不等式恒成立问题的关键是将问 题等价转化,利用函数方程思想求解.

1.函数的值域是函数值的集合,它受到定义域的 制约,故求值域时应首先考虑定义域. 2.求值域的常用方法:一是要掌握基本的初等函 数及它们的复合函数的值域; 二是要掌握利用单调性求 值域; 三是要掌握利用导数法求值域. 这是三种最基本 的方法,此外还有基本不等式法、数形结合法等. 3.最值可由值域而得到,但我们也要重视最值的 概念,注意检验是否具备取得最值的条件. 4.分离参数是解决不等式恒成立问题中的通解通 法之一,注意分清“主元”和“参数”.

1.(2014 福建)已知函数

2 ? ?x +1,x>0, f(x)=? 则下 ? ?cos x,x≤0,

列结论正确的是( D ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)

【解析】由函数 f(x)的解析式知,f(1)=2,f(-1) =cos(-1)=cos 1,f(1)≠f(-1),则 f(x)不是偶函数; 当 x>0 时,令 f(x)=x2+1,则 f(x)在区间(0,+∞) 上是增函数,且函数值 f(x)>1; 当 x≤0 时,f(x)=cos x,则 f(x)在区间(-∞,0] 上不是单调函数,且函数值 f(x)∈[-1,1]; ∴函数 f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值 域为[-1,+∞).

【命题立意】 本题考查分段函数的性质与值域的研 究方法,属于中档题.

2.(2014 重庆)函数 f(x)=log2 x·log 2(2x)的最小 1 - 值为____. 4
1 【解析】 f(x)=log2 x· log 2(2x)= log2 x· 2log2(2x) 2 ? 1?2 1 2 =log2x·(1+log2x)=(log2x) +log2x=?log2x+2? - , 4 ? ? 2 1 所以当 x= 时,函数 f(x)取得最小值- . 2 4 【命题立意】 本题考查对数运算及二次函数求最值 方法的应用,属于中档题.

1.下列函数中,值域是(0,+∞)的函数是( B ) ?1?1-x A.y=lg x B.y=?3? ? ? ?x-1? ? x C.y=? D . y = 1 - 2 ? x ? ? ?
?1?1-x 1 x x-1 ? ? 【解析】 y= 3 =3 = · 3 >0, 即 3 ? ? ?1?1-x y=?3? ? ?

的值域为(0,+∞),其他都不符合.

2.已知函数 f(x)的值域为[-2,3],则函数 f(x-2) 的值域为( D ) A.[-4,1] B.[0,5] C.[-4,0]∪[1,5] D.[-2,3]

【解析】 函数 y=f(x-2)的图象是由 y=f(x)的图象 向右平移 2 个单位而得到的,其值域不变,故选 D.

?1, x>0, ? 3. 已知函数 f(x)=?0, x=0,则函数 g(x)=x2f(x ?-1,x<0, ? -1)的值域是( C ) A.(-∞,+∞) B.(-1,0)∪[1,+∞) C.(-∞,0]∪(1,+∞) D.(-1,+∞) ?x2, x>1 ? 【解析】g(x)=?0, x=1,故选 C. ?-x2,x<1 ?

4.已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若 有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为( B ) A.[2- 2,2+ 2] B.(2- 2,2+ 2) C.[1,3] D.(1,3)

【解析】由题可知 f(x)=ex-1>-1, g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1≤1, 若有 f(a)=g(b),则 g(b)∈(-1,1], 即-b2+4b-3>-1, 解得 2- 2<b<2+ 2.故选 B.

5 . 设 函 数 g(x) = x2 - 2(x∈R) , f(x) =
? ?g(x)+x+4,x<g(x), ? 则 ? g ( x )- x , x ≥ g ( x ) . ? ? 9 ? A.?-4,0?∪(1,+∞) ? ? ? 9 ? C.?-4,+∞? ? ?

f(x)的值域是( D ) B.[0,+∞)
? 9 ? D.?-4,0?∪(2,+∞) ? ?

【解析】令 x<g(x),即 x2-x-2>0,解得 x<-1 或 x>2. 令 x≥g(x),即 x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2. 故函数
2 ? ?x +x+2,x<-1或x>2, f(x)=? 2 ? ?x -x-2,-1≤x≤2.

当 x<-1 或 x>2 时,f(x)>f(-1)=2; ?1? 9 ? ? 当 - 1≤x≤2 时 , f 2 ≤ f(x)≤f( - 1) , 即 - ≤ 4 ? ? f(x)≤0. ? 9 ? 故函数 f(x)的值域是?-4,0?∪(2,+∞).故选 D. ? ?

(x+1)2+sin x 6.设函数 f(x)= 的最大值为 M, 2 x +1 最小值为 m,则 M+m=____ 2 .

(x+1)2+sin x 2x+sin x 【解析】f(x)= =1+ 2 , x2+1 x +1 2x+sin x 设 g(x)= 2 ,则 g(-x)=-g(x),∴g(x)为 x +1 奇函数, 由奇函数图象的对称性知 g(x)max+g(x)min=0, ∴M+m=[g(x)+1]max+[g(x)+1]min =2+g(x)max+g(x)min=2.

7.设[x]表示不超过 x 1. 对 于 给 定 的

?5? 的最大整数如[2]=2,?4?= ? ?

n∈N* , 定 义

C

x n



n(n-1)(n-2)?(n-[x]+1) ,x∈[1,+∞), x(x-1)?(x-[x]+1) 16 3 2 3 ; 当 x∈[2 , 3) 时 , 函 数 C x C 则 8 = ____ 8的值域是 ?28 ? ? ,28? . ________ ?3 ?

3 【解析】∵x= ,∴[x]=1, 2 则C
3 2 8

2 16 = ·8= . 3 3 n(n-1) x C8= = x(x-1)

又 ∵x∈[2 , 3) ,则 [x] = 2 ,则

56 . x(x-1) 设 f(x)=x(x-1),可知 f(x)在[2,3)上单调递增, 即 f(x)∈[2,6). 56 设 g(x)= , 易知 g(x)在[2, 3)上单调递减, x(x-1) ?28 ? 即 g(x)∈? 3 ,28?. ? ? ?28 ? x 综上可得 C8的值域为? ,28?.

8.设 a 为实数,函数 f(x)=x2+|x-a|+1.求 f(x) 的最小值.
【解析】①当 x≤a 时,f(x)=x 3 +a+ . 4 1 若 a≤ ,则函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减, 2 从而函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f(a)=a2+1; ?1? 1 若 a> ,则函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f?2?= 2 ? ? ?1? 3 +a,且 f?2?<f(a). 4 ? ?
2

? 1?2 -x+a+1=?x-2? ? ?

②当 x≥a 时, f ( x) = x
2

? 1?2 3 ? ? +x-a+1= x+2 -a+ . 4 ? ?

1 若 a≤- ,则函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 2 ? 1? 3 f?-2?= -a; ? ? 4 1 若 a>- ,则函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增, 2 从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f(a)=a2+ ? 1? 1,且 f?-2?≤f(a). ? ?

1 3 综上,当 a≤- 时,函数 f(x)的最小值是 -a; 2 4 1 1 当- <a≤ 时,函数 f(x)的最小值是 a2+1; 2 2 1 3 当 a> 时,函数 f(x)的最小值是 a+ . 2 4


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