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正弦定理余弦定理导学案


即墨实验高中高三数学(文)复习学案
正弦定理和余弦定理
编写人: 隋海波 审核人: 高三文科数学

=5sin B,则角 C=________.

编号:07
时间:2015-09-15

【课堂自主导学】 考点分析
考点一 利用正弦、余弦定理解三角形 (2013· 山东高考)设△

ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B 7 = . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值

一.知识梳理
1.正弦定理 a b c = = =2R,其中 R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形: sin A sin B sin C (1)a∶b∶c=_______________ (2)a=__________,b=__________,c=__________. 2.余弦定理 a2=_______________,b2=_______________,c2=_______________.余弦定理可以变形: cos A=_______________,cos B=_______________,cos C=_______________. 3.三角形中常用的面积公式 1 (1)S= ah(h 表示边 a 上的高); 2 1 1 1 (2)S= bcsin A= acsin B= absin C; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径). 2

变式训练

(2014· 豫东、豫北十校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,点(a,

b)在直线 4xcos B-ycos C=ccos B 上. (1)求 cos B 的值; (2)若 BA →· BC =3,b=3 2,求 a 和 c.

二.课前自主检测
1.如图,在△ABC 中,D 是边 AC 上的点,且 AB=AD,2AB= 3BD, BC=2BD,则 sin C 的值为( A. C. 3 3 6 3 ) B. 3 6 6 6 )

??? ?

??? ?

D.

2.在△ABC 中,若 a=18,b=24,A=45° ,则此三角形有( A.无解 C.一解 B.两解

D.解的个数不确定 ) 考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 例 2 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 且 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C. (1)求角 A 的大小;
01-1

1 3.在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C= ,则△ABC 的面积为( 3 A.3 3 C .4 3 B.2 3 D. 3

4.(2013· 安徽高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A

(2)若 sin B+sin C= 3,试判断△ABC 的形状.

A.锐角三角形 C.钝角三角形

B.直角三角形 D.不能确定

3.某人向正东方向走 x 千米后,他向右转 150° ,然后朝新方向走 3 千米,结果他离出发点恰 好为 3千米,则 x 的值是( A. 3 变式训练 (1)在本例条件下,若 sin B· sin C=sin A,试判断△ABC 的形状
2

) B.2 3 D.3

C. 3或 2 3

4.(2013· 山东高考)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 B=2A,a=1,b= 3, 则 c=( ) B.2 D.1

A.2 3 (2)(2013· 陕西高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ) B.直角三角形 D.不确定 C. 2

5.(2013· 江西高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; 2π a (2)若 C= ,求 的值. 3 b

考点三 与三角形面积有关的问题 例 2 (2013· 北京海淀模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=2B,sin B = 3 . 3 (1)求 cos A 及 sin C 的值; (2)若 b=2,求△ABC 的面积.

变式训练

π? 2 ? π? 在△ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cos? ?C+4?+cos?C-4?= 2 .

(1)求角 C 的大小; (2)若 c=2 3且 sin A=2sin B,求△ABC 的面积.

课堂检测
1.(2014· 安庆模拟)在△ABC 中,A∶B=1∶2,sin C=1,则 a∶b∶c 等于( A.1∶2∶3 C.1∶ 3∶2
2 2 2

即墨实验高中高三文科数学课后巩固练习
)

正弦定理和余弦定理
编写人: 隋海波 审核人: 高三文科数学

编号:07
时间:2015-09-15

B.3∶2∶1 D.2∶ 3∶1 )
01-2

【历年高考题】

2.在△ABC 中,若 sin A+sin B<sin C,则△ABC 的形状是(

1. (2013 新课标全国Ⅰ,5 分)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A +cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( A.10 C .8 ) B.9 D.5 则

9. (2011 新课标全国, 5 分) △ABC 中, B=120° , AC=7, AB=5, 则△ABC 的面积为________. b a 10. (2010 江苏,5 分)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6cosC, a b tanC tanC + 的值是________. tanA tanB 11. (2013 福建,12 分)如图,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ=90° ,OP=2 2,点 M 在线段 PQ 上.

2. (2013 山东,5 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 B=2A,a=1,b= 3,则 c=( A.2 3 C. 2 ) B.2 D.1

(1)若 OM= 5,求 PM 的长; (2)若点 N 在线段 MQ 上,且∠MON=30° ,问:当∠POM 取何值时,△OMN 的面积最小?并 求出面积的最小值.

3. (2013 辽宁,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin 1 B cos A= b,且 a>b,则∠B=( 2 π A. 6 2π C. 3 ) π B. 3 5π D. 6 )

1 4. (2013 北京,5 分)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A= ,则 sin B=( 3 1 A. 5 5 B. 9

12. (2013 浙江,14 分)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asin B = 3b. (1)求角 A 的大小; (2) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

5.(2013 陕西,5 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B= a sinA,则△ABC 的形状为( A.锐角三角形 C.钝角三角形 ) B.直角三角形 D.不确定

6.(2100 湖南,5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.若∠C=120° ,c= 2 a,则( ) B.a<b D.a 与 b 的大小关系不能确定 )

【课后巩固导练】
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2014· 石家庄质检)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,sin A,sin B,sin C 成等比数列,且 c=2a,则 cos B 的值为( 1 A. 4 ) 3 B. 4 )

A.a>b C.a=b

7. (2012 广东,5 分)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC=( A.4 3 C. 3 B.2 3 D. 3 2

2.在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60° ,则此三角形的解的情况是( A.有一解 C.无解
01-3

π 8. (2012 陕西,5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c.若 a=2,B= , 6 c=2 3,则 b=________.

B.有两解 D.有解但解的个数不确定 )

3.在△ABC 中,若 lg sin A-lg cos B-lg sin C=lg 2,则△ABC 的形状是(

A.直角三角形 C.等边三角形

B.等腰直角三角形 D.等腰三角形

(1)求 cos A; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2,求 b,c.

4.(2013· 全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2A+cos 2A= 0,a=7,c=6,则 b=( A.10 C .8 ) B.9 D.5 11.(2011 安徽,13 分)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边长,a= 3,b= 2,1 +2cos(B+C)=0,求边 BC 上的高.

cos A-3cos C 6. (2014· 广东重点中学联考)在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 cos B = 3c-a sin C ,则 的值为________. b sin A 7.(2013· 湖北高考)在△ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别是 a,b,c,已知 cos 2A-3cos(B +C)=1. (1)求角 A 的大小; (2)若△ABC 的面积 S=5 3,b=5,求 sin Bsin C 的值. 1 1 3 3 (2)由 S= bcsin A= bc· = bc=5 2 2 2 4 3,

12.(2010 辽宁,12 分)在△ABC 中 a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sinB +(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; 12.(2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状

8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 sin B(tan A+tan C)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S.

9. (2013 天津,13 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsin A=3csin 2 B,a=3,cos B= . 3 (1)求 b 的值; π? (2)求 sin? ?2B-3?的值

10. (2012 江西,12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1 =6cos Bcos C.
01-4


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