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2014年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题


2014 年全国高中数学联合竞赛一试模拟试题
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.
1.已知 A={x|x2-4x+3<0,x∈R},B={x|21 x+a≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R} 若 A?B,则实数 a 的取值范围是. 2.已 知 椭 圆


x2 y 2 ? ? 1 的 左

右 焦 点 分 别 为 F1 与 F2 , 点 P 在 直 线 l : 16 4
PF1 PF2
的值为.

x ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 上. 当 ?F1 PF2 取最大值时,比
4 4

3.设 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是。 4.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________. 5.函数 y ? x ? x 2 ? 3 x ? 2 的值域为____________. 6.已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么,这 样的 n 的个数是___________. 7.用[x]表示不大于实数 x 的最大整数, 方程 lg2x-[lgx]-2=0 的实根个数是. 8. 各项均为实数的等比数列{an }前 n 项之和记为 Sn,若 S10 = 10, S30 = 70, 则 S40 等于__________.

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分,解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.
9. (本题满分 16 分)如图,有一列曲线 P0,P1,P2,……,已知 P0 所围成的图形是面积为 1 的等边三角形,Pk+1 是对 Pk 进行如下操作得到的:将 Pk 的每条边三等分,以每边中间部分 的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…),记 Sn 为曲线 Pk 所围成图形面积。 ①求数列{Sn}的通项公式;②求 lim S n 。
n ??

P0 P1 P2

10. (本题满分 20 分)如题 10 图, P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,点 B,C 在 y 轴上, 圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 内切于 ?PBC ,求 ?PBC 面积的最小值. [解] 设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C (0, c) ,不妨设 b ? c . 直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b x, x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

? 1,

…5 分

2 2 2 故 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2 x0b( y0 ? b) ? x0 b ,

易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c 2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . 所以 b ? c ? …10 分

2 ? x0 ?2 y 0 4 x 2 ? 4 y0 ? 8 x0 , bc ? ,则 (b ? c) 2 ? 0 . ( x0 ? 2) 2 x0 ? 2 x0 ? 2

2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2 x0 ,则

(b ? c) 2 ?

2 2 x0 4 x0 ,b ? c ? . …15 分 ( x0 ? 2) 2 x0 ? 2

所以 S?PBC ?

x 1 4 (b ? c) ? x0 ? 0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ? 4 ? 2 4 ? 4 ? 8. 2 x0 ? 2 x0 ? 2

当 ( x0 ? 2) 2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 . 因此 S ?PBC 的最小值为 8. 11.( 本 题 满 分 20 分 ) 设 …20 分

f ( x) ? x 2 ? a .



f 1 ( x) ? f ( x) ,

f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,n ? 2,3,? , M ? a ? R 对所有正整数 n, f n (0) ? 2 .
证明: M ? ?? 2, . 4? ? ?

?

?

?

1?

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1、 【解】A=(1,3); 1 x2+5 1-x 又,a≤-2 ∈(-1,-4),当 x∈(1,3)时,a≥ 2x -7∈( 5-7,-4). ∴ -4≤a≤-1. 2、 【解】 由平面几何知,要使 ?F1 PF2 最大,则过 F1 , F2 ,P 三点的圆必定和 直线 l 相切于 P 点。设直线 l 交 x 轴于 A (?8 ? 2 3, 0) ,则 ?APF1 ? ?AF2 P ,即
?APF1 ? ?AF2 P , 即
2

PF1 PF2

?

AP AF2

(1) ,

F2 (2 3, 0) , 又由圆幂定理,AP ? AF1 ? AF2 (2) , 而 F1 (?2 3, 0) , A (?8 ? 2 3, 0) ,

从 而 有
PF1 PF2 ?

AF1 ? 8 ,
?

AF2 ? 8 ? 4 3 。 代 入 ( 1 ) , ( 2 ) 得

AF1 AF2

8 ? 4 ? 2 3 ? 3 ?1。 8? 4 3

1 1 3、 【解】f ( x) ? sin 4 x ? sin x cos x ? cos 4 x ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 2 x 。 令 t ?n i s 2 2 2

x,


1 1 9 1 1 9 1 9 f ( x) ? g (t ) ? 1 ? t ? t 2 ? ? (t ? ) 2 。因此 min g (t ) ? g (1) ? ? ? ? 0, ? 1 ? t ? 1 2 2 8 2 2 8 2 4 1 9 1 9 9 max g (t ) ? g (? ) ? ? ? 0 ? 。 即得 0 ? f ( x) ? 。 ?1?t ?1 2 8 2 8 8 4、 【解】 设球半径为 R, 其内接圆锥的底半径为 r, 高为 h, 作轴截面, 则 r2=h(2R -h).

h r

1 π π π?4R?3 8 4 3 V 锥=3πr2h=3h2(2R-h)= 6h· h(4R-2h)≤6? 3 ? =27· 3πR . ? ? ∴ 所求比为 8∶27. 5、 【解】
1 3 1 3 1 3 ?2? 或 ?2?? . ? 2 ? 等价于 log 1 x 2 log 1 x 2 log 1 x 2
2

2

2



1 7 1 1 ?? . ?? 或 log 1 x 2 log 1 x 2
2

2

此时 log 1 x ? ?2 或 log 1 x ? 0 或 ? ? log x ? 0 .
2 2
1 2

2 7

∴解为 x >4 或 0<x<1 或 1<x< 2 7 . 6、【解】首项为 a 为的连续 k 个正整数之和为 S k ?

2

2 2 由 Sk≤2000,可得 60≤k≤62. 当 k=60 时,Sk=60a+30×59,由 Sk≤2000,可得 a≤3,故 Sk=1830,1890,1950; 当 k=61 时,Sk=61a+30×61,由 Sk≤2000,可得 a≤2,故 Sk=1891,1952; 当 k=62 时,Sk=62a+31×61,由 Sk≤2000,可得 a≤1,故 Sk=1953. 于是,题中的 n 有 6 个. 7、【解】令 lgx=t,则得 t2-2=[t].作图象,知 t=-1,t=2,及 1<t<2 内有 1 一解.当 1<t<2 时,[t]=1,t= 3.故得:x=10,x=100,x=10 3,即共有 3 个实 根。

?2a ? k ? 1?k ? k ?k ? 1?

8、【 解 】 首 先 q ≠ 1 , 于 是 ,

a1 a1 (q10 - 1)=10 , (q30 - 1)=70 , ∴ q-1 q-1

q20+q10+1=7.?q10=2.(-3 舍) ∴ S40=10(q40-1)=150. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分 9、 【解】①对 P0 进行操作,容易看出 P0 的每条边变成 P1 的 4 条边,故 P1 的边数为 3
×4;同样,对 P1 进行操作,P1 的每条边变成 P2 的 4 条边,故 P2 的边数为 3×4 ,从而不难 得到 Pn 的边数为 3×4n …………5 分 已知 P0 的面积为 S0=1,比较 P1 与 P0,容易看出 P1 在 P0 的每条边上增加了一个小等边 三角形,其面积为
2

1 1 1 ,而 P0 有 3 条边,故 S1=S0+3× 2 =1+ 2 3 3 3 1 × 32

再比较 P2 与 P1, 容易看出 P2 在 P1 的每条边上增加了一个小等边三角形, 其面积为

1 1 1 4 ,而 P1 有 3×4 条边,故 S2=S1+3×4× 4 =1+ + 3 2 3 3 3 3
类似地有:S3=S2+3×42×

1 1 4 42 =1+ + + 3 33 35 36

…………5 分

∴Sn= 1 ?

1 4 42 4 n ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2 n ?1 3 3 3 3
3 n 4 k ?( ) 4 k ?1 9
(※) …………10 分

=1+

=

8 3 4 n ? ?( ) 5 5 9

下面用数学归纳法证明(※)式 当 n=1 时,由上面已知(※)式成立, 假设当 n=k 时,有 Sk=

8 3 4 k ? ?( ) 5 5 9
1 3
2 ( k ?1)

当 n=k+1 时,易知第 k+1 次操作后,比较 Pk+1 与 Pk,Pk+1 在 Pk 的每条边上增加了一个 小等边三角形,其面积为 ,而 Pk 有 3×4k 条边。故

Sk+1=Sk+3×4k×

1 3
2 ( k ?1)

=

8 3 4 k ?1 ? ?( ) 5 5 9

综上所述,对任何 n∈N,(※)式成立。 ② lim S n ? lim [ ?
n ?? n ??

8 5

3 4 n 8 ? ( ) ] ? …………16 分 5 9 5

10、 【解】设 P( x0 , y0 ), B(0, b), C (0, c) ,不妨设 b ? c .
直线 PB 的方程: y ? b ?

y0 ? b x, x0

化简得 ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 . 又圆心 (1, 0) 到 PB 的距离为 1,

y0 ? b ? x0b
2 ( y0 ? b) 2 ? x0

? 1,

…5 分

2 2 2 故 ( y0 ? b)2 ? x0 ? ( y0 ? b)2 ? 2 x0b( y0 ? b) ? x0 b ,

易知 x0 ? 2 ,上式化简得 ( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 , 同理有 ( x0 ? 2)c 2 ? 2 y0c ? x0 ? 0 . 所以 b ? c ? …10 分

2 ? x0 ?2 y 0 4 x 2 ? 4 y0 ? 8 x0 , bc ? ,则 (b ? c) 2 ? 0 . ( x0 ? 2) 2 x0 ? 2 x0 ? 2

2 因 P( x0 , y0 ) 是抛物线上的点,有 y0 ? 2 x0 ,则

(b ? c) 2 ?

2 2 x0 4 x0 ,b ? c ? . …15 分 2 ( x0 ? 2) x0 ? 2

所以 S?PBC ?

x 1 4 (b ? c) ? x0 ? 0 ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ? 4 ? 2 4 ? 4 ? 8. 2 x0 ? 2 x0 ? 2

当 ( x0 ? 2) 2 ? 4 时,上式取等号,此时 x0 ? 4, y0 ? ?2 2 . 因此 S ?PBC 的最小值为 8.
1

…20 分 ………………………

11、 【证明】 (1)如果 a ? ?2 ,则 f (0) ?| a |? 2 , a ? M 。 (5 分)

1 1 n n ?1 2 ,由题意 f (0) ? a , f (0) ? ( f (0)) ? a , n ? 2,3,? . 则 4 1 1 1 n 1 ① 当 0 ? a ? 时, f (0) ? ( ?n ? 1 ). 事实上,当 n ? 1 时, f (0) ? a ? , 4 2 2 设 n ? k ?1 时 成 立 ( k ? 2 为 某 整 数 ) , 则 对 n ? k ,
(2)如果 ?2 ? a ?

f (0) ? f
k

k ?1

?1? 1 1 (0) ? a ? ? ? ? ? . ?2? 4 2
2
n 1

2

② 当 ?2 ? a ? 0 时, f (0) ? a ( ?n ? 1 ).事实上,当 n ? 1 时, f (0) ? a , 设

n ? k ?1 时 成 立 (
2

k ?2









) ,





n?k





? | a |? a ? f k (0) ? ? f k ?1 (0) ? ? a ? a 2 ? a . 注意到 当 ?2 ? a ? 0 时 , 总有 a 2 ? ?2a ,即

1? ? a 2 ? a ? ?a ?| a | . 从而有 f k (0) ?| a | .由归纳法,推出 ? ?2, ? ? M 。 4? ?
(15 分) ( 3 ) 当 a?

……………

1 1 n 时 , 记 an ? f ( 0 ) , 则 对 于 任 意 n ? 1 , an ? a ? 且 4 4
。 对 于 任 意

2 an?1 ? f n ?1 (0) ? f ( f n (0)) ? f (an ) ? an ?a

n ?1



1 1 1 1 2 an?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? )2 ? a ? ? a ? , 则 an?1 ? an ? a ? 。 所 以 , 2 4 4 4 1 1 2?a 时, an ?1 ? n( a ? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ,即 an?1 ? a ? an?1 ? a1 ? n(a ? ) 。当 n ? 1 4 4 a? 4
f n ?1 (0) ? 2 。 因 此 a ? M 。 综 合 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) , 我 们 有

1? ? M ? ?? 2, ? 。 4? ?

…………………………(20 分)


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