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几例俄罗斯数奥赛题解法探究


2 0 1 4 年第 8 期 

数学教学 

8 - 4 1  

几例俄 罗斯数奥赛题解法探究 
0 5 0 0 6 1 河北经 贸大 学数学与统计 学院 王亚辉 
0 5 0 0 3 5 河北省石家庄 学院数 学系   王玉怀  

本文 择译 俄 罗斯 2 0 1 1 -2

0 1 2 学年 度 9 -1 1   年级平 面几何数 学奥林匹克竞 赛题及解答 , 其  中笔者也给 出另外的解答 , 以供交流.   题1  ( 9 年 级) 圆 】 和 2 相 互 外 切 于 点  P.由圆 1 的圆心 作 圆 2 的切 线 1 1 , 类 似 地,   由  2 的圆心作 1 的切线 1 2 , l l 与1 2 不平行 . 证  明: 点J F ) 在直线 1 i 与f 2 夹角之一 的平分线上.   证法 1 1 1 】 : 设 O1 、 r l 和0 2 、 r 2 分别 是圆 1  
和 2 的 圆 心 和 半 径,   是2 l 与1 2 的 交 点( 如 

切 点. 显 然 AK 01 1 ' 1   △  O2 P 2 , 所 以  x x u1 = 
:  


于是在Z h K0 1 0 2 中, 点 P在 D1 o 2  

上, 并将它分成 的比等于两边  < = ) 1 与  0 2 的 
比. 因此 ,   P是 ( = ) 1  ‘ 二 ) 2 的平分线.  

注:从上述证 明不难 看到, 若在 j 】 和f 2 上  分别取点 M1 和 M2 , 使 AO 1 KM1  ̄AO 2 KM2 ,   由它 们 边 的 比等 于 它 们 相 应 高 的 比 ( ( = ) 】   :  

O2 P 2 ) , 也可 证得所要 求 的结论( 图2 ) .原证直 
接连结 《 二 ) 1   P 1 和( = ) 2 P 2 , 简洁. 另外, 还可 以应用 
角平分 线 的性质 , 证 明点 P到 0 1 K和0 2   的 

图1 ) .点 P在 线 段 ( 二 ) l ( 二 ) 2 上, 并 且将 它 分成 比  为r l : r 2 ( 从( = ) 1 算起 ) .  

距 离 相 等, 或 在  尸上 任 取 一 点, 证 明这 点  到( = ) 】   和O 2   的距离相等 . 如下面证法 2 .  

图1  

设P 1 是l 2 与圆 l 的切 点, P 2 是2 1 与 2 的 

图2  

由于 X 1 是奇数 , 由题设的条件知,  2 是偶 

( 警+ 2 ) 。 + (   Z + 2 ) 。 + ( 南一 1 )  


数,  3 是奇数, …, X 2 0 1 4 是偶数, 从而 ( X 2 0 1 4 +  

1 )   ≥1 ,  ̄X l + X 2 + …+ X 2 0 1 4 ≥去 ( 1 — 2 0 1 4 —  
9 9   1= 一5 9 0 7 .  

(   +   )   + (   + 1 ) 。 + (   + 1 )   ∑(  ) 2 + 2 ∑(   ) + 3  



又X l = -9 9 , X 2 = -9 8 , … , X 9 9 =-1 , X 1 0 0  
: 0 ,X l 0 1 = -1 ,X 1 0 2= = : 0 ,X1 0 3= = : -1 ,… ,X 2 0 1 3  


∑(   )   + 2 ( ∑   a?   b十 1 ) + 3  


:一 1 , X 2 0 1 4 =O 时等号成立.  
所 以, X 1 +X 2+ … +X 2 0 1 4 的最 小值 为 


( ∑   )   + 5  
暑 小信  5  

5 9 0 7 .  

当 a= 0 , b =1 , c =2 , 即 X=Y= 一1 ,   =2 时 
笺 - W  寺 

1 2 . 解: 设a =x +y +z , b =y +z , c =   , 则 

8 — — 4 2  
证法 2 :只要证 明点 P到 1 1 和2 2 的距 离相 
等 即可 .  

巍 笋 

2 0 1 4 年第8 期 

注: 作 EG / / BC, 类似于上述证法, 也可得  E M =F M .由点 F和 E分别作 A0   的垂线,  
再证 两对三 角形全等 , 也可得 E M =M F。   题3 ( 1 0 年级) 在 锐 角△A BC的边 A C上 
取 点 M 和  ,使 A BM :   C BK.   证 明  △  BM 、△AB   ACBM 和 △ BK 的外接  圆圆心在 同一 圆上.  


设P M 和 PⅣ 是 由 点 P分 别 向 1 1 和1 2 所 

作 的垂线 ( 如 图3 ) , 那么AO I P M  ̄A0 1 02 1 ' 2 ,   所 以  =   01 P   M
:   =  

rl  ̄r2

T1

.   十 r2  

Ⅳ = 

0 1   02

=  .   7 ’ l十 7 ’ 2  

即点 P到 1 1 与2 2 的距离相等.  

证[ 1 】 : 不 失一般性, 设点  在 点  和  之 

间. 0 1 、 0 2  ̄ O a 和o 4 分别是 △A B   AA BK,  
△B  M 和△B   的 外接 圆 圆心 ( 如 图5 ) . 直 

线0 1 0 3 和( 二 ) 1 O2 分 别 是 BM 和 A B 的 中 垂 线 

( 因为 BM 是 圆 0 1 和0 3 的公共 弦, A B类 似) .   这 就是说, Z 0 2 01 0 3 =Z A BM ( 它们 的两双边 
图3  

相互垂直) . 类似地 , Z 0 2 0 4 0 3 =Z C BK. 由假 
设可知 Z 0 2 0 4 0 3 =Z 0 2 0 1 0 3 , 所 以点 0 1 、 I = ) 2 、   O 3 和《 二 ) 4 共 圆.  

题2 ( 9 年 级) 在AA BC的 边 A  上 任 取 

点 . 设  和 F分 别是 点  关于  A和  的平  分线 的对称 点, 点 E在 A B上, 点 F在 B  上 .   △  B   的 内切 圆与 边 BC和 A B分 别 相切 于  点A o 和点  . 证 明: 线段 E F的中点在 A o  
上.  

证法 1 1 1 ] :设点  是 △AB   的 内切 圆与 
边A   的切 点( 如图4 ) , 可 以认 为 点 D 在 AB 0  
C 

上. 因为 点 A 0 与  分 别 是 点  关 于 Z C和  A的平 分 线 的 对 称 点, 于 是 点 E在 A   上,   而点 F在 C A o 的延长线上, 并且EC o =DB o =  
F Ao .  

图5  

注:从 图上不难看到 , 直线 01 02 和0 3 0 4   的交 点是 △ B  外接 圆的圆心 o, 并且 点 O 2  

和0 3 分别是在线段 0 01 和 00 4 上.  
题4 ( 1 0 年 级) 在 非 等边 锐 角 △A日   中,  
点  和 B n 分别是边 A B和 AC的 中 点,点 0  

是外接 圆圆心 , 点 日 是高 的交 点. 直 线 B日 和  O   相 交 于 点 P, 而C H 和 OB o 相 交 于 点 Q,  
己知 四边形 OP 日Q是菱形 , 证 明点 A、P和 Q   共线.  
D  O  

证法 [ 1 】 = 设 BB   和 

是三 角形 的高( 如 

图4  

图6 ) .   因为O   和( 二 )   是边 A  和 AB的 中 

那么B   B o 和  设点M 是EF和A o   的交点. 作F G/ / A B,   垂 线,
G  E Ao o, C 那 么 AFGAo ' . " ABC o Ao .因 为 B 


是菱 形 ( 二 ) P 日Q的 高,  

并且 B   B 0= C   o, G 这样 的线 段 是 0日 在 A   和A B上 的射 影. 这 就 是说 , 直线 《 二 ) 日 与 这样  的线段组成 的角相 等.这 意味着, 直线 《 = ) 日 平  行 于Z BA C的 内角或外角 的平分线。  

B A o , 所 以FC=FA o =E G o . 其 次, 由于F G  
A B   镰Z F EC o =Z EF G  d E o G=Z G FC O  G

  .

所 以AEC o M  ̄AF CM , 即得 EM =F M.  

2 0 1 4 年第 8 期 

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注:对 于 一 切 可 能 的非 等 边 三 角 形, 仅  当  BAC = 6 0 。 或1 2 0 。 时, 四 边 形 OP日Q 是  菱形 .对 于后 一种情 况, 即Z BA C=1 2 0 。 时,   点 A、P和 Q也共线 .   ’  
题5 ( 1 1 年 级) 在 矩 形 B  D 的 外 接 圆  上取 点  , 已知 C   与 D相交于 点  , 且 M :  
C 

图6  

D =2 .设 ( = } 是矩 形 的中心.证 明 △O  D   中线的交点在 △ ( = ) D 的外接 圆上.   证 法1 【 1 J .延长 DA至 点 , 使A   = DM  0=9 0 。  

因为  ( = ) C:2 Z A BC, 那么 
一  

ZAOC = 9 0 O- - AABC = XBAH .  

( 如图7 ) .那么 △  D  △B A T, 于 是 BT / /   ^   . 注 意到 D  =D  +   =3 D   +D 
4 DM , CM 与 BD相交于点 Ⅳ, 由平行线等  分 线段 定理 可知, BD = 4 ⅣD.因此 , DⅣ =  


这就是 说, 射线 A 《 二 ) 和A 日关于Z BA C的 

平分 线 z 对称 .   特 别地, D日 与 f 相交 , 因此 , 不  可能与它平行. 这样, O H 上Z , 并且 f 是△ D日 
的平分线和高. 因此 A 日 =A O, 点 A 以及 P、   Q位于线段 O H 的中垂线上 .  
证法 2 【 1 ] .设 a= BC, b= CA, c= AB,  


ⅣO, 所 以,   Ⅳ 是 △D  D 的中线.  

XBAC, 那 么 AB  =c C O S O / , AC  :b C O S O L .  
K 

设 BB   和 C r   是 △ B   的 高.   因为p   和  O   是边A C和AB的中垂线, 那么j E ;   B 0 和C  

图7  

是 菱 形 OP HQ 的 高,并 且 B   B o= C   C O ,由  

此得f   A B o —A B   I = f   A c o —A C   I 或I 吾一  

设 点 S是△O  D中线 的交 点. 因为OD=   ( 二 )  , 点  在 Z K OD 的平 分 线 上 , 因此, ZS OD 


C C O S   1 I   =1  一 b c o s   …………… … ( 半 )  
J  

 ̄   ZK OD : ZSCD



即点 、 D、   、( 二 ) 共 圆.  

L  

若( 丰 ) 式 的两边  O—C C O S  与  一b c o s  符号 
h  

证法 2 :如 图 8 ,点 0是矩 形 的 中 心,那 
么  0 : 0C . 作0F / / A D, 由平行线等分线段 

相 同,则 有  一 C C O S   =   一b c o s a ,也 即 

定理可知: 《 二 ) F=妄 A   =MD. 因此, △ ( 二 ) ⅣF  
于 是 DN = 0N .  

丝△DⅣ  6 ( 去 十 c 。 s   ) - C ( 去 + c 。 8   ) , 由 假 设 可 知   <   9 0 。 , 因此 , C O S   >0 , 即得 b :c , 这与所 设矛  盾.  

假设 在( 术 ) 式中 , 若若 一 C C O S   O L >0 和  一  
b C O S   <0 , ( 由图 6 ) 可 知点 B   在 点  与  之  间, 而 点  在 点 A与 C   之 间. 那么  o—C C O S  

=   b c C o O s S   一 —   昙 或 戥 半 —   一 : = ( 【   一 b + c )   C O S   , 得   C O S   : =  


图8  

。 ,  
.  

以下 同证法 1 的最后一段, 因此点 S 、D、  


这 时, AC   =b C O S  =   =A B o , 这就 是 

《 二 ) 共 圆.  

说, 点  和 C   关于Z BA C的平分线对称. 那 么  OB 0 与 HC   也 对 称 ,并 且 它 们 的 交 点 Q在  Z BA C的平分线上. 类似地, 点 P在 X BA C的  平分线上.  

证法 3 :由矩形中心点 ( = ) 作( 二 ) 日上CD( 垂 
足 为 点 日) ( 如 图9 ) .OH 是 △CA D的 中位 线,  

其中O F :妄   , F 日= ̄ MD ( F E   C M) , 已  
知 AM = 2 M D, 所以( 二 ) F =2 FH ,因此 点 F 



 

数 学敉 学 

2 0 1 4 年第8 期 

是 AC OD 中线 的交点, 那么 点 Ⅳ 是 OD的 中  
点, 即 DN : ON .   以下 证 明 同证 法 1 的 最后 一 段 .  

证法4 : 如图7 , 由点M 作MF f A C ( F∈  
D D) . 因此, △A D0   △M DF. 由条件知 M D  


妄   D, 所以  
1   .   ,  

F D=  ̄ o D= 去 ( ( = ) Ⅳ + N D ) . … … … ? ①  
又因为△ⅣMF  △Ⅳ Dj 另 I j 么丽 NF=  


:  

图1 0  

点A与 B关于 0  对称, 所以O  上AB/ /  

①+ ②, 得N D=F D+ N F=妄 ( ( = ) Ⅳ+ N D ) +  
1   f )   O  o 

P, 类似地, 0  上L P. 因为 ( 二 )  P=  0L P   吾 , 所 以 Ⅳ F = 丢 O N . … … … … … ②   =9 0 。 , 四边形 0  P  内接 于圆.于是 , / OP L  
=  

0KL .由弦切 角性质, 得  KAB=  AC B  
Z PXB, 这样 ,   OP  +  P XB :  0 KL+   A B =9 0 。 .因此结论得证 .   证法 2 【 1 】 =设直 线 B  和  相 交于 点 

吉 O N , 或 § Ⅳ D = = = 看 O N , 即 Ⅳ D = O N ?  
以下证 明同证法 1 的最 后一段.  



证法 5 : 如图9 , 应用梅涅劳斯 ( Me n e l a u s )  
定理, AA OD被直线 CK 所截, 于是 


( 如 图 u) . 因为 A B   是等腰三 角形 ,  j F )  A=  

CA  ON  DM   1   C— O … N D  M A‘ : = =l ? …… …… ……“ …… 

Z B A K =妄 ( 1 8 0 。 一A A KB ) . 就是说,   P是  
M L的外角平分线. 类似地, L P是  M 

因为点 0 为矩形中心, CA=2 C 0.已知 M =   N 2 DM , 因此 , ③式就是  2 O  1 , 即( 二 ) Ⅳ =  . j
.   =

的外 角平行 线, 点 P是 △   的与边 KL相  切 的傍切 圆的 圆心.所 以点 P在 M 的平 分 
线上.因为 MB = M , 点 B与  关于这条平  分线 对称 .这就 是 说, B P与 CP也 对称 .所 
以 BP = CP.  
M  

图9  

以下 证 明 同证 法 1 的最 后 一 段 .  

题6 ( 1 1 年 级) 设 锐 角 △AB C 的外 接 圆 

为 .过 点 A所作 的 圆   的切线 与过点 B和 
所作的两条切线分别相交于点  和 . 过点  所作 的平行 于AB 的直线 与过 点  所作 的平 行  于A C的直线相交于点 P. 证 明: BP =C P.   证法 1 [ 1 】 :只需证 明点 P在 B   的中垂 线  上.设 点 《 = ) 是圆  的圆心.而点  是 直线 B   与P  的交 点( 如图1 0 ) .因为 点 0在 B  的中   垂线上, 因此只需证 明《 二 ) P 上B  .  
图1 l  

参考文献 

[ 1 1王玉怀.2 ] 0 1 l 莫斯科大学罗蒙诺索夫  奥林匹克 [ J ] . 数学教学. 2 0 1 2 ( 1 0 ) : 4 0 _ 4 2 .  


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