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【原创精品资料】3.2《三角函数基本关系式与诱导公式》错误解题分析


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3.2《三角函数基本关系式与诱导公式》错误解题分析
一、知识导学 1、同角三角函数的基本关系式
2 2 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 ;商数关系: tan ? ?

sin ? ;倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 cos ?

同角三角函数的基本关系式可用图表示 (1)三个阴影部分三角形上底边平方和等于 1 的平方; (2)对角为倒数关系; (3)每个三角函数为相邻两函数的积。 2、诱导公式( k ? z ) 角 函数 正弦 余弦 记忆口诀

2k? ? ?

sin ?
- sin ? - sin ?

cos?
- cos? 函数名不变 符号看象限

? ??
??

cos?
- cos?

? ??
2? ? ?

sin ?
- sin ?

cos?
sin ? sin ?
函数名不变 符号看象限

?
2

??

cos? cos?

?
2

??

3? ?? 2 3? ?? 2

- cos? - cos?

- sin ?

sin ?

诱导公式可将“负角正化,大角小化,钝角锐化”。 3、诱导公式解决常见题型 (1)求值:已知一个角的某个三角函数,求这个角其他三角函数; (2)化简:要求是能求值则求值,次数、种类尽量少,尽量化去根式,尽可能不含分母。 二、疑难知识导析 1、三角变换的常见技巧 “1”的代换; sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? 三个式子,据方程思想知一可
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2 2

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求其二(因为其间隐含着平方关系式 sin ? ? cos ? ? 1 ); 2、在进行三角函数化简和三角等式证明时,细心观察题目的特征,灵活恰当地选用公式, 一般思路是将切割化弦。尽量化同名,同次,同角; 3、已知角 ? 的某个三角函数值,求角 ? 的其余 5 种三角函数值时,要注意公式的合理选择。 在利用同角公式中的平方关系并要开方时, 要根据角的范围来确定符号, 常要对角的范围进 行讨论。解决此类问题时,要细心求证角的范围。 三、典型例题导讲

1 ,? ? 0,?),则 cot ? ? __________ ( 5 12 1 与 sin ? ? cos ? ? , 【错解】两边同时平方,由 sin ? ? cos ? ? ? 得 25 5
[例 1]已知 sin ? ? cos ? ?

(sin? ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 2 sin ? ? cos? ? cos2 ? ? 4 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ? 4 sin ? cos? 49 7 ? ?sin ? ? cos? ? ? 25 5 4 3 3 cos ∴ sin ? ? , ? ? ? ,进而可求 cot ? . 解得: cot ? ? ? 5 5 4 3 4 4 cos 或 sin ? ? ? , ? ? ,进而可求 cot ? . 解得: cot ? ? ? 5 5 3
【错因】没有注意到条件 ? ? (0, ? ) 时,由于 sin ? ? cos ? ? 0 ,所以 sin ? ? cos ? 的值为正 而导致错误。

1 ,? ? 0,?), ( 5 12 1 ? 0与 sin ? ? cos ? ? 联立, 两边同时平方,有 sin ? ? cos ? ? ? 25 5 4 3 3 cos 求出 sin ? ? , ? ? ? , cot ? ? ? ∴ 5 5 4
【正解】 sin ? ? cos ? ? [例 2]若 sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B 为锐角且 a>1,0<b<1,求 tanA 的值 【错解】由 ?

?sin A ? a sin B  ① ?cos A ? b cos B  ②

得 tan A=

a tan B b

【错因】对题目最终要求理解错误。不清楚最后结论用什么代数式表示 【正解】由 ?

?sin A ? a sin B  ① ?cos A ? b cos B  ②

①2+②2 得 a2sin2B+b2cos2B=1

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∴cos2B=

a2 ?1 a2 ? b2

∴sin2B=

1? b2 a2 ? b2

∴tan 2B=

1? b2 a2 ?1

∵B 为锐角 ∴tan B=

1 ? b2 a2 ?1

① a a 1 ? b2 得 tan A= tan B= b ② b a2 ?1
[例 3](高考重庆卷)若函数 f ( x) ?

1 ? cos2 x 4 sin( ? x) 2

?

x x ? a sin cos(? ? ) 的最大值为 2,试确 2 2

定常数 a 的值。

解 : f ( x) ?

2 cos2 x x x ? a sin cos 4 cos x 2 2 1 a ? cos x ? sin x 2 2 ?

1 a2 1 ? sin(x ? ? ), 其中角?满足 sin ? ? 4 4 1? a2 1 a2 由已知有 ? ? 4. 4 4 解之得, a ? ? 15.
【点评】本试题将三角函数“

?
2

? ? , ? ? ? ”诱导公式有机地溶于式子中,考查了学生对

基础知识的掌握程度,这就要求同学们在学习中要脚踏实地,狠抓基础。 [例 4] (高考北京卷)已知 tan (1) tan(? ?

?
2

=2,求

?
4

) 的值;

(2)

6sin ? ? cos ? 的值。 3sin ? ? 2 cos ?

? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2 4 ? ? ?1 tan ? ? tan ? tan ? ? 1 1 4 ? 所以 tan(? ? ) ? = 3 ?? ; 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 7 4 3
解:(1)∵ tan

2 tan

?

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4 6 sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 (2)由(I), tanα=- , 所以 = = 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2

4 6(? ) ? 1 7 3 ? 。 4 3(? ) ? 2 6 3

【点评】本题设计简洁明了,入手容易,但对两角和与差的三角函数、同角间的基本关系 式要求熟练应用,运算准确。 [例 5]化简: sin(

4n ? 1 4n ? 1 ? ? ? ) ? cos( ? ??) 4 4

(n ? z ) ? ? )]

【错解】原式 ? sin[ n? ? (

?

? sin(

?
4

? ? ) ? cos( ? ? ) ? cos(

?

4

? ? )] ? cos[ n? ? (

?

? cos(

?
4

?
4

4

? ? ) ? sin[ ??) ? 0

?
2

?(

?
4

4

? ? )] ? cos(

?
4

??)

【错因】对三角函数诱导公式不完全理解,不加讨论而导致错误。 【正解】原式 ? sin[ n? ? (

?
4

? ? )] ? cos[ n? ? (

?
4

? ? )]

(1)当 n ? 2k ? 1(k ? z ) ,时 原式 ? sin[ 2k? ? ? ? (

?
4

? ? )] + cos[ 2k? ? ? ? (

?
4

? ? )] ? ? ) =0

? sin(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

? ? ) ? cos(

?
4

(2)当 n ? 2k (k ? z ) 时, 原式 ? sin[ 2k? ? (

?
4

? ? )] + cos[ 2k? ? (

?
4

? ? )] ? ? sin(

?
4

? ? )] + cos(


?
4

? ? ) =0

[例 6](高考江苏卷)若 sin ? A、 ?

?? ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ,则 cos? ? 2? ? =( ?6 ? 3 ? 3 ?
1 3
C、

7 9

B、 ?

1 3

D、

7 9

【错解】 cos?

? ? ? 7 ? 2? ? ? 2? ? = cos[ ? ? ( ? 2? )] = cos( ? 2? ) =1—2 sin 2 ( ? ? ) = 3 3 6 9 ? 3 ?

【错因】诱导公式应用符号错。 【正解】 cos? 故选 A。

? ? ? 7 ? 2? ? ? 2? ? = cos[ ? ? ( ? 2? )] =— cos( ? 2? ) =—1+2 sin 2 ( ? ? ) =— 。 3 3 6 9 ? 3 ?

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[例 7](高考福建卷)已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 。 5

(1)求 sinx-cosx 的值;

x x x x ? 2 sin cos ? cos2 2 2 2 2 的值。 (2)求 tan x ? cot x 1 1 2 2 , 解法一:(1)由 sin x ? cos x ? , 平方得 sin x ? 2 sin x cos x ? cos x ? 5 25 24 49 . ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x ? . 即 2 sin x cos x ? ? 25 25 ? 7 又? ? ? x ? 0,? sin x ? 0, cos x ? 0, sin x ? cos x ? 0, 故 sin x ? cos x ? ? . 2 5 x x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos2 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 2 2 2 ? 2 (2) sin x cos x tan x ? cot x ? cos x sin x 3 sin 2
? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) 12 1 108 ? (? ) ? (2 ? ) ? ? 25 5 125

1 ? ?sin x ? cos x ? , 解法二:(1)联立方程 ? 5 ?sin 2 ? cos2 x ? 1. ?
由①得 sin x ?

① ②

1 ? cos x, 将其代入②,整理得 25cos2 x ? 5 cos x ? 12 ? 0, 5 3 ? ?sin x ? ? 5 , 7 3 4 ? ? 故 sin x ? cos x ? ? . ? cos x ? ? 或 cos x ? . ? ? ? x ? 0,? ? 5 5 5 2 ?cos x ? 4 . ? 5 ? x x x x x 3 sin 2 ? sin cos ? cos2 2 sin 2 ? sin x ? 1 2 2 2 2 ? 2 (2) sin x cos x tan x ? cot x ? cos x sin x

? sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) 3 4 4 3 108 ? (? ) ? ? (2 ? ? ) ? ? 5 5 5 5 125
【点评】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等 基本知识,以及推理和运算能力。

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[例 8] (1)化 简 :

cos ? sin α 2 2 + +cos α csc α 2 sec α - 1 csc 2 ? ? 1
2

(2)设 sin(α +
2

π 1 )=- ,且 sin2α > 0, 求 sinα ,tanα 2 4
2

sin α cos α 解 :原 式 = + 2 2 tan α cot α =csc α (2)解 : 由 sin(α + kπ < α <kπ + ∵ cosα =2

+cos α csc α =cos α +sin α +cos α csc α =1+cot α

2

2

2

2

2

2

2

π 1 1 )=- ∴ cosα =- ∵ sin2α > 0∴ 2kπ < 2α < 2kπ +π 2 4 4 ∴α 为第一象限或第二象限的角 ∴α 为第三角限角 15 4 tan α= sinα = cosα 15

π (k∈ z) 2

1 <0 4

sinα=- 1- cos 2 α =

【点评】本题要求同学们熟练掌握同角三角函数之间的关系,在求值过程中特别注意三角 函数值的符号的探讨。 [例 9] 求函数 y ? 16 ? x 2 ? sin x 的定义域。 解:由题意有 ?

?2k? ? x ? 2k? ? ? ??4 ? x ? 4

(*)

当 k ? ?1 时, ?2? ? x ? ?? ; 当 k ? 0 时, 0 ? x ? ? ; 当 k ? 1 时, 2? ? x ? 3?

?函数的定义域是 [ ?4, ? ? ]?[0,? ]
【点评】有部分同学可能会认为不等式组(*)两者没有公共部分,所以定义域为空集,原 因是没有正确理解弧度与实数的关系,总认为二者格格不入,事实上弧度也是实数。 [例 10] (高考天津卷) 已知 sin(? ?

? 7 2 7 ? )? , cos2? ? , 求 sin ?及 tan( ? ) 。 ? 4 10 25 3 7 2 ? 2 ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos?) 10 4 2


解法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得 即 sin ? ? cos ? ?

7 5

由题设条件,应用二倍角余弦公式得
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7 7 ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? (cos ? ? sin ?)(cos ? ? sin ?) ? ? (cos ? ? sin ?) 25 5 1 故 cos ? ? sin ? ? ? ② 5 3 4 3 由①式和②式得 sin ? ? , cos ? ? ? 。因此, tan ? ? ? ,由两角和的正切公式 5 5 4

3 ? tan? ? 3 4 ? 4 3 ? 3 ? 48 ? 25 3 . tan(? ? ) ? ? 4 1 ? 3 tan? 11 3 3 4?3 3 1? 4 3?
解法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得

7 ? cos 2? ? 1 ? 2 sin 2 ? 解 得 25

sin 2 ? ?

9 3 ,即s i n ? ? ? 25 5

由 sin(? ?

? 7 2 7 )? , 可得sin ? ? cos? ? 4 10 5

7 7 ? cos ? ? 0, 且 cos ? ? sin ? ? ? 0 , 5 5 3 7 4 故 ? 在第二象限,于是 sin ? ? 。从而 cos ? ? sin ? ? ? ? (以下同解法一)。 5 5 5
由于 sin ? ? 【点评】 sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? 三个式子,据方程思想知一可求其二 (因为其间隐含着平方关系式 sin ? ? cos ? ? 1 ),在求值过程中要注意符号的讨论。
2 2

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