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高中数学课件:第一章 1.2 应用举例 第一课时 正、余弦定理在实际问题中的应用


课前预习·巧设计

第 一 章 解 三 角 形

1. 2 应 用 举 例

第一 课时 正、 余弦 定理 在实 际问 题中 的应 用

名 师 课 堂 · 一 点 通 创 新 演 练 · 大 冲 关

考点一
考点二

考点三

N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测

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[读教材·填要点] 1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,把视线在水平线上 方的角称为 仰角 , 视线在水平线下方的角 称为俯

角.如下图(1).

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2.方位角 指从正北方向 按顺时针 转到目标方向线所成

的 水平角 .如方位角是45°,指北偏东45°,即东北
方向.

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3.方向角 从指定方向到 目标方向线所成 的水平角.如南偏西 60°,即以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°. 如下图(2)所示.

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4.基线

在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫
做 基线 .一般来说,基线越长,测量的精确度 越高 .

5.坡度
坡面的 铅垂高度h 和水平宽度l的比叫做 坡度 (或叫 做坡比).

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[小问题·大思维]
1.身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方,目测该

旗杆的高度,若李明此时的仰视角为30°,则该旗杆
的高度约为多少米?(精确到0.1米)

20 提示:h= +1.70≈13.2 米. 3

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2.如图所示,OA、OB的方位角各是多少?如何表示
OA、OB的方向角?

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提示:OA的方位角为60°,OB的方位角为330°,OA 的方向角为北偏东60°,OB的方向角为北偏西30°.

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3.如图,为了测量隧道AB之间的 长度,对下面给出的四组数据,

为了计算时最简便,测量时最容易,你认为应当采用
哪一些?

①a,b,γ;②a,b,α;③a,b,β;④α,β,a.

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提示:选择答案时既要注意计算简便,又要注意测量要

容易两个方面,故只有第①组最可行.

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[研一题] [例 1] 在某次军事演习中,红方

为了准确分析战场形势,在两个 3a 相距为 2 的军事基地 C 处和 D 处测得蓝方两支精锐部队分别在 A 处和 B 处, 且∠ADB

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=30°,∠BDC=30°,∠DCA=60°,∠ACB=45°, 如图所示,求蓝方这两支精锐部队的距离.

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[自主解答]

法一:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60° ,

3 又∵∠ACD=60° ,∴∠DAC=60° .∴AD=CD= 2 a. 在△BCD 中,∠DBC=180° -30° -105° =45° , DB CD ∵ = , sin∠BCD sin∠DBC

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6+ 2 sin∠BCD 3+ 3 4 3 ∴BD=CD· = a· = 4 a. sin∠DBC 2 2 2 在△ADB 中, ∵AB2=AD2+BD2-2· BD· AD· cos∠ADB 3 2 3+ 3 2 3 3+ 3 3 3 2 =4a +( 4 a) -2× 2 a· 4 a·2 =8a , 6 6 ∴AB= 4 a.∴蓝方这两支精锐部队的距离为 4 a.

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3 法二:同法一,得 AD=DC=AC= 2 a. BC CD 在△BCD 中,∠DBC=45° ,∴sin 30° sin 45° = . 6 ∴BC= 4 a.

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在△ABC 中, ∵AB2=AC2+BC2-2AC· cos 45° BC· 3 2 3 2 3 6 2 3 2 =4a +8a -2× 2 a·4 a·2 =8a , 6 6 ∴AB= 4 a.∴蓝方这两支精锐部队的距离为 4 a.

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[悟一法]

求距离问题的注意事项:
(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知, 则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形 中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选 择更便于计算的定理. 返回

[通一类] 1.如图,某炮兵阵地位于 A 点,两观 察所分别位于 C,D 两点.已知 ACD 为正三角形,且 DC= 3 km, 当目标出现在 B 点时,测得∠CDB =45° ,∠BCD=75° ,求炮兵阵地与目 标的距离是多少?

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解:∠CBD=180° -∠BCD-∠CDB =60° . 在△BCD 中,由正弦定理,得 CDsin 75° 1 BD= sin 60° =2( 6+ 2). 在△ABD 中,∠ADB=45° +60° =105° ,

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由余弦定理,得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos 105° 1 1 1 2 =3+4( 6+ 2) +2× 3×2( 6+ 2)×4( 6- 2) =5+2 3. ∴AB= 5+2 3≈2.91(km). ∴炮兵阵地与目标的距离是 2.91 km.

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[研一题]
[例2] 某兴趣小组要测量电视塔

AE的高度H(单位:m).如右图,竖
直放置的标杆BC的高度 h=4 m,仰角 ∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值,算出 了tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H的值. 返回

[自主解答]

H h 由 AB=tan α,BD=tan β,

H AD=tan β及 AB+BD=AD, H h H 得tan α+tan β=tan β,

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4×1.24 htan α 解得 H= = tan α-tan β 1.24-1.20 =124. 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m.

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[悟一法]
测量高度问题的要求及注意事项:

(1)依题意画图是解决三角形应用题的关键.问题中,
如果既有方向角(它是在水平面上所成的角),又有仰(俯)角 (它是在铅垂面上所成的角),在绘制图形时,可画立体图 形和平面图形两个图,以对比分析求解;

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(2)方向角是相对于在某地而言的,因此在确定方向

角时,必须先弄清楚是哪一点的方向角.从这个意义上来
说,方向角是一个动态角,在理解题意时,应把它看活,

否则在理解题意时将可能产生偏差.

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[通一类] 2.在某一山顶观测山下两村庄A、B,测得A的俯角为 30°,B的俯角为40°,观测A、B两村庄的视角为 50°,已知A、B在同一水平面上且相距1 000 m,求 山的高度.(参考数据sin 40°≈0.643精确到1 m)

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解析:设山顶为 C,山高 CD=x,由题意 ∠CAD=30° ,∠CBD=40° ,∠ACB=50° . CD 在 Rt△ADC 中,AC=sin 30° =2x, CD x 在 Rt△BDC 中,BC=sin 40° sin 40° = .

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在△ABC 中, 由余弦定理知 AB2=AC2+BC2-2AC· cos∠ACB. BC· x2 4x2 ∴1 0002=4x2+sin240° sin 40° 50° - cos , ∴x=1 000· 40° sin ≈643(m).

答:山高约为643 m.
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[研一题]
[例3] 沿一条小路前进,从A到B,方位角是50°,

距离是470 m,从B到C,方位角是80°,距离是860 m,
从C到D,方位角是150°,距离是640 m,试画出示意图, 并计算出从A到D的方位角和距离(角度精确到0.1°,距离 精确到1 m). 返回

[自主解答]

如图所示,连接 AC,

在△ABC 中,∠ABC=50° + (180° -80° )=150° . 由余弦定理,得 AC= AB2+BC2-2AB· BCcos 150° 289(m). ≈1

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BCsin∠ABC 860sin 150° 由正弦定理,得 sin∠BAC= ≈ 1 289 AC ≈0.333 6, ∴∠BAC=19.5° ,∠ACB≈10.5° .∴∠ACD=99.5° . 由余弦定理,得 AD= AC2+CD2-2AC· CDcos∠ACD≈1 531(m).

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CD· sin∠ACD 由正弦定理,得 sin∠CAD= , AD ∴∠CAD≈24.3° . ∴从 A 到 D 的方位角约为 50° +19.5° +24.3° =93.8° , 即从 A 到 D 的方位角约为 93.8° ,距离约为 1 531 m.

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[悟一法]

测量角度问题的基本思路:
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出 表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离, 再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转 化为实际问题的解.

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[通一类] 3.某海上养殖基地 A,接到气象部门预报,位于基地南 偏东 60° 相距 20( 3+1) n mile 的海面上有一台风中心,影 响半径为 20 n mile,正以每小时 10 2 n mile 的速度沿某 一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮 过且 3+1 h 后开始影响基地持续 2 h. 求台风移动的方向.

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解:如图所示,设预报时台风中心为 B, 开始影响基地时台风中心为 C,基地刚好 不受影响时台风中心为 D,则 B、C、 D 在一直线上,且 AD=20,AC=20. 由题意 AB=20( 3+1), DC=20 2, BC=( 3+1)· 2. 10

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在△ADC 中,∵DC2=AD2+AC2, ∴∠DAC=90° ,∠ADC=45° . 在△ABC 中, AC2+AB2-BC2 3 由余弦定理得 cos∠BAC= =2. 2AC· AB ∴∠BAC=30° ,又∵B 位于 A 南偏东 60° ,

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60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向,
又∵∠ADC=45°,

??? ? ∴台风移动的方向为向量 CD 的方向.即北偏西45°方向.
答:台风向北偏西45°方向移动.

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A,B,C是一条直路上的三点,AB=BC=1 km,从 这三点分别遥望一座电视发射塔P,在A处看见塔在东北 方向,在B处看见塔在正东方向,在C处看见塔在南偏东 60°方向,求塔到直路的距离.

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[巧思]

准确画出图形是解决本题的关键,由于不

涉及到塔高的问题,因此可直接将整座塔看成一个点, 画平面图形辅助解题,这正是解决此题的妙处所在.

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[妙解]

如图所示,过 C、B、

P 分别作 CM⊥l、BN⊥l、 PQ⊥l,垂足分别为 M、N、Q. 设 BN=x, 即 PQ=x,PA= 2x, ∵AB=BC,

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∴CM=2BN=2x, PC=2PQ=2x. 在△PAC 中,由余弦定理得: AC2=PA2+PC2-2PA· cos 75° PC· , 6- 2 即 4=2x +4x -4 2x · 4 ,
2 2 2

2?4+ 3? 解得 x = . 13
2

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过 P 作 PD⊥AC,垂足为 D. 则线段 PD 的长为塔到直路的距离. ∵sin ∠BAN=x,cos ∠BNA= 1-x2 2 ∴sin ∠CAP=sin(135° -∠BAN)= 2 (x+ 1-x2) PD=APsin ∠CAP=x(x+ 1-x2)

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8+2 3 =x + x ?1-x ?= 13 +
2 2 2

8+2 3 5-2 3 13 × 13

8+2 3 28-6 3 8+2 3 3 3-1 7+5 3 = 13 + = 13 + 13 = 13 13

7+5 3 答:塔到直路的距离为 13 km.

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