2.3.2 双曲线的简单几何性质 (第1课时)
主讲人:崔艳 单位:杨村三中
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共同回顾:我们上周都学了什么?
按我共同回顾
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探究学习
曲线 性质 方程
1、类比椭圆的简单几何性质,探究双曲线的简单几何性质? 椭圆 双曲线
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
Y
a
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y
图形
F1 O F2 X
F1
B2 A1
o
A2 B1
F2
x
范围
对称性 顶点,轴
? a ? x ? a,?b ? y ? b
对称轴:x轴,y轴 中心:原点 2a (?a,0), (0,?b) 长轴长 短轴长2b
x ≤-a或x ≥a, y ∈R
对称轴:x轴,y轴 中心:原点
(? a,0)
e? c a
e>1,
实轴长2a 虚轴长2b
离心率
c e? a
0<e<1,
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2、探究如何确定双曲线的开口大小?
y
我们把这两条直线 y ? ?
叫做双曲线的渐近线。
b x a
B2
A1
渐近线的确定:
b a
A2
O B1
x
矩形的对角线
按我看看
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探究学习
3、椭圆的离心率可以决定椭圆的圆扁程度, 那么双曲线的离心率能决定双曲线的什么几何 特征呢?
y
B2 A1
N Q
M
c e= a
即:e越大,渐近线斜率越大,
b a
A2
O B1
x
其开口越阔.
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新知总结
标准方程
1、双曲线的简单几何性质:
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
y
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y
图形
F1 o F2 x
o
x
焦点 范围 对称性 顶点,轴 离心率
(-c,0)
(c,0)
(0,-c)
(0,c)
x ≤-a或x ≥a, y ∈ R
y ≤-a或y ≥a, x ∈R
对称轴:x轴,y轴 中心:原点
对称轴:x轴,y轴 中心:原点
(? a,0) 实轴长2a,虚轴长2b
e越大,双曲线开口越大 e>1, e越小,双曲线开口越小
(0,? a)实轴长2a,虚轴长2b
e>1, e越大,开口越大 e越小,开口越小
渐近线
b y ? ? x a
a y ? ? x b
2、等轴双曲线的定义:
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。
y = ±x 等轴双曲线的渐近线方程为 ________________
e= 2 等轴双曲线的离心率为 ________________
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性质应用
标准方程
x2 y2 ? ?1 16 9
y
y2 x2 ? ?1 16 9
y
F2 x
图形 范围 实轴,虚轴 顶点 焦点 离心率 渐近线
F1
o
o
x
x ≤-4或x ≥4, y ∈ R
y ≤-4或y ≥4, x ∈ R
实轴长:8,虚轴长:6
实轴长:8,虚轴长:6
(?4,0)
(-5,0) (5,0)
5 4 e ?
(0,?4)
(0,-5)
e ?
(0,5)
5 4
y ? ?
3 x 4
y ? ?
4 x 3
拓展提升
2
x2 - y2 = ? x2 2 4 思考:与 4 - y = 1共渐近线的双曲线方程什么特点?___________________
1 x y=± x 2 - y = 1的渐近线方程为__________ 2________ 4 1 2 x y=± x - y 2 = 4的渐近线方程为__________ ________ 2 4 1 2 x y=± x - y 2 = -1的渐近线方程为__________ ________ 2 4 1 x2 2 y=± x - y = -4的渐近线方程为__________ ________ 2 4
x 2 y2 总结:与双曲线 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0)共渐近线 a b
x2 y2 2 2 = ? (a > 0, b > 0) a b 的双曲线方程为__________ ___
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拓展训练
x2 2 求与双曲线 - y = 1的渐近线相同,且过点 (2,3)的双曲线方程。 4
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性质应用
例2 求顶点在x轴上, 两顶点间距离为 8,离心率 5 e ? 的双曲线的标准方程。 4
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巩固提升
x2 y2 5 求与椭圆 ? ? 1有公共焦点,且离心率 e? 49 24 4 的双曲线方程。
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性质应用
x2 y 2 例3已知F1,F2是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的两个焦点, PQ是 a b ? 经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦,如果 ?PF Q ? 90 ,求双曲线 2 的离心率。
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巩固提升
x2 y 2 已知F1,F2是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的两焦点,以线段 a b F1 F2为边作正?MF1 F2,若边MF1的中点在双曲线上,则 双曲线 的离心率为__________ _
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课堂小结
1.双曲线的几何性质
2.双曲线几何性质的简单应用
(1)根据双曲线方程找几何性质问题; (2)根据双曲线几何性质求双曲线的方程问题; (3)简单的求双曲线的离心率问题;
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思考题
3 若双曲线的渐近线方程 为y = ± x, 且过点( - 2,3),求双曲线的方程。 4
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温故而知新
1、双曲线的定义?
把平面内与两个定点 F1,F2的距离的差的绝对值等 于 非零常数(小于 F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线 。
2、双曲线的标准方程?
x2 y2 焦点在x轴上的双曲线 2 - 2 = 1 a b
y 2 x2 焦点在y轴上的双曲线 2 - 2 = 1 a b
其中a ? 0, b ? 0, a ? b ? c
2 2
2