(讲课用)2.3.2

2.3.2 双曲线的简单几何性质 (第1课时）

主讲人：崔艳 单位：杨村三中

新知导入 探究学习 新知总结 典例讲解 课堂小结 思考题

共同回顾：我们上周都学了什么?

按我共同回顾

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探究学

习
曲线 性质 方程

1、类比椭圆的简单几何性质，探究双曲线的简单几何性质？ 椭圆 双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
Y
a

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

图形

F1 O F2 X
F1

B2 A1
o

A2 B1

F2

x

范围
对称性 顶点,轴

? a ? x ? a,?b ? y ? b
对称轴：x轴,y轴 中心：原点 2a (?a,0), (0,?b) 长轴长 短轴长2b

x ≤-a或x ≥a, y ∈R
对称轴：x轴,y轴 中心：原点

(? a,0)
e? c a
e>1,

实轴长2a 虚轴长2b

离心率

c e? a

0<e<1,

探究学习
2、探究如何确定双曲线的开口大小？
y
我们把这两条直线 y ? ?
叫做双曲线的渐近线。

b x a

B2
A1

渐近线的确定:
b a
A2

O B1

x

矩形的对角线

按我看看

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探究学习
3、椭圆的离心率可以决定椭圆的圆扁程度， 那么双曲线的离心率能决定双曲线的什么几何 特征呢？
y
B2 A1

N Q

M

c e= a

即:e越大,渐近线斜率越大,
b a
A2

O B1

x

其开口越阔.

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新知总结
标准方程

1、双曲线的简单几何性质：
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
y

y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b
y

图形
F1 o F2 x

o

x

焦点 范围 对称性 顶点，轴 离心率

(-c,0)

(c,0)

(0,-c)

(0,c)

x ≤-a或x ≥a, y ∈ R

y ≤-a或y ≥a, x ∈R
对称轴：x轴,y轴 中心：原点

对称轴：x轴,y轴 中心：原点

(? a,0) 实轴长2a,虚轴长2b
e越大，双曲线开口越大 e>1, e越小，双曲线开口越小

(0,? a)实轴长2a,虚轴长2b
e>1, e越大，开口越大 e越小，开口越小

渐近线

b y ? ? x a

a y ? ? x b

2、等轴双曲线的定义：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。

y = ±x 等轴双曲线的渐近线方程为 ________________
e= 2 等轴双曲线的离心率为 ________________

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性质应用

标准方程

x2 y2 ? ?1 16 9
y

y2 x2 ? ?1 16 9

y
F2 x

图形 范围 实轴，虚轴 顶点 焦点 离心率 渐近线

F1

o

o

x

x ≤-4或x ≥4, y ∈ R

y ≤-4或y ≥4, x ∈ R

实轴长：8，虚轴长：6

实轴长：8，虚轴长：6

(?4,0)
(-5,0) (5,0)
5 4 e ?

(0,?4)
(0,-5)
e ?

(0,5)
5 4

y ? ?

3 x 4

y ? ?

4 x 3

拓展提升
2

x2 - y2 = ? x2 2 4 思考：与 4 - y = 1共渐近线的双曲线方程什么特点？___________________

1 x y=± x 2 - y = 1的渐近线方程为__________ 2________ 4 1 2 x y=± x - y 2 = 4的渐近线方程为__________ ________ 2 4 1 2 x y=± x - y 2 = -1的渐近线方程为__________ ________ 2 4 1 x2 2 y=± x - y = -4的渐近线方程为__________ ________ 2 4

x 2 y2 总结：与双曲线 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0)共渐近线 a b
x2 y2 2 2 = ? (a > 0, b > 0) a b 的双曲线方程为__________ ___

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拓展训练
x2 2 求与双曲线 - y = 1的渐近线相同，且过点 （2,3）的双曲线方程。 4

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性质应用
例2 求顶点在x轴上, 两顶点间距离为 8,离心率 5 e ? 的双曲线的标准方程。 4

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巩固提升
x2 y2 5 求与椭圆 ? ? 1有公共焦点，且离心率 e? 49 24 4 的双曲线方程。

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性质应用
x2 y 2 例3已知F1，F2是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的两个焦点， PQ是 a b ? 经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果 ?PF Q ? 90 ，求双曲线 2 的离心率。

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巩固提升
x2 y 2 已知F1，F2是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的两焦点，以线段 a b F1 F2为边作正?MF1 F2，若边MF1的中点在双曲线上，则 双曲线 的离心率为__________ _

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课堂小结

1.双曲线的几何性质

2.双曲线几何性质的简单应用
（1）根据双曲线方程找几何性质问题； （2）根据双曲线几何性质求双曲线的方程问题； （3）简单的求双曲线的离心率问题；

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思考题
3 若双曲线的渐近线方程 为y = ± x, 且过点（ - 2,3），求双曲线的方程。 4

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温故而知新
1、双曲线的定义？
把平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等 于 非零常数(小于 F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线 。

2、双曲线的标准方程？
x2 y2 焦点在x轴上的双曲线 2 - 2 = 1 a b
y 2 x2 焦点在y轴上的双曲线 2 - 2 = 1 a b

其中a ? 0, b ? 0, a ? b ? c
2 2

2