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(讲案、练案、考案)数学高三第一轮复习方案(大纲)2.1


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课前自主研习
温故而知新 可以为师矣

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/>知 识 导 读 1.映射的概念 集合 A 到集合 B 的一个映射 f:A→B 表示________________________________,它 有以下特点: 方向性 不同 (1)对应法则有__________.f:A→B 与 f:B→A________. (2)集合 A 中__________一个元素,在对应法则 f 下,在集 任何 唯一 合 B 中都有__________的元素与之对应. (3)集合 B 中的元素__________都有原象,象的集合 C 与集 不一定 合 B 之间的关系是__________. C?B 三 (4)通常映射由__________部分组成.

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提示:一一映射的三个特点: ①首先必须是映射; ②对于 A 中的不同元素在 B 中有不同的 象;③B 中每个元素都有原象,这样的映射才叫做从 A 到 B 的一 一映射.

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2.函数的概念 函数是特殊的映射,它特殊在要求: 集合 A 和集合 B 都是非空数集 ____________________________ . 函 数 三 要 素 通 常 指 的 是 : _____________________________.两函数相同的充要条件是: 定义域定义域 值域 对应法则 ___________________________ . 两 函 数 值 域 不 同 时 定义域相同且对应法则相同 不一定 函数一定不同 ____________,两函数值域相同时函数__________相同.

提示: 对于 y=f(x)的理解应是: y=f(x)不一定都是解析式的 形式, 它只表示函数的一种对应关系, 可以用解析式也可以用表 格或图象体现.

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3.分段函数 如果一个函数在定义域的不同子集上对应关系不同而用几 个不同的式子来表示, 这样的函数叫做分段函数. 分段函数是多 不是 个函数吗?__________________. 4.复合函数 y=f[g(x)] 如果 y=f(u),u=g(x),那么函数____________叫做复合函 数.其中 y=f(u)叫做外函数,u=g(x)叫做内函数,其中内函数 u =g(x)的值域是外函数 g=f(u)的__________. 定义域

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基 础 热 身 1.对于函数 y=f(x),以下说法正确的有( ) ①y 是 x 的函数;②对于不同的 x,y 的值也不同;③f(a)表 示当 x=a 时函数 f(x)的值,是一个常量;④f(x)一定可以用一个 具体的式子表示出来. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

解析:由函数的定义可得①③正确. 答案:B

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2.已知 f:x→2sinx 是集合 A(A?[0,2π])到集合 B 的一个映 射,若 B={0,1,2},则 A 中的元素个数最多为( ) A.6 B.5 C.4 D.3

解析:∵A?[0,2π],由 2sinx=0 得 x=0,π,2π;由 2sinx π 5π π =1 得 x= , ;由 2sinx=2 得 x= .故 A 中最多有 6 个元素. 6 6 2 答案:A

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3.设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义 域为 M,值域为 N,则 f(x)的图象可以是( )

解析:A 项定义域为[-2,0],D 项值域不是[0,2],C 项对 任一 x 都有两个 y 与之对应,都不符. 答案:B
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?log3x,x>0, ? f(x)=? x ?2 ,x≤0, ?

4.(2010· 湖北卷)已知函数 ( ) A.4 1 B. 4



? ?1?? f?f?9??= ? ? ?? ? ? ??

C.-4

1 D.- 4

? ?1?? ? 1? 1 -2 ? ? ?? ? ? 解析:f?f?9??=f?log39?=f(-2)=2 = . 4 ? ? ? ? ??

答案:B

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5.设(x,y)在映射 f 的原象是__________.

?x+y x-y? ? 下的象是? ,则(-5,2)在 , ? 2 2 ? ? ?

f下

x+y x-y 解析:由 =-5, =2,解得 x=-3,y=-7. 2 2 答案:(-3,-7)

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6.已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合 {1,2,3},其定义如表所示:

x 1 2 3 f(x) 2 3 1 x 1 2 3 g(x) 1 3 2 填写下列 g(f(x))的表格,其三个数依次为 x 1 2 3 g(f(x))

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解析:g(f(1))=g(2)=3,g(f(2))=g(3)=2,g(f(3))=g(1)=1. 答案:3 2 1

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思维互动启迪
博学而笃志 切问而近思

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疑难精讲 1.函数关系的判断要注意“每一个”、“都有”、“唯一” 等关键词. 2.两个函数的定义域、值域、对应关系中有一个不同,则 它们就表示不同的函数. 3.映射具有方向性,从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是 不同的. 4.注意映射与函数的区别与联系.函数必是映射,而映射 却不一定是函数,函数是特殊的映射.

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互动探究 题型 1 映射与函数的概念 例 1.下列从 M 到 N 的各对应法则 fi(i=1,2,3,4)中, 哪些是映 射?哪些是函数?哪些不是映射?为什么? (1)M={直线 Ax+By+C=0},N=R,f1:求直线 Ax+By +C=0 的斜率; (2)M={直线 Ax+By+C=0},N={α|0≤α<π},f2:求直线 Ax+By+C=0 的倾斜角; (3)当 M=N=R,f3:求 M 中每个元素的正切; (4)M=N={x|x≥0},f4:求 M 中每个元素的算术平方根.

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【解析】 (1)当 B=0 时, 直线 Ax+C=0 的斜率不存在. 此 时 N 中不存在与之对应的元素,故 f1 不是从 M 到 N 的映射,也 就不是函数了. (2)对于 M 中任一元素 Ax+By+C=0, 该直线恒有唯一确定 的倾斜角 α,且 α∈[0,π),故 f2 是从 M 到 N 的映射.但由于 M 不是数集,从而 f2 不是从 M 到 N 的函数. π (3)由于 M 中元素 kπ+ (k∈Z)的正切无意义,即它在 N 中 2 没有象.故 f3 不是从 M 到 N 的映射,自然也不是函数. (4)对于 M 中任一非负数,其算术平方根唯一确定,故 f4 是 从 M 到 N 的映射.又 M、N 均为非空数集,所以 f4 是从 M 到 N 上的函数.

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题型 2 同一函数的判断 例 2.下列三组函数中,f(x)、g(x)是否为同一函数? 1 2 (1)f(x)=lgx,g(x)= lgx ; 2 (2)f(x)=x,g(x)= x2; ?x+1?-1<x<0? ? (3)f(x)=? ,g(x)=f-1(x). ?x-1?0<x<1? ?

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【解析】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)的定义域为(- ∞,0)∪(0,+∞),定义域不相同, 故 f(x)与 g(x)不是同一函数. (2)f(x)的值域为(-∞,+∞),g(x)的值域为[0,+∞),值域 不相同,故 f(x)、g(x)不是同一函数. ?x-1?0<x<1? ? -1 (3)g(x)=f (x)=? ?x+1?-1<x<0? ? f(x)与 g(x)的对应法则、定义域、值域分别相同,故它们是同 一函数.

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题型 3 分段函数与复合函数 例 3.已知函数 ? 1 ?1+ ?x>1? x ? f(x)=?x2+1?-1≤x≤1? ? ?2x+3?x<-1? ? ? 1 ? ? ? (1)求 f?1- ,f{f[f(-2)]}的值; 2-1? ? ? (2)求 f(3x-1); 3 (3)若 f(a)= ,求 a 的值. 2

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? (1)f?1- ? ?

1 ? ? 【解析】 =f(- 2)=-2 2+3. 2-1? ? 3 f{f[f(-2)]}=f[f(-1)]=f(2)= . 2 2 (2)当 3x-1>1,即 x> 时, 3 1 3x f(3x-1)=1+ = ; 3x-1 3x-1 2 当-1≤3x-1≤1,即 0≤x≤ 时, 3 f(3x-1)=(3x-1)2+1=9x2-6x+2; 当 3x-1<-1,即 x<0 时, f(3x-1)=2(3x-1)+3=6x+1.

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? 2? ? 3x ? ,?x>3? ?3x-1 ? ? ? ? ? 2? 综上所述,f(3x-1)=? 2 ? 9x -6x+2,?0≤x≤3? ? ? ? ? ? ?6x+1.?x<0? 3 (3)∵f(a)= , 2 3 ? 1 3 ? 2 ?1+ = ?a +1= 2 a 2 或? 2 ? ∴ 解得 a=2 或 a=± . 2 ?a>1 ?-1≤a≤1 ? ?

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错解辨析 例 4.设函数 ?2-x, x∈?-∞,1] ? 1 ? f(x) = 则 满 足 f(x) = 的 x 值 为 4 ?log81x x∈?1,+∞? ? ________.

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-x

1 1 【错解】 令 2 = 得 x=2,令 log81x= ,得 x=3,所以 4 4 x=2 或 3.

【错因】 忽视了分段函数的定义域.

1 【正解】 令 2 = 得 x=2,但此时 x∈(-∞,1)应舍去, 4 1 令 log81x= 得 x=3 满足 x∈(1,+∞),所以 x=3. 4 【答案】 3
-x

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